Transcript DL7 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DL7
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir libre de Sciences Physiques n˚7 du 25-02-2015
Probl`
eme no 1 – Les supraconducteurs
Mines PSI 1999
Les mat´eriaux supraconducteurs de taille macroscopique ont les propri´et´es, en dessous d’une certaine temp´erature, d’une part de s’opposer `a la p´en´etration d’un champ magn´etique ext´erieur Bext , d’autre part de pouvoir
ˆetre le si`ege de courants ´electriques, sans pour autant que cette circulation s’accompagne de dissipation d’´energie.
On distingue notamment deux types de supraconducteurs : les supraconducteurs de premi`ere esp`ece se caract´erisent par le fait que, tant que Bext est inf´erieur `a une certaine valeur critique Bc , le champ Bint est nul a`
l’int´erieur du mat´eriau ; les supraconducteurs de deuxi`eme esp`ece se caract´erisent par l’existence de deux champs
critiques, B1c et B2c (B1c < B2c ) tels que, pour Bext > B2c , le mat´eriau se comporte comme un conducteur normal,
pour B1c < Bext < B2c , le champ B p´en`etre partiellement dans le volume du mat´eriau et pour Bext < B1c ,
le champ B interne est nul ; il existe ainsi un domaine de champs ext´erieurs autorisant la pr´esence d’effets
dissipatifs associ´es au courant ´electrique.
On appelle transition le passage du conducteur de l’´etat supraconducteur `a l’´etat normal, ou r´esistif. La transition
peut ˆetre obtenue par d´epassement de la temp´erature critique, Tc , du conducteur, ou du champ magn´etique
critique, Bc du conducteur, ou enfin par d´epassement de la densit´e de courant critique, jc , dans le conducteur.
Formulaire : Milieux conducteurs de conductivit´e γ, notations standard :
~ =0
div B
~
~j = γ E
Coordonn´ees cylindriques r, θ, z :
~ −→
~
∂E
−→ ~
~ = − ∂B
~ = ρ
rot B = µ0~j + ε0 µ0
rot E
div E
ε0
∂t
∂t
−
−
→
∂ρ
∂A
−
→
~ = −grad V −
~ = rot A
div ~j +
=0
E
B
∂t
∂t
i −−→
−→ h−→
rot rot (X) = grad [div (X)] − ∆X
−−→
∂f
1 ∂f
∂f
1 ∂ (rAr ) 1 ∂Aθ
∂Az
grad (f ) =
~er +
~eθ +
~ez
div (A) =
+
+
∂r
r ∂θ
∂z
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂ (rAθ ) ∂Ar
−→
rot (A) =
−
~er +
−
~eθ +
−
~ez
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
A. Supraconducteur de type I
On appelle effet Meissner l’expulsion des lignes de champ magn´etique de l’int´erieur du mat´eriau supraconducteur ; le mod`ele pr´esent´e ci-dessous va indiquer que, en r´ealit´e, le champ p´en`etre partiellement dans le mat´eriau,
sur une faible ´epaisseur `a partir de la surface.
y
Bext
−a
Bext
+a x
b
z
Figure 1 – Plaque supraconductrice de type I
On consid`ere (voir figure 1) une plaque supraconductrice illimit´ee de largeur 2a, plac´ee dans une r´egion o`
u r`egne
un champ magn´etique permanent et uniforme Bext = Bext~ey ; on suppose que les courants surfaciques sont nuls
en x = ±a, ce qui assure la continuit´e du champ tangentiel. La loi d’Ohm locale est ici remplac´ee par l’´equation
1
A, o`
u A est le potentiel vecteur,
ph´enom´enologique locale de London dans le supraconducteur : ~j = −
µ0 λ2
~
satisfaisant la condition de jauge de Coulomb (div A = 0), et dont d´erive le champ magn´etique B.
