Transcript Examen Réparti 1

UPMC
M1 Informatique
UE COMPLEX (4I900)
2014-2015
Examen R´
eparti 1
Novembre 2014
Dur´ee : 2 heures
Seuls les documents de cours et de TD/TME sont autoris´es.
Le bar`eme est donn´e `
a titre indicatif et peut donc ˆetre sujet a
` modifications.
Toute r´eponse devra ˆetre correctement justifi´ee.
Exercice 1 (4 points)
Question 1 (2/4) — On consid`ere la machine de Turing suivante, o`
u q0 est l’´etat initial, qa l’´etat
d’acceptation et qr l’´etat de rejet. Quel est le langage reconnu (l’alphabet ´etant {a, b} pour les
mots) ? Une justification rapide suffit.
→D
qa
q0
a, b → D
a, b → D
q2
a, b → D
q1
→D
→D
qr
Figure 1 – Machine de Turing
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Question 2 (2/4) — Dire pour chacune des deux affirmations suivantes si elles sont vraies ou
fausses : les r´eponses devront ˆetre justifi´ees.
1. Soient A et B deux probl`emes NP-complets. Il existe n´ecessairement une r´eduction polynomiale de A `
a B, et une r´eduction polynomiale de B `a A.
2. Soient A et B deux probl`emes appartenant `a la classe P (probl`emes polynomiaux). Il existe
n´ecessairement une r´eduction polynomiale de A `a B, et une r´eduction polynomiale de B `
a A.
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Exercice 2 (10 points)
Etant donn´e un graphe non orient´e G = (V, E), une couverture de ce graphe est un sous-ensemble
de sommets V ′ tel que toute arˆete a au moins une extr´emit´e dans V ′ :
∀(i, j) ∈ E, i ∈ V ′ ou j ∈ V ′
Par exemple, sur le graphe de la figure 2, V ′ = {1, 3, 4, 6} est une couverture, mais V ′′ = {3, 6, 7}
n’en est pas une car l’arˆete (4, 5) n’est pas couverte.
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Figure 2 – Exemple
On consid`ere alors le probl`eme suivant : ´etant donn´e un graphe G = (V, E), trouver une couverture de G de taille minimale.
Question 1 (1/10) — Donner une solution optimale sur le graphe de la figure 2 (on ne demande
pas de justification).
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Question 2 (1/10) — De mani`ere g´en´erale, dans un graphe `a n sommets, donner un majorant du
nombre de solutions r´ealisables.
Question 3 (1.5/10) — Montrer que le probl`eme de d´ecision associ´e (´etant donn´es un graphe G et
un entier k, d´eterminer s’il existe une couverture de taille au plus k) est NP-complet. On suppose
que l’on sait que le probl`eme STABLE est NP-complet.
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On consid`ere l’algorithme AP P ROXV C suivant :
———— AP P ROXV C ———————————————————–
C←∅
Tant qu’il existe dans G une arˆete e = (i, j) non couverte par C, faire :
C ← C ∪ {i, j}
Fin Tant Que
Renvoyer C
——————————————————————————————–
Question 4 (1.5/10) — Appliquer l’algorithme sur le graphe de la figure 2. On donnera simplement
`a chaque ´etape l’arˆete dont les deux extr´emit´es sont ajout´ees, ainsi que la solution renvoy´ee.
Question 5 (0.5/10) — De mani`ere g´en´erale, soit (i1 , j1 ), (i2 , j2 ), . . . , (ik , jk ) les arˆetes dont les
deux extr´emit´es sont ajout´ees `
a chaque ´etape.
Exprimer |C| en fonction de k.
Question 6 (1.5/10) — Minorer la valeur optimale OP T (G) en fonction de k, et en d´eduire que
l’algorithme AP P ROXV C est 2-approch´e.
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Question 7 (0.5/10) — Trouver un graphe G et une ex´ecution de AP P ROXV C o`
u la solution
renvoy´ee C est telle que |C| = 2OP T (G).
