Transcript UPS L3MAF Calcul différentiel. Devoir 2. 2013/2014 Exercice 1. L

UPS L3MAF Calcul diff´
erentiel. Devoir 2. 2013/2014
Exercice 1. L’´
equation d’Euler–Lagrange. Soient Ω un ouvert dans R3 et
L : Ω → R une fonction d´erivable. On note E = C 2 ([0, 1], R) (le choix de la norme
n’est pas important). Pour x ∈ E, on note t l’argument de x et on note x˙ = dx/dt,
x
¨ = dx/dt.
˙
Soit U = {x ∈ E | ∀ t ∈ [0, 1], (t, x(t), x(t))
˙
∈ Ω }.
On consid`ere la fonctionnelle J : U → R d´efinie par :
J(x) =
Z
1
L(t, x(t), x(t))
˙
dt
0
Soit x un point critique de J. L’objectif est de montrer que x v´erifie l’´equation
diff´erentielle suivante dite l’´equation d’Euler–Lagrange :
d ∂L
∂L
=
dt ∂ x˙
∂x
(EEL)
Ici, puisque le deuxi`eme argument de L est x(t) et le troisi`eme argument est x(t),
˙
on note ∂L/∂x et ∂L/∂ x˙ les d´eriv´ees partielles de L par rapport au deuxi`eme et au
troisi`eme argument de L respectivement. Donc l’´ecriture plus formelle de (EEL)
est
d
= (∂2 L) t, x(t), x(t)
˙
.
(∂3 L) t, x(t), x(t)
˙
∀ t ∈ [0, 1],
dt
R1
Par exemple, si J(x) = 0 21 (x˙ 2 − x2 ) dt, alors ∂L/∂ x˙ = x,
˙ ∂L/∂x = −x et donc
(EEL) prend la forme x
¨ = −x (l’oscilateur harmonique).
(a). En utilisant l’int´egration par parties, pr´esenter
forme
Z 1
1
(. . . )h 0 +
. . . h dt
d
J(x
ds
+ hs), h ∈ E, sous la
0
o`
u les (. . . ) ne dependent pas de h.
(b). Conclure. Indication : utiliser les fonctions cloches h (les fonctions lisses de
support [t − ε, t + ǫ]).
Le principe de moindre action.
Beaucoup de syst`emes m´ecaniques simples v´erifient le principe de moindre action, ce qui veut dire que la loi d’´evolution du syst`eme x(t) est un point critique
Rt
(d’habitude un minimum) de la fonctionnelle t12 (T −V ) dt (dite l’action du syst`eme)
o`
u t est le temps, T est l’´energie cin´etique et V est l’´energie potencielle.
Exercice 2. (a). D´eterminer l’´energie cin´etique T d’une poulie de rayon R et
de masse m (distribu´ee uniformement) qui tourne `a vitesse angulaire ω.
Indication : int´egrer 12 v 2 dm sur le disque en passant aux coordonn´ees polaires.
(b). En admettant que le syst`eme sur le dessin (T.S.V.P.) v´erifie le principe de
moindre action, d´eterminer x(t) (t est le temps, x(t) est la distance indiqu´ee sur
le dessin). On suppose que x(0) = x0 et x(0)
˙
= 0 et que la masse de la corde est
n´egligeable.
(c). La mˆeme question en supposant que la masse lin´eique de la corde est µ.
1
2
R
m
x(t)
R
m
M1
M2