1. D´eterminer la dimension de λ.
~ et ~j v´erifient l’´equation d’inconnue X,
2. Montrer que, en r´egime permanent, les champs de vecteurs A, B
1
∆X = 2 X. Justifier que cette ´equation admet des solutions ne d´ependant que de x ; d´eterminer les expressions
λ
~ et ~j `a l’int´erieur de la plaque et donner l’allure des r´epartitions en fonction de x des composantes de
de A, B
~ et de ~j.
B
JR Seigne
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3. Application num´erique : Bext = 0, 1 T, λ = 50 × 10−9 m et a = 2 mm. D´eterminer la valeur maximale de j
et la valeur num´erique de B au centre, B(0). On donne µ0 = 4π × 10−7 H · m−1 .
4. On introduit un noyau cylindrique supraconducteur de type I dans un sol´eno¨ıde illimit´e de section circulaire.
Y a-t-il augmentation ou diminution de l’inductance lin´eique de ce sol´eno¨ıde ? Cet effet d´epend-il du courant I
traversant le bobinage du sol´eno¨ıde ?
B. Supraconducteur de type II
La r´esistivit´e d’un tel mat´eriau est rigoureusement nulle ; n´eanmoins, la densit´e de courant locale y reste limit´ee
et l’on supposera que son module est, soit nul, soit ´egal `a une certaine constante jc , ind´ependante du champ
magn´etique B, mais fonction d´ecroissante de la temp´erature T .
Stabilit´e thermique d’une plaque supraconductrice en l’absence de courant de transport.
On consid`ere (voir figure 2 qui pr´ecise les notations) deux couches planes, parall`eles et ind´efinies selon les
directions y et z. Elles sont l’une et l’autre parcourues par des courants volumiques permanents, uniformes et
~ = 0 pour x > a et pour x < −a.
oppos´es ~j = J~ez et −~j = −J~ez . On donne B
z
−~j
+~j
x
2a
b
b
Figure 2 – Supraconducteur de type II : calcul du champ magn´etique
5. Exprimer le champ magn´etique cr´e´e en tout point de l’espace par cette distribution de courant.
Une plaque supraconductrice illimit´ee de largeur 2a est plac´ee dans une r´egion o`
u r`egne un champ magn´etique
~ ext = Bext~ey . Un supracourant d’´ecrantage, de densit´e volumique ~jc se d´eveloppe `a l’int´erieur de
permanent B
~ ext en produisant un champ magn´etique antagoniste tel que, si possible, B
~ total = 0 au
la plaque et s’oppose `a B
`
centre de la plaque (x ≃ 0). A partir de la p´eriph´erie de la plaque, ce supracourant circule sur une ´epaisseur b
~ ext est important ; il se referme `a l’infini.
d’autant plus grande que B
6. En supposant 0 < Bext < µ0 jc a, d´eterminer la r´epartition du courant jz (x) d’´ecrantage et le profil
d’induction `a l’int´erieur de la plaque, By (x). Tracer les courbes correspondantes
7. D´eterminer ces r´epartitions en situation dite de compl`ete p´en´etration, c’est-`a-dire lorsque Bext > µ0 jc a.
Tracer les courbes correspondantes.
On se placera dans toute la suite dans une situation de compl`ete p´en´etration.
` la suite d’une petite perturbation tr`es br`eve dans l’intervalle de temps [t, t + δt], la temp´erature varie de δT
A
et la densit´e de courant `a l’int´erieur de la plaque varie de δjc .
8. En remarquant que le champ ´electrique est nul
centre
perturbation
au
de la plaque, montrer que la de δT
2
2
x
δj
x
δj
c
c
~ = −µ0
~ = µ0
− ax ~ez pour x > 0, E
+ ax ~ez pour
donne naissance au champ ´electrique E
δt
2
δt
2
x < 0.
´
9. Etablir
que l’´energie volumique moyenne dissip´ee dans la plaque cons´ecutivement `a la variation de la densit´e
1
de courant critique est δQ = − µ0 a2 jc δjc .
3
L’´etat supraconducteur n’existe qu’en dessous d’une certaine temp´erature critique Tc . Soit c la capacit´e thermique volumique de la plaque supraconductrice, consid´er´ee comme thermiquement isol´ee et de temp´erature
uniforme.
s
10. Montrer que si a < ac =
3c
, la plaque est intrins`equement stable thermiquement. Que se
µ0 jc |δjc /δT |
passe-t-il pour a > ac ?
