Transcript Contrôle Bilan n3 de MATHEMATIQUES Diagramme en boˆıte des

Premi`
ere S - LFIDB
Mercredi 15 janvier 2014
Contrˆ
ole Bilan n◦ 3 de MATHEMATIQUES
CORRECTION
Dur´ee : 2 heures - Calculatrice autoris´ee
Exercice 1. Statistiques descriptives (10 points)
Un dimanche de beau temps, on a mesur´e le temps d’attente des skieurs en minutes au t´el´esi`ege dans
trois stations de ski : les stations A, B et C.
Diagramme en boˆıte des mesures de la station A
Station C
Station B
Station A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tableau des mesures de la station B
Temps
Effectif
0
25
1
22
2
18
3
15
4
10
5
11
6
9
7
7
8
5
9
3
10
1
Pourcentages d’effectifs cumul´
es croissants de la station C
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11
12
1.
S´erie
A
B
C
Q1
1
1
1
M´ediane
2,5
2
3
Q3
6
5
5
EI
5
4
4
Etendue
11
10
12
Mode
X
0
X
Moyenne
3,75
3
3,7
Ecart-type
3,05
2,61
2,77
– Pour ´etudier la s´erie C, on effectue le tableau suivant avec des classes d’amplitude 2
Classes
[0; 2[ [2; 4[ [4; 6[ [6; 8[ [8; 10[ [10; 12[
fr´equences (en %)
30
40
10
10
5
5
– Pour ´estimer la moyenne de la s´erie A on fait un tableau des fr´equences pour les classes [0, Q1 [,
[Q1, M ed[, [M ed, Q3 [ et [Q3 , 11] :
Classes
[0; 1[ [1; 2, 5[ [2, 5; 6[ [6; 11[
fr´equences (en %)
25
25
25
25
2. R´epondre `
a chaque question en justifiant bri`evement la r´eponse. Une attente courte est une attente
inf´erieure `
a deux minutes, une attente longue est une attente sup´erieure `a cinq minutes.
(a) Laquelle des stations peut faire remonter le plus de skieurs en une journ´ee ?
La station B est la station qui peut faire remonter le plus de skieurs en une journ´
ee
car en moyenne, chaque skieur n’attendra que 3 minutes.
(b) Je souhaite que la moiti´e au moins de mes attentes soient courtes. Quelle(s) station(s) dois-je
choisir ?
Il n’y a que dans la station B que la moiti´
e au moins de mes attentes seront courtes
car la m´
ediane vaut 2 minutes.
(c) Je souhaite que l’´ecart entre mes diff´erentes attentes soit le plus faible possible. Quelle station
dois-je choisir ?
La station B est celle qui pr´
esente un ´
ecart le plus faible entre les diff´
erentes attentes car l’´
ecart type est de 2,61 min.
(d) Dans quelle(s) station(s) aurai-je une attente longue dans au moins 25% des cas ?
Les stations B et C pr´
esentent un temps d’attente long dans au moins 25% des cas
car Q3 = 5 pour ces deux stations.
(e) La station A pr´etend avoir l’attente la plus courte. Pourquoi ? Discuter cette affirmation.
Aucun indicateur ne permet de justifier cette affirmation.
3. On s’int´eresse particuli`erement `
a la station A.
(a) A cause d’un probl`eme technique, tous les temps d’attente augmentent de une minute. Donner sans justifier les nouveaux param`etres M oyenne, Ecart − type, M ediane et Ecart −
interquartile.
La moyenne et la M´
ediane augmentent chacune de 1. Quant `
a l’´
ecart-type et a
`
l’´
ecart inter-quartile, eux ne varient pas.
2
(b) En p´eriode de vacances, les temps d’attente augmentent de 50%. Donner sans justifier les
nouveaux param`etresM oyenne, Ecart − type, M ediane et Ecart − interquartile.
