Transcript 2014/2015 Feuille 6 - N1MA5012 - Intégration Mesure produit

2014/2015
Feuille 6 - N1MA5012 - Int´egration
Mesure produit - Fubini
Exercice 1
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que B(Rn ) ⊗ B(Rp ) = B(R(n+p) ) et que
λn ⊗ λp = λn+p o`
u λm d´esigne le mesure de Lebesgue sur (Rm , B(Rm )).
Exercice 2
Soit N × R muni de la tribu produit P(N) ⊗ B(R) et de la mesure µd ⊗ λ o`
u µd est la mesure
de d´ecompte et λ la mesure de Lebesgue.
1. Interpr´eter en terme de s´erie la condition f est int´egrable pour µd ⊗ λ.
2. En appliquant le th´eor`eme de Fubini retrouver le th´eor`eme de convergence des s´eries de
fonctions mesurables positives.
Exercice 3 Graphe d’une fonction
Soit f une fonction d´efinie sur ]a, b[ et `a valeurs dans R+ .
On pose Af = {(x, y) ∈ R2 /a < x < b, 0 ≤ y ≤ f (x)}. R et R2 sont munis de la tribu des
bor´eliens et de la mesure de Lebesgue.
1. Montrer que si f est mesurable alors Af est mesurable.
2. On veut montrer que, r´eciproquement, si Af est mesurable alors f est mesurable. Pour
cela, consid´erer c ∈ R+ et montrer que
{x ∈]a, b[/f (x) > c} =
[
{x|(x, c +
n≥1
1
) ∈ Af }.
n
3. Montrer que le graphe d’une application mesurable est mesurable et de mesure nulle.
R
4. Si f est int´egrable sur ]a, b[ montrer que la mesure de Af est finie et vaut ]a,b[ f dλ.
Exercice 4
Montrer que la fonction
fR, d´efinie par f (x, y) = y exp(−y 2 (1+x2 )), est int´egrable sur [0, +∞[×[0, +∞[
R
(ind : consid´erer [0,+∞[ ( [0,+∞[ f (x, y) dy) dx).
√
R
R
2
2
En d´eduire que ]0,+∞[ e−t dt = 2π puis la valeur de R e−x /2 dx.
Exercice 5
1. En appliquant le th´eor`eme de Fubini, calculer de deux fa¸cons diff´erentes
RR
−xy dx dy (ind : pour y fix´
e, une primitive de e−xy sin x est de la forme
[0,T ]×]0,+∞[ sin(x)e
e−xy (a cos x + b sin x) avec a et b fonctions de y `a d´eterminer).
R
2. En d´eduire que lim [0,T ] sinx x dx = π2 .
T →+∞
3. Pouvait-on faire le mˆeme type de raisonnement directement sur ]0, +∞[×]0, +∞[ ?
Exercice 6
Soient f : ]0, +∞[→ R une
R fonction continue, int´egrable et a, b deux r´eels tels que 0 < a <
b < +∞. On note F (x) = ]0,x] f (t) dt et D = {(t, x)/0 < ax < t < bx}.
1. Montrer que la fonction ϕ
int´egrable.
2. En d´eduire que x →
: ]0, +∞[×]0, +∞[→ R d´efinie par ϕ(t, x) =
F (bx)−F (ax)
x
Z
]0,+∞[
est int´egrable sur ]0, +∞[ et que
Z
b
F (bx) − F (ax)
dx = ln
f (t) dt.
x
a ]0,+∞[
3. Application avec le calcul de
R
]0,+∞[
e−x −e−2x
x
dx.
f (t)
x 1D
est
Exercice 7
1
1. Montrer que la fonction f d´efinie sur R2+ par f (x, y) = (1+y)(1+yx
egrable sur
2 ) est int´
]0, +∞[×]0, +∞[ et que
ZZ
π2
1
dxdy
=
2
2
]0,+∞[2 (1 + y)(1 + yx )
1
2. En d´ecomposant en ´el´ements simples (1+y)(1+yx
2 ) , montrer que l’on a aussi
ZZ
Z
1
ln(x2 )
dxdy
=
−
dx
2
1 − x2
]0,+∞[2 (1 + y)(1 + yx )
[0,+∞[
R 1 ln x
2
dx = π8 .
3. En d´eduire que 0 −
1−x2
+∞
+∞
+∞
R 1 ln x
P
P
P
1
1
4. Montrer que 0 −
dx =
puis en d´eduire les valeurs de
et
1−x2
(2n+1)2
(2n+1)2
n=0
n=0
n=1
1
.
n2
Exercice 8
On consid`ere sur (R, B(R)) la mesure λ de Lebesgue et la mesure de d´enombrement µd . Soit
D la diagonale du carr´e [0, 1]2 , i.e. D = {(x, x) : x ∈ [0, 1]}.
1. Montrer que D est mesurable (on munit R2 de la tribu produit).
2. Calculer
Z Z
Z Z
1D (x, y) dλ(y) dµd (x) et
1D (x, y) dµd (x) dλ(y).
R
R
R
R
Expliquer pourquoi les hypoth`eses du th´eor`eme de Fubini ne sont pas satisfaites ici.
Exercice 9
1. Soient Q =]0, 1[×]0, 1[ et f : Q → R d´efinie par f (x, y) =
x2 −y 2
.
(x2 +y 2 )2
D´emontrer que les applications partielles f (·, y) et f (x, ·) sont int´egrables pour tout x et
y de ]0, 1[ ainsi que les fonctions
Z 1
Z 1
y 7→
f (x, y) dx x 7→
f (x, y) dy
0
0
mais que
1 Z 1
Z
0
Z
1 Z 1
dy 6=
f (x, y) dx
0
f (x, y) dy
0
dx
0
2. Soient Q =] − 1, 1[×] − 1, 1[ et f : Q → R d´efinie par f (x, y) =
xy
.
(x2 +y 2 )2
D´emontrer que les applications partielles f (·, y) et f (x, ·) sont int´egrables pour tout x et
y de ] − 1, 1[ ainsi que les fonctions
Z 1
Z 1
y 7→
f (x, y) dx x 7→
f (x, y) dy
−1
et
Z
1
Z
1
f (x, y) dx
−1
−1
−1
Z
1
Z
1
dy =
f (x, y) dy
−1
dx
−1
f est-elle int´egrable sur Q ?
Exercice 10
On consid`ere un pav´e born´e du plan P qui est l’union de pav´es Pk d’int´erieurs 2 `a 2 disjoints et
ayant tous au moins un de leur cˆ
ot´e de longueur enti`ere. Le but de cet exercice est de montrer
qu’alors P a au moins un de ses cˆ
ot´es de longueur enti`ere.
R
2iπ(x+y)
1. Que vaut Pk e
dxdy ?
R
2. En d´eduire la valeur de P e2iπ(x+y) dxdy et conclure.