Transcript TD 7. Calcul Intégral

TD 7. Calcul Int´
egral
(2013-2014)
Propri´
et´
es de l’int´
egrale
Exercice 1 (*)[Extrait test no 3 2010/2011]
Soit la fonction f (t) d´efinie par :

t<0
 f (t) = 1
f (t) = 1 − t 0 ≤ t < 2

f (t) = −1
t≥2
Z
On consid`ere la fonction F (x) =
x
f (t) dt. On veut expliciter F (x) sur R.
0
1. Tracer la courbe repr´esentative de f (t).
2. Combien de cas faut-il envisager selon les valeurs de x et lesquels.
3. Expliciter F (x) suivant ces cas. Calculer alors F 0 (x).
4. Tracer la courbe repr´esentative de F (x).
Z x
5. En d´eduire : F1 (x) =
f (t)dt.
−1
Exercice 2 (*)
Soit g la fonction impaire d´efinie par g(x) = f (x) pour x > 0 (voir la d´efinition de f (x) dans
l’exercice 1). Tracer la courbe repr´esentative de la fonction g(x).
Calculer a` l’aide de F (x) primitive de f (x) et repr´esenter graphiquement la fonction G(x) d´efinie
par :
Z
x
G(x) =
g(t) dt.
−10
Donner la d´eriv´ee G0 (x) de G(x).
Exercice 3 (*)
On d´esigne par f une fonction continue sur R. Calculer la d´eriv´ee de la fonction G(x) d´efinie par :
Z
G(x) =
x2
f (t) dt
0
Exercice 4 [Extrait Test 2007/2008]
- Page 1/4 -
1. Repr´esenter graphiquement la fonction :

f (t) = 0, t ∈] − ∞, 0[




f (t) = cos 2t , t ∈ [0, π]



 f (t) = 0, t ∈ [π, +∞[
Rx
2. Exprimer la fonction F (x) = 0 f (t) dt. Repr´esenter graphiquement CF .
Rx
3. Soit la fonction F1 (x) = 3π f (t) dt. Exprimer F1 (x) `a l’aide de F (x).
Exercice 5
Soit la fonction f d´efinie par

 f (x) = 1
f (0) = 0,

f (x) = −1
si
0 < x,
si
x < 0.
Calculer, repr´esenter graphiquement et donner la d´eriv´ee de la fonction G(x) d´efinie par :
Z
1+x
G(x) =
f (t) dt.
1−x
Exercice 6
On d´esigne par T un nombre r´eel positif. Soit ΠT la fonction Porte de largeur T d´efinie par :
ΠT (x) = 1
si
− T2 < x < T2
ΠT (x) = 0 sinon
Calculer les fonctions F et G d´efinies par :
Z
T
Z
ΠT (x)ΠT (t − x) dx et G(t) =
F (t) =
−T
T
ΠT (x −
0
T
)ΠT (x + t) dx
2
Pour chacune des int´egrales pr´ec´edentes, on repr´esentera le graphe de la fonction `a int´egrer
Exercice 7
R 1 xn
Soit, pour n entier, l’ int´egrale In = 0 1+x
2 dx.
Montrer que, pour tout n entier, on a
1
1
≤ In ≤
2(n + 1)
n+1
En d´eduire la limite de la suiteIn .
Exercice 8 (f )
Soit la fonction f (t) d´efinie par :