La moyenne, la M´
ediane, l’´
ecart-type et l’´
ecart inter-quartile augmentent tous de
50%, soient sont multipli´
ees chacun par 1, 5.
Exercice 2. (5 points)
Dans cet exercice, il n’est pas demand´e de justifier la d´erivabilit´e des fonctions a
` ´etudier.
La fonction f est d´efinie sur R par f (x) = 3x4 + 4x3 + 30x2 − 84x + 2.
1. La fonction g est d´efinie sur R par g(x) = 3x3 + 3x2 + 15x − 21.
D´eterminer le signe de g(x) avec la m´ethode de votre choix (traiter une seule des deux questions
ci-dessous)
(a) M´ethode 1 : Calculer g′ (x) et dresser le tableau de variation de g.
Calculer g(1) et en d´eduire le signe de g(x).
La fonction g est un polynˆ
ome donc d´
efinie et d´
erivable sur R.
′
2
On a pour x ∈ R, g (x) = 9x + 6x + 15
Ce trinˆ
ome n’admet aucune racine r´
eelle et donc par cons´
equent est positif sur R
(signe de a)
D’o`
u le tableau de variations de la fonction g :
x −∞ 1 +∞
0
g
ր
ր
De plus g(1) = 0
Donc, la fonction g est n´
egative sur] − ∞; 1] et positive sur [1; +∞[
(b) M´ethode 2 : Calculer g(1) puis d´eterminer a, b et c tels que g(x) = (x − 1)(ax2 + bx + c).
En d´eduire le signe de g(x).
2. Calculer f ′ (x) et en d´eduire les variations de f .
La fonction f est un polynˆ
ome donc d´
efinie et d´
erivable sur R.
′
3
2
On a pour x ∈ R, f (x) = 12x + 12x + 60x − 84
donc, f ′ (x) = 4g(x)
D’apr`
es la question pr´
ec´
edente, la fonction g et donc par cons´
equent f ′ est n´
egative
sur] − ∞; 1] et positive sur [1; +∞[
On en d´
eduit les variations de f :
x −∞
f
ց
3
1
+∞
−45
ր
Exercice 3. (5 points)
ABCD est un carr´e de cˆ
ot´e 4 cm.
Pour tout M de [AB], on nomme I le point d’intersection de [DM ] et [AC].
H est le pied de la hauteur issue de I dans AIM et G est le pied de la hauteur issue de I dans DIC.
x est la longueur AM , et A(x) est l’aire totale des deux triangles AM I et DIC.
Toutes les questions sont ind´
ependantes.
1. A(0) = 8 cm2 (les points A et I sont confondus) et A(4) = 8 cm2 (les points B et I sont confondus).
2. Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AM I.
IM
MA
x
IM
IH
h
En utilisant Thal`es, on a
=
= et que
=
=
;
ID
DC
4
ID
IG
4−h
x
4x
h
= puis que h =
.
On en d´eduit que
4−h
4
x+4
4x
)
4(4 −
2
2
4(4 − h)
2x2
xh
x + 4 = 2x + 8 + −8x = 2x + 8x + 32 − 8x =
+
=
+
3. A(x) =
2
2
x+4
2
x+4
x+4
x+4
2(x2 + 16)
sur [0; 4].
x+4
4. Etudions le sens de variation de la fonction A
A est une fonction d´efinie et d´erivable sur [0; 4]
4x2 + 16x − 2x2 − 32
2x2 + 16x − 32
4x(x + 4) − 2(x2 + 16)
=
=
Pour x ∈ [0; 4], on a A′ (x) =
(x + 4)2
(x +√
4)2
(x + 4)2
√
2
Le trinˆ
ome 2x + 16x − 32 admet deux racines −4√− 32 et −4 + 32
√
Donc, la fonction A est d´ecroissante
sur
[0;
−4
+
32]
et
croissante
sur
[−4
+
32; 4] donc admet
√
un minimum en x = −4 + 32
4