Transcript Première feuille d`exercice - IMJ-PRG

UPMC
1M002 Suites, int´egrales, alg`ebre lin´eaire
2014-2015
Int´
egrales et primitives
Il y a plusieurs types d’exercices : les exercices dits « de calculs » – marqu´es par un (C) – que vous devez pouvoir traiter
en autonomie et sans erreur. Certains seront trait´es en TD ; pour les autres vous devez les faire et trouverez le r´esultat
sur la page web du cours. Si vos calculs ne tombent pas sur le mˆeme r´esultat, venez me voir ! Les exercices classiques
sont du niveau des exercices des ´evaluations. Les exercices marqu´es d’une (*) sont plus durs – mais int´eressants !
Exercice 1 ((C) Premiers calculs). D´eterminer les primitives des fonctions suivantes, puis calculer l’int´egrale
demand´ee.
� 1
1. f : R → R, t �→ |t|. Calculer
f (t)dt.
−1
Solution : On trouve comme r´esultat 2.
2. f : R → R d´efinie par f (t) = sin(t) (resp. cos(t)). Calculer
�
π
2
f (t)dt.
0
Solution : On trouve dans les deux cas comme r´esultat 1.
� 1
1
3. f : R∗+ → R, t �→ √ . Calculer F (x) =
f (t)dt et d´eterminer si lim+ F (x) existe.
x→0
t
x
�
√
Solution : On connaˆıt une primitive de f , c’est t �→ 2 t. Donc F (x) = 2 − 2 (x). On trouve une limite quand
x tend vers 0+ : c’est 2.
� x
� x
1
4. f : R → R, t �→
.
Calculer,
pour
tout
x
∈
R,
f
(t)dt.
D´
e
terminer
si
lim
f (t)dt existe.
x→+∞ −x
1 + t2
−
Solution : On connaˆıt une primitive de f , c’est t �→ arctan(t). l’int´egrale vaut F (x) = arctan(x) − arctan(−x) =
2arctan(x). On trouve une limite quand x tend vers +∞ : c’est π.
� π2
5. f : R → R, t �→ cos(t)2 . Calculer
f (t)dt.
0
Solution : En utilisant cos2 (t) =
pi
en d´eduit que l’int´egrale vaut .
4
t + sin(2t)
1 + cos(2t)
2
, on trouve une primitive de cos( t) : on prend t �→
. On
2
2
Exercice 2 ((C) Int´egrations par parties). D´eterminer une primitive des fonctions suivantes :
� x
1. f : R+
→
R
d´
e
finie
par
f
(t)
=
ln(t).
Calculer,
pour
tout
x
>
0,
f (t)dt.
∗
1
Solution : On trouve (cf polycopi´e de cours) x ln(x) − x + 1.
� π
2. f : R → R d´efinie par f (t) = t cos(t). Calculer
t cos(t)dt.
0
Solution : On d´erive t et on int`egre le cosinus : on obtient −2.
2 t
3. f : R → R d´efinie par f (t) = t e . Calculer, pour tout x ∈ R,
Solution : On d´erive t2 et on int`egre et . On trouve
� x
�
2 t
2 x
t e dt = x e − 2
0
�
x
f (t)dt.
0
x
tet dt.
0
On effectue `a nouveau une int´egration par parties en d´erivant t et en int´egrant et . On obtient :
� x
t2 et dt = x2 ex − 2(xex − (ex − 1)) = ex (x2 − 2x + 2) − 2.
0
1
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R+
∗
4. f :
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ln(t)
. Calculer, pour tout x ∈ R,
→ R d´efinie par f (t) =
t
Solution : On d´erive le ln(t) et on int`egre le
�
x
1
Autrement dit,
�
1
x
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x
�
f (t)dt.
