Transcript Programme du Nord-Pas-de-Calais - Ministère de la Culture et de la

P CSI1 13-14 TD no 16 : Magn´etisme
1. Pendule et force de Laplace
y
O
I
I
~g
On consid`ere une tige OA rectiligne homog`ene de
longueur L, de masse m, de moment d’inertie J par rapport `a (Oz), mobile sans frottements autour d’un axe
horizontal (Oz). A affleure dans du mercure contenu
dans une cuve. Un courant continu d’intensit´e I traverse
la tige. La tige est plac´ee dans un champ magn´etique
uniforme et ind´ependant du temps. D´eterminer l’angle
d’inclinaison α de la tige `a l’´equilibre.
−
→
B
α
x
A
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
´
2. Equilibre
d’un losange articul´
e
Un losange conducteur est form´e de quatre cˆot´es identiques, chacun de longueur a et de masse
m, articul´es sans frottement. Ce losange est suspendu par l’un de ses sommets dans le champ de
pesanteur uniforme et plac´e dans un champ magn´etique ext´erieur, ind´ependant du temps, uniforme,
horizontal et perpendiculaire au plan du losange. Il est parcouru par un courant i.
On note θ l’angle rep´erant l’un des cˆot´es du cadre par rapport `a la verticale.
(a) D´eterminer les expressions du moment magn´etique du cadre et de son ´energie potentielle.
(b) D´eterminer la position d’´equilibre du losange. Existe-t-elle quelque soit le sens du courant?
3. Spire et sol´
eno¨ıde
On consid`ere une spire circulaire de rayon R, de mˆeme axe qu’un sol´eno¨ıde infini de rayon a < R.
D´eterminer le coefficient d’inductance mutuelle entre les deux circuits.
´
4. Energie
magn´
etique
On consid`ere deux sol´eno¨ıdes (longueurs a1 et a2 , surfaces S1 et S2 ) pour lesquels on utilise
l’approximation des sol´eno¨ıdes infinis. On suppose a1 > a2 et S1 > S2 . On pose x = OA.
i1
i2
O
x
A
a2
a1
(a) D´eterminer le champ magn´etique en tout point.
(b) D´eterminer les coefficients d’auto-inductance de chacun des sol´eno¨ıdes et le coefficient d’inductance
mutuelle en fonction de x.
(c) D´eterminer l’´energie magn´etique de l’ensemble des deux sol´eno¨ıdes.
5. Couplage d’oscillateurs par mutuelle inductance
On s’int´eresse aux deux circuits LC repr´esent´es ci-dessous. On note M le coefficient de mutuelle inductance. On n´eglige les r´esistances des circuits. Le premier circuit est aliment´e par un g´en´erateur
fournissant la tension e(t) = E0 cos(ωt) avec E0 constante positive. On se place en RSF.
q1
i1
i2
q2
C
e
u1
u2
L
C
L
(a) Trouver les ´equations satisfaites par les amplitudes complexes Q1 et Q2 des charges. On posera
1
et α = M
.
ω02 = LC
L
(b) D´eterminer l’amplitude complexe Q2 en fonction de l’amplitude complexe E de la tension
d´elivr´ee par le g´en´erateur.
(c) Tracer |Q2 | en fonction de la pulsation. Commentaire.
(d) Si on r´ealise l’exp´erience, quelle sera la diff´erence notable par rapport aux r´esultats th´eoriques?
6. Mesure d’un coefficient d’inductance mutuelle avec un pont
On consid`ere deux bobines identiques (L, R) plac´ees en influence. Pour d´eterminer le coefficient d’inductance mutuelle M , on utilise le pont sch´ematis´e ci-dessous. Le dipˆole (A) est un
amp`erem`etre id´eal (r´esistance interne nulle).
i
i′′
C
M
(L, R)
P
i′
iA
E
A
(L, R)
A
C
B
R
D
e
(a) D´eterminer le syst`eme d’´equations v´erifi´es par les amplitudes complexes I et I ′ en r´egime
sinuso¨ıdal forc´e de pulsation ω, lorsque le pont est ´equilibr´e (courant nul dans l’amp`erem`etre).
(b) En d´eduire l’expression de M en fonction de R, C et P d’une part, puis L, R et P d’autre
part.
(c) Quelle est l’influence du sens de branchement des bobines sur le fonctionnement du pont ´etudi´e
ici?
7. Mouvement de deux spires dans un champ magn´
etique ext´
erieure
Deux spires ferm´ees, rectangulaires, de surface S, homog`enes, verticales et orthogonales entre elles,
tournent autour de leur axe de sym´etrie commun (Oz) vertical ascendant, initialement `a la vitesse
angulaire Ω0 . Pour t > 0, elles sont plong´ees dans un champ magn´etique uniforme, ind´ependant
−
→
du temps et horizontal : B = B ~ux . Ces deux spires sont isol´ees ´electriquement l’une de l’autre et
sont rigidement li´ees m´ecaniquement.
Les ph´enom`enes d’auto et de mutuelle induction sont n´eglig´es. Chaque spire poss`ede une r´esistance
´electrique R. Le moment d’inertie par rapport `a (Oz) pour l’ensemble des deux spires est not´e J.
D´eterminer la vitesse angulaire Ω(t) de l’ensemble des deux spires pour t > 0.
8. Cadre qui chute dans un champ magn´
etique localis´
e
Un cadre conducteur, constitu´e de 4 segments de longueur a, tombe dans le plan (xOy) vertical
sous l’effet de son poids. Sa r´esistance ´electrique est not´ee R et son coefficient d’auto-induction L.