 f (t) = t
f (t) = 2 − t

f (t) = 0
si
si
ailleurs.
i)
R +∞
R2
Calculer I = 0 f (t) dt puis J = −∞ f (t) dt .
ii)
Calculer
Z
F (p) =
0≤t≤1
1≤t≤2
+∞
f (t)e−pt dt
0
- Page 2/4 -
Exercice 9 (f )
On consid`ere la fonction f de p´eriode 2π d´efinie par :
f (t) = sin t si 0 ≤ t ≤ π
f (t) = 0 si
π ≤ t ≤ 2π
i) Repr´esenter f (t).
ii) Calculer la valeur moyenne de f (t) sur une p´eriode.
R 2π
u n est un entier non nul.
iii) Calculer le nombre An = π1 0 f (t) cos(nt) dt o`
Exercice 10 (*)
t
i) Soit f (t) = 1+t
. Repr´esenter graphiquement f pour : 0 < t < 2 (unit´e : 1 cm).
ii) Calculer l’aire A en cm2 comprise entre Cf , l’axe (Ox) et les deux droites d’´equations :y = 0 et
y = 2.
iii) Par rotation autour de l’axe (Ox) de la courbe Cf , on obtient un solide S. Calculer le volume V
(en cm3) de S donn´e par :
Z 2
V =π
f 2 (t) dt
0
Techniques de calcul d’int´
egrales
Exercice 11 (*)
Calculer
R 2π les int´egrales :
I1 = 0 a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x dx
( a, b, c sont des param`etres r´eels) ,
R 2π
R 2π
I2 = 0 cos px. cos qxdx,
J2 = 0 sin px. cos qxdx,
(o`
u p et q d´esignent des entiers strictement positifs) ;
I3 =
R1
−1
x|x|dx,
I4 =
R 2π
0
R 2π
K2 =
0
sin px. sin qxdx
| cos x|dx.
Exercice 12 (*)
I1 =
R1
I5 =
R2
I9 =
R1
0
x cos x dx
−2
x2 ex dx
3t
0 t2 +1
I13 =
R1√
I17 =
R1
I21 =
R1
0
dt
I6 =
I10 =
1 + x dx
1
0 9x2 +1
0
I2 =
dx
π
4
R
0
R1
0
sin5 x cos x dx
x(x2 + 3)9 dx
R2
1
1 (3x−2)3
I14 =
I18 =
dx
I7 =
I11 =
R1 √
x 2 + x dx
0
R1
2x+5
0 x2 +2x+2
dx
0
R2
0
dx
x
(x2 −1)4
I15 =
I19 =
sin3 x dx
ln x
x
1
R 0,5
π
2
R
I3 =
R1
0
1
2
R
0
x(x + 5)23 dx
- Page 3/4 -
I4 =
I8 =
dx
π
4
0
I12 =
x2 (x3 + 2) dx
3x
x2 +4x−5
R
dx
R1
t
0 t2 +2
dt
tan x dx
R1
−1
x3 cos x dx
I16 =
I20 =
R1
Re
1
x2 ln2 x dx
t2
0 t2 +1
dt
Exercice 13
On admet que la longueur de l’arc de courbe d´efini par : y = f (x), a ≤ x ≤ b est donn´ee par la
formule :
Z bp
L=
1 + f 0 (x)2 dx
a
Calculer la longueur des arcs de courbes suivants :
i) y = a ch xa pour x1 ≤ x ≤ x2
ii) y = ln(cos x) pour 0 ≤ x ≤
π
4.
Exercice 14
Soit f une fonction d´efinie et continue sur [a, b], v´erifiant en tout point de [a, b] l’´egalit´e :
f (x) = f (a + b–x).
D´emontrer l’´egalit´e :
Z
b
xf (x) dx =
a
En d´eduire la valeur de l’int´egrale :
Z
0
π
a+b
2
Z
b
f (x) dx
a
x sin x
dx
1 + cos2 x
Exercice 15 (f )
Calculer l’aire de l’ensemble des points M (x, y) tels que :
π
0≤x≤
et 0 ≤ y ≤ sin3 x.
2
Exercice 16 (f )
On consid`ere un circuit ´electrique parcouru par un courant i(t) = Im sin(ωt + ϕ). Le circuit est
aliment´e par une tension u(t) = Um sin ωt.
i) Calculer Ieff
ii) Calculer la puissance moyenne sur une p´eriode.
Exercice 17 [Extrait Test 2009/2010]
Calculer les int´egrales suivantes :
Z π/2
1. I1 =
2t sin 3t dt
0
Z
1
x2 (x3 + 1)4 dx
2. I2 =
0
Z
3. I3 =
1
Z
4. I4 =
2
x2
dx
x3 + 1
π/2
sin x ecos x dx
0
- Page 4/4 -