Transcript DS6sol - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes

1 – DS6sol
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir surveill´
e de Sciences Physiques n˚6 du 04-02-2015
— Dur´ee : 4 heures. Solutions —
Probl`
eme no 1 – Autour de l’eau
Centrale MP 2008
A. Synth`
ese de l’eau
1. On trouve : ∆r H ◦ (T0 ) = −429, 6 kJ · mol−1 et ∆r S ◦ (T0 ) = −89 J · K−1 · mol−1 . La r´eaction est exothermique ∆r H ◦ < 0, ∆r S ◦ < 0 s’explique par le fait que ∆r νgaz = −1 < 0. On peut indiquer que le d´esordre
diminue dans le syst`eme du fait de la diminution du nombre de moles de gaz lorsque la r´eaction s’effectue.
2. La temp´erature d’inversion est d´efinie lorsque ∆r G◦ (Ti ) = 0. On trouve, dans l’approximation d’Ellingham,
◦
r H (T0 )
energie en ´electron-Volt consiste `a divis´e l’´energie en Joule par la charge
que Ti = ∆
∆r S ◦ (T0 ) = 4 830 K. L’´
´el´ementaire e = 1, 6 × 10−19 C. On trouve : E0 =
kB Ti
e
= 0, 42 eV .
3. La capacit´e thermique standard de r´eaction est : ∆r c◦p = −19, 8 J · K−1 · mol−1 .
4. D’apr`es les lois de Kirchhoff, on peut d´eterminer l’enthalpie standard et l’entropie standard de r´eaction
pour T 6= T0 . On obtient ∆r H ◦ (T ) = ∆r H ◦ (T0 )+∆r c◦p (T −T0 ) et ∆r S ◦ (T ) = ∆r S ◦ (T0 )+∆r c◦p ln TT0 . L’enthalpie
h
i
libre standard devient alors : ∆r G◦ (T ) = ∆r H ◦ (T0 ) − T ∆r S ◦ (T0 ) + ∆r c◦p (T − T0 ) − T ln TT0 .
h
i
5. On a f (T ) = ∆r c◦p (T − T0 ) − T ln TT0 . Cette fonction mesure en quelque sorte l’´ecart `a l’approximation
d’Ellingham.
6. On trouve f (T1 ) = 10, 0 kJ·mol−1 et ∆r G◦ (T1 ) = −330, 6 kJ·mol−1 . Le rapport est donc : ∆rfG(T◦1(T) 1 ) = 3% .
Cette valeur est tr`es faible, cela explique qu’on se place tr`es souvent dans le cadre de l’approximation d’Ellingham.
7. Il faut partir de l’expression de la vitesse dans l’´etape 4 qui est la seule `a produire une mole d’eau. Chaque
acte ´etant consid´er´e comme ´el´ementaire, l’ordre sur chaque ´etape du m´ecanisme sera consid´er´e comme ´egale a`
la mol´ecularit´e. On a donc : v = k4 [H2 ] [HO• ]. Il faut ´eliminer de cette expression la concentration en HO• qui
est un radical et un interm´ediaire r´eactionnel. Pour cela on ´ecrira que pour chaque interm´ediaire r´eactionnel
HO• , H• et O le principe de Bodenstein encore appel´e principe de l’´etat quasi-stationnaire qui dit que la
concentration des interm´ediaires qui se forment lentement et disparaissent rapidement est toujours faible et
quasi-constante. On a donc :
d[H• ]
•
•
•
dt = 0 = 2k1 [H2 ] − k2 [H ] [O2 ] + k3 [O] [H2 ] + k4 [HO ] [H2 ] − k5 [H ]
d[HO• ]
•
•
•
= 0 = k2 [H ] [O2 ] + k3 [O] [H2 ] − k4 [HO ] [H2 ] − k6 [HO ]
dt
d[O]
•
dt = 0 = k2 [H ] [O2 ] − k3 [O] [H2 ]
Grˆace `a la derni`ere relation, on simplifie facilement les deux premi`eres et on en d´eduit que 2k2 [H• ] [O2 ] =
(k4 [H2 ] + k6 ) [HO• ] et d’autre part que 2k1 [H2 ] + k4 [HO• ] [H2 ] = k5 [H• ]. On exprime [H• ] en fonction de [HO• ]
et cela permet d’isoler [HO• ] en fonction uniquement des concentrations en H2 et en O2 . On arrive ainsi a` la
α[H2 ]n [O2 ]m
relation : v = d[Hdt2 O] = β+γ[H
`a condition de poser n = 2 et m = 1 ainsi qu’en posant α = 4k1kk52 k4 ,
2 ]−δ[H2 ][O2 ]
β = k6 , γ = k4 et δ =
2k2 k4
k5 .