L’espace est divis´e en deux r´egions : pour x < 0, le champ magn´etique ext´erieur est nul et pour
x > 0, le champ magn´etique ext´erieur est uniforme, ind´ependant du temps et orthogonal au plan
de chute.
~g
a
y
O
−
→
B
x
´
Etablir
les ´equations diff´erentielles r´egissant la vitesse du cadre dans les trois cas :
(a) le cadre est enti`erement dans la r´egion o`
u le champ magn´etique ext´erieur est nul,
(b) le cadre est `a cheval sur les deux r´egions,
(c) le cadre est enti`erement dans la r´egion o`
u le champ magn´etique ext´erieur est non nul.
9. Tige sur un circuit capacitif
Une tige conductrice (T ) glisse sur deux rails horizontaux distants de a. Elle ferme ´electriquement
un circuit comprenant un interrupteur K, un condensateur de capacit´e C et un g´en´erateur de f´em
constante E. (T ) a une r´esistance ´electrique R et une masse m. L’auto-induction du circuit est
n´eglig´ee. L’ensemble est plong´e dans un champ magn´etique ext´erieur uniforme et ind´ependant du
temps. Le condensateur ´etant d´echarg´e et la tige immobile, on ferme `a t = 0 l’interrupteur K.
K
T
~g
E
a
C
−
→
B
(a) D´eterminer une ´equation ´electrique et une ´equation m´ecanique d´ecrivant le circuit.
(b) D´eterminer et int´egrer une ´equation diff´erentiellesur l’intensit´e du courant dans le circuit pour
montrer qu’il s’´ecrit sous la forme : i(t) = i0 exp − τt . On pr´ecisera les expressions de i0 et τ .
(c) En d´eduire que la vitesse v(t) de la tige se met sous la forme : v(t) = v0 1 − exp − τt
.
(d) D´eterminer l’´energie Wg fournie par le g´en´erateur entre les instants t = 0 et t → +∞ en
fonction de E, τ et R.
(e) D´eterminer uC (t).
(f) D´eterminer l’´energie WC emmagasin´ee par le condensateur entre les instants t = 0 et t → +∞.
(g) D´eterminer l’´energie WJ dissip´ee par effet Joule entre les instants t = 0 et t → +∞.
(h) D´eterminer le travail WLap des forces de Laplace entre les instants t = 0 et t → +∞.
(i) Quelle relation existe-t-il entre Wg , WC , WJ et WLap ? Commentaire.
10. Moteur `
a courant continu
Le rotor du moteur est constitu´e de N spires rectangulaires homog`enes (de cˆot´es 2a et b) tournant
autour de l’axe (Oz) vertical, passant par leur centre O et parall`ele aux cˆot´es CD et C ′ D′ . Il est
−
→ −
→
plong´e dans un champ magn´etique ext´erieur B . B est n´egligeable sur les brins DD′ , AC et A′ C ′ .
Sur les brins CD et C ′ D′ , il est radial et de norme B pratiquement uniforme. Dans le domaine
−
→
y < 0, (ce qui est le cas du brin C ′ D′ dans la position repr´esent´ee ci-dessous), B est radial entrant
` tout point M sur le brin
alors qu’il est radial sortant dans le domaine y > 0 (cas du brin CD). A
i
h
−−→
CD, on pourra associer le vecteur position OM = a ~uX + z ~uz avec z dans l’intervalle − 2b , + 2b .
La forme des pi`eces polaires N et S de l’aimant et la pr´esence d’un noyau de fer cylindrique d’axe
(Oz) permettent d’obtenir un champ magn´etique pratiquement radial au niveau des brins CD et
C ′ D′ .
z
D
Y
a
′
−
→
B
i
C′
A′
A
Vue de face
(a)
X
X
O
b
−
→
B
S
D
C
N
Vue de dessus
i. Comparer les directions et les sens des champs magn´etiques en un point M de CD et en
un point M ′ de C ′ D′ .
−
→
−
→
ii. Comparer les forces de Laplace F CD et F C ′ D′ s’exer¸cant sur ces deux tron¸cons.
iii. Montrer que le moment M1 par rapport `a (Oz) des forces de Laplace s’exer¸cant sur la spire
peut se mettre sous la forme M1 = i Φ1 . Exprimer Φ1 et montrer qu’il a les dimensions
d’un flux magn´etique.
(b) i. L’expression de Φ1 d´epend-elle de la position de la spire? Que se passe-t-il si le brin CD
passe dans le domaine y < 0?
ii. Quelle serait la valeur moyenne de M1 sur un tour si l’intensit´e i ´etait constante?
iii. En fait, un commutateur permet d’avoir toujours une intensit´e de mˆeme signe dans le brin
qui ´evolue dans la zone y > 0. Quel est l’int´erˆet de cette commutation?
iv. Dans la suite, on admet que le moment des actions de Laplace s’exer¸cant sur le rotor dans
son ensemble peut s’´ecrire M = i Φ, avec Φ = N Φ1 , quelle que soit la position du rotor.
Justifier ce r´esultat et indiquer l’approximation effectu´ee.
(c) i. La spire tourne `a la vitesse angulaire Ω autour de l’axe (Oz). D´eterminer la f´em induite
e. On utilisera le fait que la puissance du couple de Laplace est l’oppos´e de la puissance
de la f´em induite.
ii. Commenter le r´esultat, classique pour une MCC