Transcript ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Exercices

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´ ERALE
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ECOLE
POLYTECHNIQUE FED
DE LAUSANNE
Exercices de Physique du Solide
Prof. Harald Brune
S´
erie No. 17
13 Mars 2014
But de cette s´erie :
- calculer la structure de bande du graph`ene par la m´ethode des liaisons fortes ;
- comparer le r´esultat `a des courbes exp´erimentales r´ecentes.
M´
ethode des liaisons fortes : graph`
ene
Le graph`ene est un syst`eme bidimensionnel compos´e d’atomes de carbone arrang´es dans
une structure `a nid d’abeille. La maille ´el´ementaire du graph`ene (parametre de maille
a) comporte deux atomes de carbone (voir sch´ema ci-dessous), nous les noterons 1 et 2.
Pour le r´eseau√de Bravais, nous utiliserons les vecteurs primitifs suivants : a1 = a(1, 0) et
u a = 2.46 ˚
A.
a2 = a(−1/2, 3/2), o`
Les atomes num´erot´es 1 (verts) se trouvent sur les sites donn´e√
s par R = n1 a1 + n2 a2 et
les atomes 2 (bleus) sur R = n1 a1 + n2 a2 + t1 , o`
u t1 = a(0, 1/ 3).
ky
b2
y
b1
2
a2
M
t1
Γ
x
K kx
a1
1
ΓΜ=2π /a √3
R1
R2
PZB du graphène
Parmi les quatre (2s2 2p2 ) ´electrons de valence de chaque atome de carbone, trois participent a` des liaisons dans le plan. Nous consid`ererons seulement le quatri`eme ´electron qui
se trouve dans une orbitale de type pz . La fonction d’onde associ´ee a` cette orbitale est
not´ee φp (r). Elle est telle que :
Hat |φp i = εp |φp i
avec hφp |φp i = 1
(1)
La m´ethode des liaisons fortes consiste `a d´ecomposer la fonction d’onde a` un ´electron
sur une base de fonctions d’onde atomiques. Ici nous s´eparons donc la structure en deux
sous-r´eseaux (1 et 2) comme propos´e par P.R. Wallace, [Physical Review 71, 622 (1947)].
Dans ce cas, la fonction d’onde a` un ´electron ψ(r) s’´ecrit :
X
(2)
ψ(r) = b1 ϕ1 (r) + b2 ϕ2 (r) =
eik·R b1 φp (r − R) + b2 eik·t1 φp (r − R − t1 )
R
1
Pour trouver la relation E(k), il faut r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger avec l’hamiltonien
H = Hat + ∆V (r) o`
u Hat est l’hamiltonien atomique et ∆V (r) le champ cristallin.
(a) Projeter l’´equation de Schr¨odinger sur les ´etats hϕ1 | et hϕ2 | pour ´etablir un
syst`eme de deux ´equations pour b1 et b2 , sans calculer explicitement les ´el´ements
hϕi |H|ϕj i = Hij , avec j = 1, 2. (Indications : n´egliger les termes de recouvrement
du type hϕ1 |ϕ2 i ainsi que les termes de recouvrement entre diff´erentes mailles.)
Ce syst`eme en b1 et b2 admet des solutions non triviales si son d´eterminant est nul.
En d´eduire une ´equation pour E(k).
(b) Evaluer les ´elements de matrice H11 (et H22 ) et H12 . (Indications : n´egliger le
terme de champ cristallin hϕ1 |∆V |ϕ1 i ; consid`erer uniquement les termes de transfert hϕ1 |∆V |ϕ2 i entre les atomes plus proches voisins.) On definit l’int´egrale de
transfert entre les atomes plus proches voisins :
−γ = hφp (r)|∆V |φp (r − (Rj + t1 )voisins )i j = 0, 1, 2
(3)
o`
u R0 = 0 et R1,2 sont repr´esent´es sur la figure ci-dessus. Apr`es ces simplifications,
montrer que l’on peut ´ecrire la relation de dispersion comme :
i1/2
h
√
E(k) = εp ± γ 1 + 4 cos2 (ky a/2) + 4 cos(ky a/2) cos(kx 3a/2)
(4)
(c) Calculer l’´energie aux points Γ, M et K de la PZB (voir la figure). En supposant
que la variation de l’´energie avec k entre ces points est monotone, tracer E en
fonction de k le long de ce chemin.
(d) Pour mod´eliser ce syst`eme, nous consid`ererons les conditions aux limites de Born
von Karman. Donner le nombre de vecteurs k possibles dans la PZB. En d´eduire la
position du niveau de Fermi par rapport a` εp .
(e) D’apr`es la mesure de la relation de dispersion dans la figure ci-dessous [A. Bostwick
et al., Nature Physics 3, 36 (2007)], estimer la valeur de γ.
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