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Licence Sciences de la Terre et Environnement
Outils math´
ematiques
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TD1 – Exercices de logique
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Exercice 1. Consid´erons les deux affirmations suivantes
P1 : « Les basketteurs de ce tournoi mesurent tous au moins deux m`etres de haut. »
P2 : « Un au moins de ces basketteurs fait plus de 2,40 m. »
1) En notant B l’ensemble des basketteurs du tournoi et T (x) la taille du basketteur x, r´e´ecrire
ces deux propositions sous forme math´ematique en utilisant les quantificateurs ∃ et ∀.
2) Donner alors leurs n´egations.
´
3) Ecrire
la proposition P1 `a l’aide d’une implication. En donner une forme ´equivalente `a l’aide
d’une disjonction et v´erifier que sa n´egation est bien ´equivalente `a celle donn´ee en (2).
´
Exercice 2. On d´esigne par P et Q deux propositions. Etablir
la table de v´erit´e de la proposition
(P et non Q) ou (non P et Q). Montrer qu’elle est ´equivalente `a (P ou Q) et (non P ou non Q).
` quoi correspondent ces propositions ?
A
´
Exercice 3. Ecrire
les contrapos´ees des propositions suivantes et les d´emontrer (n est un entier,
x et y sont des r´eels) :
1) n est premier donc n est ´egal `a 2 ou est impair,
2) xy #= 0 =⇒ x #= 0 et y #= 0,
3) x #= y =⇒ (x + 1)(y − 1) #= (x − 1)(y + 1).
Exercice 4. Utiliser un raisonnement par l’absurde pour montrer que si n est un entier naturel
non nul alors n2 + 1 n’est pas le carr´e d’un entier naturel.
Exercice 5. D´eterminer, pour n ≥ 1, l’expression de la d´eriv´ee n-i`eme de la fonction d´efinie sur
] − 1, +∞[ par f (x) = ln(x + 1).
Exercice 6. On note par x un r´eel diff´erent de 1. Montrer que pour tout n ∈ N
1 + x + x2 + ... + xn =
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1 − xn+1
.
1−x
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TD2 – Vecteurs - Bases - Applications lin´
eaires
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Exercice 1. Dans la base canonique de R4 , on donne les trois vecteurs :
−
→
V1 = (0, 1, 2, 3),
−
→
−
→
V2 = (−1, 1, 2, −2) et V3 = (−2, −1, 1, 2).
−
→
−
→
−
→
1) Former le vecteur λ1 V1 + λ2 V2 + λ3 V3 .
2) Ces trois vecteurs sont-ils lin´eairement ind´ependants ?
Exercice 2. On rappelle que le produit vectoriel (not´e ∧) de deux vecteurs "u et "v de R3 est un
vecteur de R3 orthogonal `a la fois `a "u et `a "v et dont la norme est donn´ee par
$"u ∧ "v $ = $"u$ $"v $ | sin α|
o`
u α est l’angle form´e par "u et "v .
Si "u et "v sont deux vecteurs de R3 lin´eairement ind´ependants, montrer que
1) le vecteur w
" = "u ∧ "v est non nul.
2) les trois vecteurs "u, "v , w
" forment une base de R3 .
Application : montrer que "u = (1, 2, 3) et "v = (0, 1, 7) sont lin´eairement ind´ependants puis compl´eter
ce syst`eme par un troisi`eme vecteur pour former une base de R3 .
Exercice 3. Soient les quatre vecteurs de R3 dont les composantes dans la base canonique sont
1
"u1 = √ (1, 1, 1),
3
1
"u2 = √ (1, −1, 0),
2
1
"u3 = √ (1, 1, −2),
6
" = (−2, 1, 1).
V
1) V´erifier que "u1 , "u2 , "u3 forment une base B orthonorm´ee.
".
2) Calculer les composantes sur B du vecteur V
Exercice 4. Montrer qu’un syst`eme de n vecteurs non nuls "v1 , "v2 , ..., "vn de Rn deux `a deux
orthogonaux forme une base de Rn .
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Exercice 5. Les applications suivantes sont-elles lin´eaires ?


u1 cos θ + u2 sin θ
1) fθ ("u) =  u2 cos θ − u1 sin θ  , θ ∈ R,
u3


3u1
2) g("u) =  u1 u2  ,
u3
3) h("u) = $"u$
o`
u u1 , u2 et u3 d´esignent les composantes de "u.
