Transcript DL6 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DL6
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir libre de Sciences Physiques n˚6 du 26-01-2015
Probl`
eme no 1 – Diagramme E − pH du chrome
CCP PC 2005
Le dichromate de potassium K2 Cr2 O7 s est relativement bien soluble en solution aqueuse. Les ions dichromates
Cr2 O2−
constituent de tr`es bons oxydants. L’objectif de cette ´etude est de pr´evoir la stabilit´e des solutions
7
aqueuses contenant des ions dichromates grˆ
ace au diagramme E − pH.
A. Caract´
eristiques du diagramme E − pH
Le diagramme potentiel-pH du chrome est fourni `a la figure 1. Les esp`eces consid´er´ees sont : Crs , Cr2+ , Cr3+ ,
2−
Cr2 O2−
e est effectu´e pour une concentration c = 0, 1 mol · L−1 attribu´ee a` chaque
7 , CrO4 , et Cr(OH)3 s . Le trac´
solut´e. En pointill´es, figurent les droites des deux couples de l’eau O2 gaz /H2 O de potentiel standard E ◦ = 1, 23 V
et H+ /H2 gaz de potentiel standard E ◦ = 0, 00 V.
E( V)
2, 00
1
1, 00
2
a
c
3
e
0, 00
4
b
5
−0, 94
b
b
A
d
6
−2, 00
0
7
Figure 1 – Diagrammes du chrome et de l’eau
14
pH
Donn´ees :
` la temp´erature de 298 K on a : E1◦ = −0, 41 V pour le couple Cr3+ /Cr2+ ; E2◦ = 1, 33 V pour le couple
A
3+
Cr2 O2−
7 /Cr .
2−
+
L’´equilibre : Cr2 O2−
ede une constante d’´equilibre K = 10−14,4 .
7 + H2 O ⇋ 2CrO4 + 2H poss`
1. D´eterminer les nombres d’oxydation du chrome dans chaque forme propos´ee. Justifier en particulier que les
2−
ions Cr2 O2−
es par une relation d’acido-basicit´e.
7 et CrO4 sont li´
2. Attribuer, en justifiant votre raisonnement, aux diverses esp`eces les diff´erents domaines num´erot´es de 1 a` 6.
3. D´eterminer le potentiel standard E3◦ du couple Cr2+ /Crs .
4. D´eterminer le produit de solubilit´e de l’hydroxyde de chrome Cr(OH)3 s .
2−
5. D´eterminer l’´equation de la fronti`ere s´eparant les domaines de pr´edominance de Cr2 O2−
7 et de CrO4 .
6. D´eterminer l’´equation de la droite a.
7. D´eterminer les coefficients directeurs des droites b, c, d et e.
8. D´eterminer en utilisant le graphique le potentiel standard E4◦ du couple Cr2 O2−
7 /Cr(OH)3 s .
9. V´erifier en utilisant uniquement des donn´ees thermodynamiques (fournies ou d´eduites des questions pr´ec´edentes) que la valeur de E4◦ obtenue `a la question pr´ec´edente grˆace au graphique correspond bien `a celle fournie
par la Thermodynamique.
10. On poss`ede une solution de l’esp`ece 5 dont les caract´eristiques sont telles qu’elle se situe au voisinage du
´
point A (voir la figure 1). Quel type de r´eaction chimique se produit si on ´el`eve le pH de la solution ? Ecrire
l’´equation de la r´eaction.
11. D´eterminer les ´equations des deux droites des couples de l’eau.
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12. En reproduisant rapidement sur votre copie, le diagramme E − pH, placer les domaines de stabilit´e de
l’ensemble des formes du chrome propos´ees ainsi que ceux de O2 gaz , H2 O et H2 gaz .
13. Quelle r´eaction chimique est-elle susceptible de se produire entre les ions Cr2 O2−
et l’eau ? Dans quel
7
domaine de pH ?
` quelle condition une solution aqueuse de dichromate de potassium est-elle stable ? En pratique, on
14. A
utilise parfois au laboratoire de chimie des solutions qui n’ob´eissent pas `a cette condition. Expliquez pourquoi
ceci est-il possible ?
15. Sur le diagramme reproduit sur votre copie, d´efinir les domaines dit d’immunit´e du chrome, de corrosion
et de passivation. On donnera quelques explications succinctes.
Probl`
eme no 2 – L´
evitation magn´
etique
X PC 2004
Le but de ce probl`eme est d’interpr´eter certaines exp´eriences de l´evitation conduites r´ecemment sur des substances dites diamagn´etiques comme l’eau, le graphite, les mati`eres plastiques. . . Ces exp´eriences sont rendues
possibles `a temp´erature ordinaire grˆace `a l’obtention de champs magn´etiques ´elev´es, sup´erieurs en g´en´eral a`
10 T.
Dans le probl`eme, le r´ef´erentiel du laboratoire est not´e (R). Il est suppos´e galil´een, Oxyz en ´etant un rep`ere
orthonorm´e.
