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Universit´e Paris 7-Denis Diderot Master 2 CFP Magn´etisme et Supraconductivit´e [email protected] Devoir maison pour le 27/10/2014 Ann´ee 2014-2015 Magnons 1 Magnons ferromagn´ etiques : anisotropie P P − + z − J4 i,δ (Si+ Si+δ On consid`ere l’Hamiltonien d’Heisenberg sur N sites : H = − J2 i,δ Siz Si+δ +Si− Si+δ ) avec une interaction d’´echange J ferromagn´etique avec les z premiers voisins. Dans un premier temps, on ignore les effets d’anisotropie. (a) Soit |0i l’´etat fondamental ferromagn´etique et |ji = Sj− |0i un ´etat excit´e de type spin-flip. Montrer que l’´etat |ji n’est pas un ´etat propre de H. P (b) Soit l’´etat de spin-flip d´elocalis´e : |ki = √AN j eikj |ji. Donner la valeur de A pour que l’´etat soit normalis´e puis calculer la valeur moyenne hk| Sz |ki. Donner une interpr´etation physique de |ki. (c) Montrer que l’´etat |ki P est un vecteur propre de H et donner son ´energie Ek en fonction de J, N , z, S et γk = γ−k = z1 δ eikδ . (d) Re-calculer l’´energie de l’onde de spin ou magnon |ki en pr´esence d’un terme d’anisotropie HD = P D i (Siz )2 . Comparer cette ´energie avec celle du fondamental dans les cas D>0 et D<0. Donner une interpr´etation de physique de l’´etat fondamental pour D>0. (e) Pourquoi peut-on dire que l’anisotropie stabilise l’´etat ferromagn´etique en 2D et 1D ? 2 Magnons antiferromagn´ etiques par la m´ ethode des ´ equations du mouvement On consid`ere l’Hamiltonien d’Heisenberg H avec un ´echange antiferromagn´etique entre premiers voisins. Nous avons vu en cours qu’on peut l’exprimer en fonction des op´erateurs bosoniques ck et dk qui agissent sur les sous r´eseaux A et B respectivement. P Si Ple syst`eme poss`ede un centre d’inversion : γk =γ−k , P on peut sym´etriser H en notant que k = 21 ( k + −k ). Dans ce cas on a H = E0 + H1 + H2 avec : H1 = JSz X + + + (ck ck + d+ −k d−k ) + γk (ck d−k + ck d−k )) 2 (1) JSz X + + + (c−k c−k + d+ k dk ) + γk (c−k dk + c−k dk )) 2 (2) k H2 = k H1 et H2 ne sont pas sous-forme diagonale mais chacun ne d´epend plus que de deux types d’op´erateurs. Nous allons d´eterminer les valeurs propres associ´ees aux op´erateurs bosoniques α et β qui diagonalisent H1 et H2 respectivement. Pour cela nous allons utiliser le fait que si α et β sont des op´erateurs propres de H1 et H2 avec comme valeurs propres respectives λk,α et λk,β , leur ´evolution temporelle doit suivre doit suivre la relation suivante (voir l’´equation d’Heisenberg en m´ecanique quantique) : i dαk = [αk , H] = λkα αk dt (3) P (a) Montrer que si H1 = k λk,α αk+ αk alors la relation (3) est v´erifi´ee pour H=H1 . (b) Montrer que, en revanche, l’op´erateur ck ´evolue au cours du temps en d+ −k sous l’action de H1 . (c) Ceci sugg`ere qu’on peut diagonaliser H1 en posant αk = uk ck − vk d+ −k . Quelle relation doivent v´erifier uk et vk , qu’on pourra prendre r´e´els, pour que αk soit un op´erateur bosonique ? (d) En utilisant la relation (3) d´eterminer l’expression de la valeur propre λk,α associ´e `a l’op´erateur αk en fonction de γk . 1 (e) R´ep´eter la mˆeme proc´edure pour H2 et montrer que λk,α =λk,β . En d´eduire la forme diagonale de H (`a une constante pr`es) et l’´energie des magnons AF. P (f) On ajoute maintenant un terme d’anisotropie uniaxe ˆ H : HD = D i (Siz )2 et D < 0. Donner les nouvelles expressions diagonales de H1 et H2 et montrer que l’anisotropie ouvre un gap dans la relation de dispersion des magnons. Comparer l’amplitude du gap avec le cas ferromagn´etique.