` quelle transformation g´eom´etrique correspond l’application fθ ?
A
Exercice 6. Trouver l’application lin´eaire de Rm dans Rm qui combine les deux transformations
suivantes :
– transformer tout vecteur "u en un vecteur "v de mˆeme direction mais deux fois plus long ;
– transformer ce vecteur "v en un vecteur w
" obtenu en le projetant selon la direction de
vecteur unitaire "n donn´e.
On ´ecrira cette application sous forme intrins`eque avant d’en expliciter les composantes en fonction
de celles de "u et de "n sur la base canonique de Rm .
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TD3 – Trigonom´
etrie
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Exercice 1. D´emontrer que pour tout r´eel x, cos 2x = 2 cos2 x − 1.
π
π
π
Exercice 2. Connaissant les valeurs de cos et cos , d´eterminer une valeur exacte de cos
4
3
12
π
puis de cos .
24
Exercice 3. R´esoudre les ´equations suivantes
a) tan 3x = −1,
b) cos(3x + π/4) = cos(x + π/3),
c) sin3 x + cos3 x = 34 (sin x + cos x),
d) sin 3x − sin x − cos 2x + 1 = 0,
√
e) 3 cos x + sin x + 2 = 0.
Exercice 4. Montrer que pour tout r´eel x on a
a) sin x = sin( π3 + x) − sin( π3 − x),
4π
b) cos x + cos( 2π
3 + x) + cos( 3 + x) = 0,
4π
c) sin x + sin( 2π
3 + x) + sin( 3 + x) = 0.
Exercice 5. Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = −4x3 + 3x − 1/2.
a) Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe repr´esentative.
b) Trouver les solutions dans [0; 2π[ de l’´equation, d’inconnue a, sin 3a = 1/2.
c) Montrer que pour tout nombre r´eel a, sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a.
d) D´eduire de la question b) les solutions de l’´equation f (x) = 0.
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Exercice 6. On consid`ere les trois carr´es repr´esent´es sur la figure ci-dessous.
Montrer que γ = α + β.
Exercice 7. En mesurant les angles α et β ainsi que la distance l, on peut d´eterminer la hauteur
h de la montagne. Comment ?
Application : l = 500 m, α = 26◦ , β = 30◦ .
Exercice 8. Les latitudes λ et longitudes L de Londres (A), New York (B) et Buenos Aires (C) sont
λA = 51◦ 30"
λB = 40◦ 43"
LA = −0◦ 10"
LB = −74◦ 01"
λC = −34◦ 36"
LC = −58◦ 27"
D´eterminer les distances entre ces trois villes.
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TD4 – Fonctions de plusieurs variables
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Calcul de d´
eriv´
ees – Gradient
Exercice 1. Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres des fonctions suivantes :
y
2. g(x, y) = xy ,
1. f (x, y) = ,
x
x+y
,
4. k(x, y, z) = sin(xz) + yex − z 2 .
3. h(x, y, z) =
x+z
Calculer les d´eriv´ees partielles deuxi`emes de f .
Exercice 2. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I ⊂ R, d´erivable en x0 et C son graphe :
C = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ I, y = f (x)}.
1. Donner l’´equation de la droite tangente a` C en x0 .
2. D´eterminer les composantes d’un vecteur normal a` C en x0 .
Application – On donne f (x) = x2 et x0 = 12 .
Exercice 3. Soit f une fonction d´efinie sur un domaine D ⊂ R2 , d´erivable en (x0 , y0 ) et S son
graphe :
S = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ D, z = f (x, y)}.
1. Donner l’´equation du plan tangent a` S en (x0 , y0 ).
2. D´eterminer les composantes d’un vecteur normal a` S en (x0 , y0 ).
Application – On donne f (x, y) = x2 + y 2 et (x0 , y0 ) = ( 12 , 12 ).
Repr´
esentation graphique – Lignes et surfaces de niveau
Exercice 4. Repr´esenter la surface P = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = −x − y}. Donner les composantes
d’un vecteur normal a` cette surface. Tracer les lignes de niveau z = 0, z = 1, z = 2 et z = 3.
Exercice 5. Repr´esenter le graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 . Tracer les lignes de niveau
z = 1, z = 2, z = 3 et z = 4. Montrer que le gradient de f peut s’´ecrire
!