δjc = 109 A · m−2 · K−1 .
11. Calculer la valeur de ac pour c = 5 000 J · K−1 · m−3 , jc = 2 × 109 A · m−2 et δT JR Seigne
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Stabilit´e thermique d’un supraconducteur parcouru par un courant permanent.
Un supraconducteur infini cylindrique de rayon
u le champ magn´etique ext´erieur
R est plac´e dans une r´egion o`
est nul (figure 3). Un courant I = π R2 − rs2 jc (la densit´e de courant, jc , est uniforme) circule, parall`element
aux g´en´eratrices du cylindre, sur la couche de ce brin p
comprise entre rs et R, et en prot`ege le centre de tout
~ Posant Ic = πR2 jc , on a rs = R 1 − I/Ic .
champ magn´etique B.
j(r)
jc
r
rs R
Figure 3 – Supraconducteur cylindrique
I
jc
R2
+
r−
~eθ si rs < r < R,
2πr
2
r
~ = 0 si 0 < r < Rs ; (~eθ est le vecteur unitaire selon la direction orthoradiale).
et B
´
~ `a l’int´erieur du milieu, B
~ = µ0
12. Etablir
l’expression du champ B
13. Une petite perturbation de temp´erature δT dans l’intervalle [t , t + δt], entraˆıne une variation de la densit´e
de courant critique
δjc . Montrer
2
qu’apparaˆıt dans le conducteur, pour r > rs , le champ ´electrique donn´e par
2
µ
δj
r
−
r
r
0
c
s
2
~ =
E
− R ln
~ez . On raisonnera `a I fix´e.
2 δt
2
rs
14. La densit´e volumique moyenne d’´energie dissip´ee dans le conducteur, δQcp , se d´eduit simplement
(mais
2
~ · ~jc , selon δQcp = µ0 R jc δjc f I
o`
u on
apr`es un calcul lourd) de la densit´e volumique de perte p(t) = E
Ic
"
#
2
r
I
1
I
I
I
c
a pos´e f
=
+ 2 + 2 ln 1 −
. Montrer que, si R < Rmax =
, le
Ic
8
Ic
Ic
Ic
µ0 jc |δjc /δT ||f (I/Ic)|
conducteur
est intrins`equement stable. Calculer Rmax pour I = 0, 8Ic , c = 5 000 J·K−1 ·m−3 , jc = 2×109 A·m−2
δjc = 109 A · m−2 · K−1 .
et δT Longueur maximale de la zone r´esistive.
Une zone r´esistive suffisamment petite peut se r´esorber d’elle-mˆeme, en se refroidissant par conduction ; on
d´etermine ici l’ordre de grandeur de la longueur maximale d’une zone capable de se r´esorber elle-mˆeme, Lmax .
T
Tc
T0
b
b
b
b
− 3L
2
− L2
L
2
3L
2
z
Figure 4 – R´esorption d’uns zone r´esistive
La figure ci-contre pr´ecise les notations ; la zone sombre est `a l’´etat normal (r´esistif), le reste du milieu est
supraconducteur. Les donn´ees num´eriques sont T0 = 4 K, Tc = 6 K, J = 109 A · m−2 ; la r´esistivit´e du mat´eriau
`a l’´etat normal est ρn = 4 × 10−7 Ω · m, sa conductivit´e thermique est k = 0, 3 W · m−2 · K−1 ; ces deux
derni`eres grandeurs sont r´eput´ees ne pas d´ependre de la temp´erature.
15. En supposant que les ´echanges thermiques se font uniquement
par conduction le long de l’axe du cylindre
s
2k(Tc − T0 )
parcouru par le courant de densit´e j, montrer que Lmax =
et calculer sa valeur.
ρn J 2
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Maintien m´ecanique des conducteurs expos´es `
a un champ magn´etique.
