Transcript IGE administrateur des systèmes d`information

Lyc´
ee St-Joseph de Tivoli
Premi`
ere S
Octobre 2014
Corrig´
e du DL n°2
- Probl`eme ouvert avec prise d’initiative -
´
Enonc´
e.
Deux cargos suivent des routes rectilignes et perpendiculaires `a la mˆeme vitesse.
Quand le premier est encore `a 10 kilom`etres de l’intersection de leurs trajectoires, l’autre est a` 8 kilom`etres
de ce point.
Il y a de la brume et la visibilit´e n’exc`ede pas 1,3 kilom`etre.
Le probl`eme est le suivant : pourront-ils se voir `a un moment de leurs parcours ?
........................................................................................................
Une solution.
Sur le graphique ci-contre, A d´esigne le premier cargo, B le second.
` l’instant
Notons v leur vitesse exprim´ee en km/h. A
t (o`
u t d´esigne le temps en heures `a partir de la situation d´ecrite dans l’´enonc´e), on a A (−10 + vt ; 0)
et B (0 ; 8 − vt).
Aussi, du fait que leurs trajets soient perpendiculaires, le rep`ere choisi naturellement est orthonorm´e
(unit´e de longueur : 1 km), et le carr´e de la distance
(en km) entre les deux cargos est donn´e par :
10
8
b
B
6
4
2
A
AB 2 = (−10 + vt)2 + (8 − vt)2
2 2
2 2
−12
−10
−8
−6
−4
−2
= 100 − 20vt + v t + 64 − 16vt + v t
−2
= 2v 2 t2 − 36vt + 164.
La visibilit´e n’exc´edant pas 1,3 km, le probl`eme revient alors `a d´eterminer s’il existe un r´eel t > 0 tel que
AB 6 1, 3.
b
Or,
AB 6 1, 3 ⇔ AB 2 6 1, 32 (car l’in´egalit´e porte sur des nombres positifs)
⇔ 2v 2 t2 − 36vt + 164 6 1, 32
⇔ 2v 2 t2 − 36vt + 162, 31 6 0 (⋆)
Notons alors P (t) le polynˆome 2v 2 t2 − 36vt + 162, 31 (o`
u v n’est pas une variable puisque la vitesse des
2
cargos est fixe). Le discriminant de P est ∆ = (−36v) − 4 × 2v 2 × 162, 31 = −2, 48v 2 .
Quelle que soit la vitesse (non nulle) des cargos, il apparaˆıt que ∆ est strictement n´egatif. On sait alors
que P n’admet alors aucune racine et pour tout t, P (t) est du signe du cœfficient dominant 2v 2 , c-`a-d
positif.
Ainsi, l’in´egalit´e (⋆) n’est jamais vraie et donc AB est toujours sup´erieure a` 1, 3.
En conclusion, les deux cargos ne se verront `a aucun moment de leurs parcours.
- 1/2 -
LATEX 2ε
Lyc´
ee St-Joseph de Tivoli
Premi`
ere S
Octobre 2014
Compl´
ement (une autre fa¸con). On a prouv´e pr´ec´edemment que AB 2 = 2v 2 t2 − 36vt + 164.
Consid´erons alors le polynˆome Pv (t) = 2v 2 t2 − 36vt + 164 (o`
u v 6= 0 est fix´e, v ´etant la vitesse commune
des deux cargos).
Le cœfficient dominant de Pv ´etant positif (2v 2 > 0), on sait d’apr`es le cours que Pv est d´ecroissante puis
b
36v
9
croissante et change de variation en t = − = 2 = .
2a
4v
v
On sait aussi que le sommet S de la parabole repr´esentant ce trinˆome admet comme coordonn´ees :
xS = −
Ainsi, S
Å
9
b
=
2a
v
et yS =
−∆
16v 2
=
= 2.
4a
8v 2
9 ã
; 2 et le t.d.v de Pv est donn´e par :
v
t
Pv (t)
−∞
9
v
+∞
&2%
Il apparaˆıt donc que Pv admet 2 comme minimum sur R.
Par suite, AB 2 > 2 et donc, par croissance de la fonction racine carr´ee sur R+ , AB >
Les cargos sont donc toujours distants de plus d’environ 1, 414 km.
√
2 ≈ 1, 414.
Vu qu’en raison de la brume, la visibilit´e n’exc`ede pas 1, 3 km, on peut alors conclure que les deux cargos
ne se verront jamais.
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
- 2/2 -
LATEX 2ε