"
−−−→
cos θ
gradf (x, y) = 2r
,
sin θ
#
avec r = x2 + y 2 et θ ∈ [0, 2π[.
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– Que vaut le module du gradient de f sur les lignes de niveau pr´ec´edentes ?
– Repr´esenter ce vecteur en quelques points de ces lignes.
` l’aide de cette expression, d´eterminer une
– Donner l’expression de la diff´erentielle de f . A
valeur approch´ee de la variation de f lorsque l’on passe du point de coordonn´ees (1 ; 0) au
point de coordonn´ees (1,01 ; -0.01). Comparer avec la valeur exacte.
Exercice 6. On consid`ere la fonction f : R3 %→ R d´efinie par f (x, y, z) = z 2 − x2 − y 2 . On note
S0 la surface de niveau 0 et S1 la surface de niveau 1 :
S0 = {(x, y, z) ∈ R3 ; f (x, y, z) = 0},
S1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; f (x, y, z) = 1}.
– Calculer les composantes du gradient de f .
– Esquisser les surfaces S0 et S1 .
– Calculer et repr´esenter le vecteur normal a` S0 au point A(1, 0, 1).
– Donner une ´equation du plan tangent a` S0 au point A.
` quelle
Exercice 7. Une mouche se prom`ene sur la surface d´efinie par f (x, y) = 2xy − x3 − y 2 − 1. A
hauteur z = f (x, y) se trouve-t-elle au point P(1, 3) ? Quelle direction doit-elle prendre a` partir de
ce point P pour s’´elever le plus ? descendre le plus ? rester a` la mˆeme hauteur ? On donnera dans
chaque cas le taux de variation local correspondant.
Exercice 8. Quel est le domaine de d´efinition de la fonction f : (x, y) ∈ R2 %→ log(x + y) ?
Repr´esenter quelques unes de ses lignes de niveau (par exemple, les lignes de niveau -2, -1, 0, 1, 2).
Calcul d’extremums
Exercice 9. Calculer les extremums des fonctions f (x) = x4 + x3 et g(x) = x5 + x4 . Pr´eciser dans
les deux cas la nature du point d’abscisse x = 0.
Exercice 10. D´eterminer les extremums locaux et les points de selle des fonctions :
1. f1 (x, y) = x2 + 2x + y 2 − 5,
2. f2 (x, y) = (x − y)2 − x4 − y 4 + 2,
3. f3 (x, y) = 9x2 + 3x2 y + 2y 2 ,
4. f4 (x, y) = sin x sin y dans ] − π, π[×] − π, π[.
Exercice 11. On veut construire un r´ecipient sans couvercle en forme de parall´el´epip`ede `a partir
d’une tˆ
ole d’aluminium de surface S = 3k 2 (k > 0) et d’´epaisseur n´egligeable. On cherche les
dimensions x, y et z du r´ecipient de telle sorte que son volume V soit maximum.
1. Donner l’expression de V en fonction de x, y et k.
2. Quelles valeurs doivent avoir x, y et z pour que V soit maximum ?
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TD5 – Nombres complexes
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Exercice 1. Repr´esenter les images des quatre nombres complexes ci-dessous puis les mettre sous
forme trigonom´etrique.
Z1 = 2 + 2i,
√
Z2 = −1 − i 3,
5
Z3 = − ,
2
Z4 =
√
3 − i.
Exercice 2. Mettre sous forme alg´ebrique les nombres suivants :
eiπ ,
eiπ/2 ,
5eiπ/4 ,
e7iπ ,
e7iπ/2 .
Exercice 3. On d´esigne par k un r´eel quelconque et l’on consid`ere le nombre complexe
z=
1 + ik
.
2k + i(k 2 − 1)
Calculer Re(z) et Im(z).
Exercice 4. R´esoudre dans C les ´equations suivantes :
a) z 2 + (i + 2)z + 3 + i = 0,
b) z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0,
c) z 3 + 3z − 2i = 0.
Exercice 5. Exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x).
Exercice 6. Montrer que les racines cubiques de l’unit´e sont 1, j et j 2 o`
u j est un nombre complexe
que l’on d´eterminera. V´erifier alors la relation 1 + j + j 2 = 0.
Exercice 7. D´eterminer les nombres complexes z tels que z + 5 et z − i aient mˆeme module.
Exercice 8. Montrer que l’´equation cos(x) + 2 sin(x) = 3 n’a pas de solutions.
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