1
1
. On obtient :
t
ln(t)
dt = ln2 (x) −
t
�
x
1
ln(t)
dt.
t
2
ln(t)
ln (t)
dt =
.
t
2
Exercice 3 ((C) Changement de variable). En utilisant des changements de variables, calculer :
I1 =
�
0
1
et
dt
et + 1
I2 =
�
0
x
1
dt
ch(t)
I3 =
�
1
√
2
√
0
1
dt
1 − t2
�
I4 =
π
4
tan(t)dt
I5 =
0
�
1
e
ln(t)
dt.
t
Solution :
I1 : On pose u = et , soit
du
= et , ou encore du = et dt. Quand t varie entre 0 et 1, u varie entre 1 et e. Donc :
dt
� e
1
du = ln(1 + e) − ln(2).
I1 =
1
+
u
1
I2 : Ici encore on pose u = et . On obtient :
� ex
1
π
I2 =
du = arctan(ex ) − arctan( ) = arctan(ex ) − 1.
2
1
+
u
4
1
1
est la d´eriv´ee de arcsin, alors on peut int´egrer directement. Sinon,
1 − t2
π
dt
π
et . Alors
= − sin(u), soit dt = − sin(u)du. De plus,
on pose t = cos(u). Ici u varie entre
2
4
du
�
�
�
1 − t2 = 1 − cos2 (u) = sin2 (u) = sin(u) car sur cet intervalle sin(u) ≥ 0. On obtient
I3 : Si on sait que la fonction t �→ √
I3 =
�
π
4
π
2
− sin(u)
du = −
sin(u)
�
π
4
du =
π
2
π
.
4
√
√
u�
2
sin
ln(2)
I4 : On renvoie au cours : tan =
est de la forme − . On obtient I4 = − ln(
) = ln( 2) =
.
cos
u
2
2
� 1
1
dt
du
1
= , soit du = . Ainsi I5 =
I5 : On peut poser u = ln(t). u varie entre 0 et 1. De plus
udu = .
dt
t
t
2
0
Exercice 4. On consid`ere la suite d´efinie pour tout entier n par un =
�
1
tn et dt.
0
1. Calculer u0 .
2. Montrer que cette suite est positive et d´ecroissante.
3. A l’aide d’une int´egration par parties, ´etablir une relation de r´ecurrence pour la suite (un ).
4. Montrer que cette suite tend vers 0.
Exercice 5. On veut calculer l’int´egrale I =
�
π
2
e−2t cos(t)dt.
0
` l’aide d’une int´egration par parties, faire apparaˆıtre l’int´egrale J =
1. A
�
π
2
e−2t sin(t)dt.
0
2. Effectuer une int´egration par parties dans l’int´egrale J pour faire apparaˆıtre de nouveau l’int´egrale I.
2
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´
3. Ecrire
l’´equation obtenue pour I. Si vous obtenez I = I, reprenez la question pr´ec´edente en changeant
d’int´egration par parties. Sinon, r´esoudre l’´equation pour calculer I.
� k
� k+1
Exercice 6.
1. Montrer que pour tout entier k ≥ 2, on a
ln(t)dt ≤ ln(k) ≤
ln(t)dt.
k−1
2. En d´eduire que pour tout entier n, on a
�
3. Calculer pour tout entier n l’int´egrale
�
n
1
n
ln(t)dt ≤ ln(n!) ≤
k
�
n+1
ln(t)dt.
1
ln(t)dt.
1
4. En d´eduire lim
n→+∞
ln(n!)
= 1.
n ln(n)
Exercice 7 (Int´egrales de Wallis). Pour tout entier n, on note :
In =
�
π
2
sinn (t)dt.
0
1. Calculer I0 , I1 et I2 .
n−1
In−2 .
n
u n est pair du cas impair).
3. Calculer pour tout entier n les int´egrales In (on pourra distinguer le cas o`
2. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, on a In =
4. Montrer que la suite In est d´ecroissante.
In n→∞
n+1
In
, puis que
≤
−−−−→ 1.
5. En d´eduire 1 ≤
In+1
n
In+1
6. En posant n = 2p dans la limite pr´ec´edente, montrer que
1 24p (p!)4
.
n→∞ p ((2p)!)2
π = lim
7. D´eterminer un ´equivalent de In lorsque n tend vers +∞.
3