L’expression de la vitesse de r´eaction est donc :
2
v=
4k1 k2 k4
[H2 ] [O2 ]
k5
k6 + k4 [H2 ] − 2kk25k4 [H2 ] [O2 ]
8. L’explosion correspondant `a un emballement de la r´eaction se traduit par une vitesse qui diverge, ici qui
tend vers l’infini lorsque le d´enominateur s’annule. On a donc k6 + k4 [H2 ] = 2kk25k4 [H2 ] [O2 ]. Or, si les conditions
n0
0
sont stœchiom´etriques au d´epart, on a [H2 ] = 2n
`
V et [O2 ] = V et la pression d’explosion correspond alors a
3n0 RT
2k4
4k4 k2
2
Pex = V en v´erifiant l’´equation du second degr´e : k6 + 3RT Pex = 9k5 R2 T 2 Pex . Cette ´equation se r´e´ecrit encore
3k5
2
2 2
5 k6
Pex
− 2k
RT − 9k
esoudre cette ´equation dont une seule solution a un sens physique et on
4k2 k4 R T = 0.On peut r´
2
q
5
2 k6
trouve l’expression de la pression d’explosion en fonction de la temp´erature : Pex = 3k
1 + 4k
RT .
4k2 1 +
k4 k5
B. Domaine de stabilit´
e thermodynamique de l’eau
9. Lefronti`
BG correspond `a la pr´ecipitation de l’hydroxyde
de plomb. Son produit de solubilit´e est
ere verticale
2
Ks = Pb2+ [HO− ] pour la concentration de trac´e c0 = Pb2+ , on arrive `a [HO− ] = 10−7,55 mol · L−1 ce qui, a`
25 ◦ C, nous donne pH = 6, 45 . La demi-´equation ´electronique du couple des ions plomb est : Pb2+ +2e− ⇋ Pbs .
La loi de Nernst est alors E1 = E1◦ + 0, 03 log Pb2+ . Toujours `a la concentration de trac´e et avec la valeur
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DS6sol – 2
du potentiel standard fournie, on trouve : E1 = −0, 16 V . On a donc : B(pH = 6, 45; E = −0, 16 V). Pour le
+
point G, il faut ´etudier l’autre couple r´edox propos´
2e− ⇋ Pb2+ + 2H2 O. On obtient une loi
2+ e : PbO2 s + 4H +2+
de potentiel E2 = 1, 46 − 0, 12pH − 0, 03 log Pb
et donc avec Pb
= 0, 1 mol · L−1 , une forme d´efinitive
E2 = 1, 49 − 0, 12pH. Les coordonn´ees du point G sont donc : G(pH = 6, 45; E = 0, 72 V) .
10. La pente du segment de droite [F, G] a ´et´e calcul´ee dans la question pr´ec´edente : −0, 12pH .
11. Le couple PbO2 s /Pb(OH)1 s poss`ede une demi-´equation ´electronique de la forme PbO2 s + 2H+ + 2e− ⇋
` pH = 0, le potentiel correspond au potentiel
Pb(OH)2 s . La loi de Nernst est de la forme E3 = E3◦ − 0, 06pH. A
◦
standard du couple : Eapp = E3 = 1, 11 V en le d´eterminant `a partir des coordonn´ees du point G qui appartient
aussi `a la droite d’´equation E3 = E3◦ − 0, 06pH.
