Transcript Magnétisme atomique

Universit´e Paris 7-Denis Diderot
Master 2 CFP
Magn´etisme et Supraconductivit´e
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Devoir maison pour le 22/09/2014
Ann´ee 2014-2015
Magn´
etisme atomique
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Un calcul exact du spectre atomique sous champ magn´
etique
Nous consid`erons l’orbitale ´electronique 2p (l=1, s=1/2) en pr´esence de couplage spin-orbite et d’un
champ magn´etique constant. Nous allons voir qu’il est possible de d´eterminer exactement son ´energie
pour toutes les valeurs de champs magn´etique. On consid`ere l’Hamiltonien suivant :
H=H0 +λL.S+µB (L+2S).B avec λ la constante de couplage spin-orbite (λ > 0) et H0 l’Hamiltonien de
l’´electron dans un potentiel central. Dans ce probl`eme on ne pr´esume rien des poids respectifs de chacun
des termes. On appellera j et mj les nombres quantiques associ´es aux op´erateurs J2 et Jz respectivement
avec J=L+S.
(a) A champ magn´etique nul, quelle est la diff´erence d’´energie ∆ entre le fondamental et le premier
niveau excit´e ? Donner la d´eg´en´erescence de chaque niveau ainsi que les nombres quantiques associ´es
`a chaque ´etat.
(b) On consid`ere maintenant l’effet d’un champ magn´etique orient´e selon z, B=Buz . D´ecrire qualitativement l’effet de Hz sur chaque ´etat et montrer en particulier que les ´etats |j = 3/2, mj = ±3/2i
ne se couplent pas aux autres ´etats.
(c) Consid´erons l’Hamitonien H sous forme matricielle sur la base des ´etats |j, mj = ±1/2i. Donner
l’expression de chaque ´el´ement de cette matrice en fonction des facteurs de Land´e gJ , de B, ∆ et E0 .
(conseil : pour calculer hj = 3/2|Sz |j = 1/2i, vous pouvez utiliser les coefficients de Clebsch-Gordan.
Vous pouvez ´egalement utiliser le fait que hj = 3/2|S2z |j = 3/2i=1/4 puis utiliser la r´esolution de
l’identit´e I=Σ|ji hj|). Comment s’´ecrit cette matrice si on se place dans l’approximation bas champ
vue en cours ?
(d) Sans faire l’approximation bas champ, donner l’expression compl`ete de l’´energie de chaque ´etat en
fonction de B, ∆ et E0 , tracer l’allure qualitative des d´ependences en B de chaque niveau et discuter
de la limite fort champ µB∆B ∼ 0 (limite de Paschen-Back). Quel est l’´etat fondamental `a fort champ
magn´etique ?
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Corrections au paramagn´
etisme atomique
Nous re-reprenons le syst`eme pr´ec´edent avec un ´electron dans l’orbitale l=1, s=1/2 et le mˆeme Hamiltonien H. Cette fois-ci nous consid´erons que le champ magn´etique est faible par rapport `a l’int´eraction
spin-orbite et nous allons ´evaluer deux types de corrections `a la susceptibilit´e paramagn´etique atomique
dans cette limite.
(a) Donner l’´energie de l’´etat fondamental E(j=1/2,mj ) en fonction de ∆, mj et B en traitant l’effet
du champ magn´etique en perturbation au deuxi`eme ordre en B.
(b) Calculer la fonction de partition du syst`eme dans cette approximation. Pour quel r´egime de temp´erature
est-il raisonnable de n´egliger les termes associ´es aux niveaux j=3/2 ? Donner l’expression de la susBB
ee de deux termes,
ceptibilit´e magn´etique χ `
a bas champ ( µkB
T → 0) et montrer qu’elle est compos´
un de type Curie et l’autre, ind´ependant de la temp´erature, dit de Van Vleck. Donner l’expression
du rapport de ces deux termes.
(c) Nous consid´erons maintenant le r´egime de temp´erature pour lequel il n’est plus raisonnable de
n´egliger les niveaux j=3/2 dans la fonction de partition. Re-calculer la susceptibilit´e paramagn´etique
dans ce r´egime. On pourra simplifier un peu le calcul en ne consid´erant que les corrections au premier
ordre en B des ´energies des niveaux.
(d) Montrer que la susceptibilit´e peut se mettre sous la forme d’une loi de Curie avec un moment
magn´etique renormalis´e. Quelle est l’´evolution de ce moment magn´etique avec la temp´erature ?
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(e) L’ion Sm2+ est dans la configuration 4f6 . D´eterminer son moment magn´etique `a l’aide des r`egles
de Hund. Quelle est la particularit´e de la susceptibilit´e magn´tique de cet ion `a basse temp´erature ?
A quoi est due la d´ependance en temp´erature de la susceptibilit´e magn´etique ? Donner l’expression
BB
erature en incluant
de la susceptibilit´e magn´etique `
a bas champ ( µkB
T → 0) en fonction de la temp´
uniquement l’effet des niveaux J=1. Tracer qualitativement son comportement en fonction de la
temp´erature.