Un supraconducteur cylindrique, parcouru par un courant de densit´e volumique ~j = j~ey , expos´e `a un champ
~ = B~ez , se d´eplace parall`element `a la direction (Ox).
B
16. En consid´erant une portion de conducteur comme un syst`eme adiabatique soumis `a la force de Laplace,
exprimer l’´energie apport´ee dans cette portion `a l’occasion du mouvement et en d´eduire son ´el´evation de temp´erature.
17. Calculer l’´el´evation de temp´erature associ´ee `a un d´eplacement de 3 µm dans un champ de 5 T (j =
109 A · m−2 et c = 5 000 J · K−1 · m−3 ).
Contraintes thermiques lors d’une transition.
Lors d’une transition, la densit´e de puissance dissip´ee est telle que l’on peut n´egliger les ´echanges thermiques
entre le conducteur et le milieu ext´erieur. Pour un cylindre de volume S × ℓ, le bilan thermique s’´ecrit en effet,
dans le cas de transition par d´epassement de la densit´e de courant critique : ´energie thermique emmagasin´ee =
´energie dissip´ee par effet joule.
18. Exprimer
en fonction de ρ, jc et c le taux de variation de la temp´erature au moment de la transition,
dT
τ =
, et calculer sa valeur num´erique (on la trouvera ´enorme !) pour ρn = 4 × 10−7 Ω · m,
dt transition
jc = 2 × 109 A · m−2 et c = 5 000 J · K−1 · m−3 .
Pour pr´evenir la catastrophe associ´ee `a cet ´eventuel emballement, on noie les filaments supraconducteurs dans
une matrice de cuivre, de r´esistivit´e bien plus faible.
Probl`
eme no 2 – Principe du moteur asynchrone
Centrale TSI 2004
A. Dipˆ
ole magn´
etique : d´
efinitions et propri´
et´
es fondamentales
(~ex , ~ey , ~ez ) d´esignent les vecteurs unitaires d’un rep`ere orthonorm´e direct Oxyz li´e `a un r´ef´erentiel galil´een.
On consid`ere une spire M N P Q de forme rectangulaire (M N = QP = a, M Q = N P = b) parcourue par un
courant continu d’intensit´e I. Cette spire est plac´e dans un champ magn´etique constant et uniforme B = B~ex
o`
u B > 0. Voir la figure 5.
z
y
M
b
Q
b
b
b
b
I
P
N
B
x
O
Figure 5 – Dipˆole magn´etique
1. Determiner soigneusement les forces Fi exerc´ees sur chacun des cˆot´es de la spire. En d´eduire la force
magn´etique r´esultante sur la boucle.
2. V´erifier que le syst`eme des forces exerc´ees par le champ magn´etique est un couple. D´eterminer les moments
ΓCi par rapport au centre C du rectangle, des actions exerc´ees par le champ B sur chaque cˆot´e de la spire. En
d´eduire que le moment r´esultant Γ peut se mettre sous la forme Γ = µ ∧ B. Exprimer le moment magn´etique µ
de la boucle en fonction de la surface A de celle-ci, de l’intensit´e I et du vecteur unitaire n perpendiculaire au
plan de la boucle.
3. Application num´erique : on donne a = b = 0, 1 m, I = 10 A, B = 0, 1 T. Calculer µ et Γ.
4. On suppose que la spire peut tourner librement autour de l’axe Oy, la position de la spire ´etant caract´eris´ee
par l’angle θ entre le champ B et le moment magn´etique µ : θ = (B, µ). Pour quelle valeur de θ la boucle est-elle
en ´equilibre stable ? en ´equilibre instable ? Justifier bri`evement les r´eponses.
5. On suppose qu’`a partir de l’angle θ, la spire subit une rotation infinit´esimale dθ. Exprimer le travail δW
du couple magn´etique durant ce d´eplacement ; d´eterminer le travail correspondant `a une rotation finie entre θ1
et θ2 . En d´eduire l’existence d’une ´energie potentielle U = −µ · B.
6. Application num´erique : la spire effectue une rotation depuis la position θ1 = π/2 jusqu’`a la position θ2 = 0.
Quelle est la variation de son ´energie potentielle ?