En coordonn´ees cylindriques (r, θ, z), les composantes d’un vecteur A sont not´ees Ar , Aθ et Az .
div A =
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aθ
∂Az
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
−→
(rot A)r =
−
r ∂θ
∂z
∂Az
∂Ar
−→
(rot A)θ =
−
∂z
∂r
1 ∂(rAθ ) 1 ∂Ar
−→
(rot A)z =
−
r ∂r
r ∂θ
On rappelle la loi de composition des vitesses et des acc´el´erations :
v(R) = v(R′ ) + Ω ∧ r
a(R) = a(R′ ) + 2Ω ∧ v(R′ ) + Ω ∧ (Ω ∧ r)
′
pour un r´ef´erentiel (R ) en rotation par rapport au r´ef´erentiel (R) `a la vitesse angulaire Ω constante autour
d’un axe fixe passant par l’origine O.
Donn´ees num´eriques :
Constante d’Avogadro
Champ de pesanteur
Charge ´el´ementaire
Masse de l’´electron
Masse d’un nucl´eon
Permittivit´e du vide
Perm´eabilit´e du vide
:
:
:
:
:
:
:
NA
g
e
me
MN
ε0
µ0
=
=
=
=
=
=
=
6, 02 × 1023 mol
9, 81 m · s−2
1, 6 × 10−19 C
0, 91 × 10−30 kg
1, 66 × 10−27 kg
8, 85 × 10−12 F · m−1
4π × 10−7 H · m−1
A. Champ magn´
etique et orbites ´
electroniques
Un noyau fixe, de charge Ze est plac´e en O. Un ´electron de charge −e, soumis `a l’interaction ´electrostatique du
noyau d´ecrit une trajectoire circulaire (C) de rayon r0 .
´
1. Ecrire
l’´equation E(R) du mouvement de l’´electron dans (R) et donner sa pulsation ω0 en fonction de Z, e,
me masse de l’´electron et r0 .
2. En assimilant la trajectoire (C) `a une spire de courant, donner la relation entre le moment cin´etique L de
l’´electron par rapport `a O et le moment magn´etique µ associ´e `a la spire de courant (C).
3. Application num´erique. Calculer ω0 et µ pour r0 = 10−10 m et Z = 1.
~ uniforme et constant.
On applique `a ce syst`eme un champ magn´etique B,
´
4. Ecrire
dans (R) l’´equation du mouvement de l’´electron.
5. On consid`ere un r´ef´erentiel (S), li´e au rep`ere Ox′ y ′ z ′ , en rotation par rapport `a (R) `a la vitesse angulaire
´
Ω constante. Ecrire
l’´equation E(S) du mouvement de l’´electron dans ce r´ef´erentiel.
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~ pour que E(S) ne contienne plus de terme lin´eaire en B.
~ Calculer
6. D´eterminer Ω, en fonction de e, me et B,
la valeur correspondante de Ω pour B = 10 T.
´
7. Expliciter les termes d’ordre B 2 que contient E(S) . Evaluer
num´eriquement leur importance relative dans
l’´equation en utilisant les r´esultats de la question pr´ec´edente. Ils seront par la suite n´eglig´es. Montrer que dans
ces conditions, il y a identit´e formelle des ´equations E(S) et E(R) .
~ = B~ez est orthogonal `a (C). En admettant que la trajectoire (C) n’est pas
8. On consid`ere le cas o`
u B
modifi´ee par la pr´esence du champ, d´eterminer la variation ∆L du moment cin´etique par rapport `a O et due a`
l’introduction du champ. Quelle est la variation associ´ee ∆µ du moment magn´etique ?
9. Calculer num´eriquement ∆µz /µz pour B = 10 T et les valeurs donn´ees pr´ec´edemment.
L’´etablissement du champ magn´etique, s’effectue en r´ealit´e sur une dur´ee τ tr`es longue devant la p´eriode du
mouvement ´electronique. Soit Bz (t) la valeur instantan´ee du champ, avec Bz (0) = 0 et Bz (t) = B pour t ≥ τ .
On le suppose orthogonal `a (C) `a tout instant.
~ `a travers un cercle de rayon r et d’axe Oz , puis celle de la force
10. Donner l’expression du flux de B
´electromotrice induite le long de la circonf´erence de ce cercle. En d´eduire la composante orthoradiale Eθ du
champ ´electrique induit.
e
´
11. Ecrire
l’´equation d’´evolution temporelle de Lz . En d´eduire que Lz − r2 B est une constante du mouvement.
2
12. Montrer que la variation ∆Lz que l’on peut d´eduire est compatible avec celle obtenue `a la question 8 si
l’on admet que la trajectoire n’est pas modifi´ee.