Question 8 (1/10) — On consid`ere maintenant le probl`eme de la couverturePpond´er´ee o`
u chaque
′
sommet v a un poids w(v), et l’on cherche une couverture V de poids total v∈V ′ w(v) minimal.
AP P ROXV C est-il toujours 2-approch´e pour le probl`eme de la couverture pond´er´ee ? (si oui le
prouver, si non donner un contre-exemple).
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Question 9 (1.5/10) — On consid`ere le probl`eme du stable maximum et l’on propose l’algorithme
AP P ROXStable consistant `
a renvoyer V \ AP P ROXV C (G).
Cet algorithme renvoie-t-il toujours une solution r´ealisable ? Est-il 1/2-approch´e ? (si oui le
prouver, si non donner un contre-exemple).
Exercice 3 (7 points)
On s’int´eresse `
a la r´esolution d’un probl`eme de partition ´equitable de coˆ
ut minimal d’un graphe
non orient´e connexe G = (V, E) `
a n sommets et m arˆetes dans lequel chaque arˆete {x, y} ∈ E
poss`ede une valuation c(x, y). Il s’agit de diviser V en deux sous-ensembles
V1 et V2 de cardinalit´es
P
respectives
|V
|
=
n
et
|V
|
=
n
tels
que
|n
−
n
|
≤
1
et
que
c(x,
y) soit minimale. La
1
1
2
2
1
2
x∈V1 ,y∈V2
P
valeur x∈V1 ,y∈V2 c(x, y) repr´esentera le coˆ
ut de la partition.
Question 1 (1/7) — La partition (V1 = {1, 2, 3}, V2 = {4, 5, 6, 7}) du graphe G1 est-elle ´equitable ?
Calculer son coˆ
ut.
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Figure 3 – Graphe G1
Question 2 (1/7) — Dans le cas g´en´eral, on associe `a chaque sommet i de V , une variable binaire
xi qui indique dans quel sous-ensemble est plac´e le sommet i. Exprimer `a l’aide de ces variables, la
contrainte de partition ´equitable ainsi que la fonction `a optimiser.
On s’int´eresse `
a la r´esolution de ce probl`eme (difficile) par une m´ethode arborescente exacte.
Question 3 (1/7) — On consid`ere l’algorithme suivant dans lequel V1 est un sous-ensemble de
sommets initialement vide :
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1. Choisir un sommet v1 de V et le placer dans V1 .
2. Pour i = 2, · · · , ⌈ n2 ⌉ ;
Choisir le sommet y ∈ V \V1 et y adjacent `a un des sommets de V1 dont la somme des
coˆ
uts aux ´el´ements de V1 est maximale.
Ajouter y `
a V1 .
Que permet de calculer cet algorithme ? Quelle est sa complexit´e ?
Question 4 (1/7) — Donner la valeur de V1 obtenue pour le graphe G1 en prenant v1 = 1.
Question 5 (2/7) — Etant donn´es deux sous-ensembles de sommets V1 de cardinalit´e p < n2 et V2
de cardinalit´e q < n2 , d´efinir un minorant de la valeur de toute solution construite `a partir de V1 et
V2 .
Indication : Si l’on note V¯ = V \{V1 ∪ V2 }, il faudra pour ce faire, ´evaluer les coˆ
uts des arˆetes :
– entre V1 et V2 ,
– entre V1 et V¯ ,
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– entre V2 et V¯ ,
– entre des sommets de V¯ .
Question 6 (1/7) — A partir des questions pr´ec´edentes, d´ecrire un algorithme exact de branchand-bound permettant de r´esoudre le probl`eme de partition ´equitable de coˆ
ut minimal en indiquant
votre sch´ema de branchement ainsi que vos fonctions d’´evaluation (par exc`es et par d´efaut) de la
fonction `a optimiser.
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