Transcript Ω,τ,µ

UFR de Math´
ematiques
Feuille d’exercices No 2
Cours M61 - ann´
ee 2013-2014
Exercice 1. Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e et 0 < p < 1.
1
R
(1) Montrer par un exemple que kf kp = Ω |f (x)|p dµ p n’est pas une norme sur Lp (Ω, µ) .
(On pourra consid´erer Ω = [0, 1], µ = λ la mesure de Lebesgue et f = χ[0, 1 [ et g = χ[ 1 ,1[ ).
2
2
(2) Montrer que pour tout a, b ∈ R+ , (a + b)p ≤ ap + bp .
(On pourra ´etudier les variations de la fonction hp (t) = (1 + t)p − 1 − tp , t ∈ R+ et 0 < p < 1).
En d´eduire que Lp (Ω, µ) est un espace vectoriel.
R
(3) Pour f, g ∈ Lp (Ω, µ), on pose d(f, g) = Ω |f (x) − g(x)|p dµ.
Montrer que d(., .) est une distance sur Lp (Ω, µ).
Pour les courageux
(4) Montrer que Lp (Ω, µ) muni de d(., .) est complet.
Exercice 2. Soit f ∈ L1 (µ) et pour n ∈ N, posons
(
|f (t)| si |f (t)| ≤ n
gn (t) =
n
si |f (t)| > n
(1) Montrer que la suite (gn )n est croissante et converge ponctuellement vers |f (t)|.
R
(2) Montrer que pour tout > 0, il existe δ > 0 tel que si µ(E) < δ alors E |f (t)|dµ < .
Exercice 3. Montrer que si f ∈ L1 ([0, 1], dλ), λ ´etant la mesure de Lebesgue,
v´erifiant f (x) ≥ α > 0 λ-p.p x ∈ [0, 1], alors ln(f ) ∈ L1 ([0, 1], dλ) et on a
Z
Z
f dλ .
ln(f )dλ ≤ ln
[0,1]
[0,1]
Exercice 4. Soit ϕ : R → R telle que pour toute fonction r´eelle, mesurable et born´ee,
Z 1
Z 1
ϕ
f (x)dx ≤
ϕ(f (x))dx.
0
0
Montrer que ϕ est convexe.
Exercice 5. Soit 0 < t < 1 et a, b ∈ R+ .
(1) montrer que at b1−t ≤ ta + (1 − t)b.
(On pourra ´etudier les variations de la fonction ht (x) = 1 − t + tx − xt , x ∈ R+ ).
1
(2) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans (1) si et seulement si a = b.
(3) Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e. Soit f ∈ Lp (Ω, µ) et g ∈ Lq (Ω, µ) ( p1 +
Montrer que
Z
1
q
= 1).
|f g|dµ = kf kp kgkq ⇐⇒ ∃c ≥ 0 tel que |f |p = c|g|q .
Ω
Exercice 6. Soit (Ω, µ) un espace mesur´e. Montrer que si f, g ∈ L3 (Ω, µ) et kf k3 = kgk3 =
R 2
f gdµ = 1, alors |f | = |g|.
Ω
(On pourra utiliser l’in´egalit´e de H¨older avec p = 32 et q = 3 et Exo 5 (3)).
Exercice 7. Soit (Ω, µ) un espace mesur´e et soit p1 , p2 ∈ [1, +∞[ avec p1 ≤ p2 .
(1) Montrer que ∀p ∈ [p1 , p2 ], on a
Lp1 (Ω, µ) ∩ Lp2 (Ω, µ) ⊆ Lp (Ω, µ).
(On pourra utiliser l’in´egalit´e de H¨older).
(2) Supposons que p1 = 1 et p2 = 2 et f ∈ L1 (Ω, µ) ∩ L2 (Ω, µ). Montrer que
lim kf kp = kf k1 .
p→1+
(On pourra consid´erer A = {x ∈ Ω; |f (x)| ≥ 1} et la fonction g = f 2 χA + f χAc ).
Exercice 8. On suppose que Ω = R et µ = λ la mesure de Lebesgue. D´eterminer pour chaque
p ∈ [1, +∞] un ´el´ement f ∈ Lp (λ) tel que f ∈
/ Ls (λ), s 6= p.
Exercice 9. (1) Soient p, q, r ≥ 1 tels que 1r = p1 + 1q .
Montrer que si f ∈ Lp (Ω, µ) et g ∈ Lq (Ω, µ), alors f g ∈ Lr (Ω, µ) et
kf gkr ≤ kf kp kgkq .
(2)Soit f : Ω → R ( ou
C) une fonction mesurable. Pour p ∈ [1, +∞[, on pose
Z
ϕ(p) =
|f (x)|p dµ
et
Dϕ = {p ∈ [1, +∞[; 0 < ϕ(p) < +∞}.
Ω
Montrer que Dϕ est un intervalle (´eventuellement vide).
(Indication Si r ∈ [p, q] et si f ∈ Lp (Ω, µ) ∩ Lq (Ω, µ) introduire le r´eel α tel que 1r = αp + 1−α
).
q
(3) Montrer que l’application φ : Dϕ → R d´efinie par φ(p) = ln(ϕ(p)) est une fonction convexe.
(4) Montrer que pour tout q ∈ [1; +∞[,
\
Lq (Ω, µ) ∩ L∞ (Ω, µ) ⊂
Lp (Ω, µ)
q≤p≤∞
et pour tout f ∈ Lq (Ω, µ) ∩ L∞ (Ω, µ),
lim kf kp = kf k∞ .
p→+∞
2
Exercice 10. Soit 1 ≤ p < +∞
(1) Montrer que
|α − β|p ≤ 2p−1 (|α|p + |β|p )
∀α, β ∈ C.
(On pourra utiliser la convexit´e de la fonction x 7→ xp dans R+ ).
(2) Soit µ une mesure positive sur Ω et fn ∈ Lp (µ) telle que
(a)
lim fn (x) = f (x) µ − p.p. x ∈ Ω
n→+∞
et
(b)
lim kfn kp = kf kp .
n→+∞
Montrer que fn converge vers f dans Lp (µ) (i.e. limn→+∞ kfn − f kp = 0).
(On pourra utiliser (1) et le lemme de Fatou).
(3) Montrer, par un exemple, que la conclusion de (2) est fausse si on supprime l’hypoth`ese (b)
mˆeme si µ(Ω) < ∞.
Exercice 11. Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e, p ∈ [1, +∞[ et soit g ∈ Lq (µ) o`
u q est l’exposant
p
conjugu´e de p. Soit T : L (µ) → C d´efinie par
Z
T (f ) =
f gdµ.
Ω
(1) Montrer que T est lin´eaire et continue et kT k ≤ kgkq .
(2) En utilisant la fonction f (x) = g(x)|g(x)|q−2 si g(x) 6= 0, f (x) = 0 sinon,
montrer que kT k = kgkq .
3