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L’expression du moment Γ = µ ∧ B est valable pour la boucle parcourue par un courant d’intensit´
e
i variable dans le temps et plac´
ee dans un champ magn´
etique B variable dans le temps.
B. Principe du moteur asynchrone
Une petite bobine plate de centre O, form´ee de N spires de section A, ferm´ee sur elle-mˆeme, d’inductance propre
L et r´esistance r tourne `a la vitesse constante ω autour de l’axe Oz. Sa position est rep´er´ee par l’angle entre ~ex
et le vecteur unitaire n normal au plan de la bobine : (~ex , n) = ωt − α0 o`
u α0 d´esigne une constante positive.
Cette bobine est plong´ee dans un champ magn´etique B, de norme constante, ✭✭ tournant ✮✮ lui aussi autour de
l’axe Oz `a la vitesse angulaire ω0 constante : (~ex , B) = ω0 t. Voir la figure 6.
y
z
O
B
n
ω0 t
b
y
ωt − α0
x
ωt − α0
n
b
O
Bobine
x
Figure 6 – Bobine et champ tournant
7. D´eterminer la valeur, `a l’instant t, de l’angle α = (n, B) en fonction de ω, ω0 , α0 et t. En d´eduire le flux Φ
du champ B `a travers la bobine. Quelle est la force ´electromotrice induite e correspondante ?
8. En r´egime ´etabli, cette force ´electromotrice engendre dans le circuit (r, L) un courant sinuso¨ıdal i(t) de
mˆeme pulsation que e que l’on exprimera sous la forme i = I sin(α − ϕ) D´eterminer I et tan ϕ.
9. A quel couple Γ = Γ~ez le circuit est-il soumis ? Quelle est la valeur moyenne Γm de Γ ? A quelle condition
le couple est-il moteur ?
On se propose d’´etudier la variation du couple moyen Γm en fonction de la vitesse angulaire.
10. V´erifier qu’il est possible d’´ecrire Γm sous la forme :
Γm =
Φ20
2β
avec
Φ0 = N BA
et
β=
r
L2
+
(ω0 − ω)
ω0 − ω
r
11. Pour quelle valeur de ω (dans le domaine moteur) la quantit´e β est-elle minimale ?
12. Soit ωM la valeur de la pulsation qui donne le maximum de Γm , soit Γmax (toujours dans le domaine
moteur). Exprimer Γmax et v´erifier que ce couple moyen maximal est ind´ependant de la r´esistance r.
13. Donner l’allure de la courbe Γm (ω) pour tout le domaine de variation de ω (y compris les valeurs n´egatives).
On d´esignera les extrema par les points M et M ′ .
14. Interpr´eter les branches ω < 0, puis 0 < ω < ω0 et ω > ω0 . Justifier le terme de ✭✭ moteur asynchrone ✮✮
de ce dispositif.
On suppose que le moteur ait `a vaincre un couple r´esistant de norme constante Γr , produit par les machines
qu’il doit entraˆıner et par les frottements.
15. La cadre, primitivement au repos (ω = 0), est soumis au couple moyen Γ0 = Γm (0). Exprimer Γ0 .
16. Que se passe-t-il si Γ0 > Γr ?
17. A partir de la comparaison des graphes Γ = Γm (ω) et Γ = Γr (on appelle P le point d’intersection entre
les deux graphes), pr´eciser qualitativement l’´evolution du cadre. Caract´eriser le r´egime atteint par le moteur.
18. On ✭✭ charge ✮✮ davantage le moteur, en maintenant la condition Γ0 > Γr . Comment ´evolue le point figuratif
P?
19. Quelle est sur le graphique la zone de fonctionnement stable ? Justifier la r´eponse.
20. Pour la charge maximale acceptable, soit Γmax , calculer la diff´erence relative (ω0 − ωM )/ω0 .
21. Quel est l’int´erˆet de la r´esistance r au d´emarrage ? Quel est son int´erˆet au maximum de charge Γmax ?
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