13. Un corps solide ou liquide contient N atomes identiques par unit´e de volume ; le noyau de chaque atome
contient Z protons et A − Z neutrons. On suppose que les diff´erentes orbites ´electroniques de l’atome ont des
orientations telles que le moment magn´etique total est nul en l’absence de champ magn´etique. En supposant
valable pour l’ensemble du cort`ege ´electronique l’´equivalence de l’application du champ magn´etique et de la
~ un
rotation `a la vitesse angulaire Ω d´etermin´ee en 6, montrer que l’atome acquiert sous l’effet d’un champ B
moment magn´etique donn´e par :
µat = −
Ze2 (x2 + y 2 ) ~
B
4me
o`
u (x2 + y 2 ) d´esigne une moyenne sur les diff´erentes orbites ´electroniques rep´er´ees par rapport au centre de
l’atome.
14. µR d´esignant la perm´eabilit´e relative d’un mat´eriau, on pose µR = 1 + χ, χ ´etant appel´e la susceptibilit´e
~
B
~ est le champ
magn´etique. Dans le cas o`
u |χ| ≪ 1, on peut adopter la relation approch´ee M ≃ χ
o`
u B
µ0
magn´etique externe appliqu´e et M le vecteur aimantation du corps d´efini comme le moment dipolaire volumique
du mat´eriau. Donner l’expression de χ.
15. Calculer χ pour un corps de masse volumique ρ = 103 kg · m−3 , avec Z/A = 1/2 et x2 + y 2 = 10−20 m2 .
Comparer `a la susceptibilit´e des corps suivants :
χ
cuivre
−9, 4 × 10−6
eau
−9, 1 × 10−6
alcool
−7, 0 × 10−6
graphite
−6, 0 × 10−6
B. L´
evitation
~
Un champ magn´etique statique B(r)
poss`ede la sym´etrie de r´evolution autour de l’axe Oz dans une r´egion o`
u
le vecteur densit´e de courant est nul. On cherche `a pr´eciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe
de sym´etrie, en utilisant un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (r, θ, z).
´
~ au voisinage de l’axe Oz.
16. Ecrire
les ´equations satisfaites par B
~ quelles en sont les composantes non nulles et de
17. Compte tenu des propri´et´es de sym´etries du champ B,
quels param`etres d´ependent-elles ?
18. Soit M un point de l’axe Oz de cote zM et P (r, θ, zM + ζ) un point situ´e au voisinage imm´ediat de
M . V´erifier que le d´eveloppement en s´erie de Taylor limit´e au deuxi`eme ordre (inclus) en r et ζ du champ
~ ):
magn´etique B(P
Br (P ) = −a1
r
− a2 rζ
2
Bz (P ) = a0 + a1 ζ + a2
2ζ 2 − r2
2
satisfait aux ´equations du champ.
19. Exprimer les coefficients a0 , a1 et a2 en fonction de BM = B(M ), B ′ (M ) =
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∂B ∂ 2 B ′′
et
B
(M
)
=
.
∂z zM
∂z 2 zM
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20. Montrer que l’expression de B 2 (P ), en se limitant au deuxi`eme ordre (inclus) en r et ζ, a pour expression :
2
′
′2
′′
′2
′′
B 2 (P ) = BM
+ 2BM BM
ζ + (BM
+ BM BM
)ζ 2 + (BM
− 2BM BM
)
r2
4
L’axe Oz est vertical. On place au point P un corps homog`ene, de volume V , de masse volumique ρ et de
susceptibilit´e magn´etique χ. Il est soumis au champ magn´etique pr´ec´edent et au champ de pesanteur. Si |χ| ≪ 1,
la force qu’exerce le champ magn´etique sur le corps d´erive d’une ´energie potentielle Umag donn´ee par :
Umag = −
1
V χB 2 (P )
2µ0
~ au point P comme sa valeur
le volume du corps ´etant consid´er´e comme assez petit pour prendre la valeur de B
moyenne sur le corps.
21. Soit Utot l’´energie potentielle totale du corps ; en donner l’expression `a l’ordre 2 inclus en ζ et r.
22. On souhaite que M soit un point d’´equilibre. D´eduire de Utot l’´equation implicite qui permet de d´eterminer
zM .
´
23. Ecrire
les conditions de stabilit´e de cet ´equilibre en fonction de BM , B ′ , B ′′ et χ.
M
M
24. Dans le cas d’un corps paramagn´etique χ > 0, montrer que l’´equilibre est toujours instable.
25. Dans le cas d’un corps diamagn´etique χ < 0, pr´eciser les conditions de stabilit´e. Donner les expressions
donnant les pulsations ωζ et ωr des petits mouvements autour de la position d’´equilibre zM en fonction de BM ,
′
′′
BM
, BM
et g.
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