12. Pour simplifier un peu l’´ecriture de cette ´etude, on peut r´e´ecrire l’´equation de la r´eaction fournie en
utilisant les ions H+ : Pbs + 2H+ ⇋ Pb2+ + H2gaz . L’enthalpie libre de la r´eaction est d´efinie par ∆r G =
pH [Pb2+ ]
Q
. Ici, on a Q = p2◦ a2 . Les diverses activit´es ´etant fournies, on trouve Q = 0, 1. Pour la constante
RT ln K
H+
d’´equilibre, il faut utiliser la loi de Nernst relative `a chaque couple r´edox. Pour le couple H+ /H2 , on sait
2
p◦ [H+ ]
que le potentiel standard est E ◦ = 0, 00 V, on a donc Ea = 0, 00 + 0, 03 log pH . Pour le couple du plomb,
2
` l’´equilibre, le potentiel est unique et par cons´equent Ea = Eb .
on trouve Eb = −0, 13 + 0, 03 log Pb2+ . A
On d´eduit de l’´egalit´e pr´ec´edente la valeur de la constante d’´equilibre : K = 100,13/0,03 = 104,33 . Pour T =
298 K puisque toutes les valeurs sont fournies `a cette temp´erature comme tr`es habituellement, on trouve :
−1
∆r G = −RT ln K
. Cette valeur est n´egative, cela indique que le plomb doit ˆetre attaqu´e
Q = −30, 4 kJ · mol
dans les conditions d´ecrites ici.
2
13. L’enthalpie libre du syst`eme pr´ec´edent devient nulle lorsque K = Q. On en d´eduit que [H+ ] = 10−5,33 .
On trouve alors : pH = 2, 67 .
14. Une solution d’acide chlorhydrique `a c0 = 0, 1 mol · L−1 poss`ede un pH = 1. Elle donc, au vu des calculs
que l’on vient d’effectuer, tout `a fait capable d’oxyder une plaque de plomb.
15. Sur le graphique, on lit les surtensions cathodiques : ηHg = −0, 35 V et ηPb = −0, 25 V .
16. Le palier observ´e sur la courbe intensit´e-potentiel du couple Pb2+ /Pbs est dˆ
u `a la diffusion des ions Pb2+
au niveau de la cathode. La valeur num´erique de l’intensit´e de diffusion d´epend de la concentration de ces ions,
on peut mˆeme affirmer qu’elle est proportionnelle `a cette concentration. D’ailleurs, la valeur de l’intensit´e sur
un palier de diffusion peut ˆetre une m´ethode de mesure d’une concentration `a condition d’avoir deux situations
bien comparables et une valeur ´etalonn´ee fiable d’une concentration en ions Pb2+ .
17. Cette solution poss`ede un pH = 1. Le potentiel d’´equilibre de la loi de Nernst est donc pour le couple
H+ /H2 , E = −0, 06 V. Du fait de la surtension, traduisant une cin´etique lente, on a Er´eel = −0, 06 − 0, 25 =
−0, 31 V. Or le potentiel standard du couple Pb2+ /Pbs est E1◦ = −0, 13 V. Il se situe au-dessus du potentiel r´eel
calcul´e avant : pas de r´eaction . Il y a un blocage cin´etique.
18. Avec un fil de platine, la courbe du couple H+ H2 ne pr´esente pas de surtension et en plus elle est tr`es
verticale. La cin´etique de transfert ´electronique sur le platine est donc tr`es rapide. En terme de potentiel, −0, 06 V
se trouve maintenant au-dessus du potentiel standard E1◦ = −0, 13 V. Il y a une r´eaction , le plomb va s’oxyder
et du dihydrog`ene va se d´egager. On peut confirmer cela graphiquement en positionnant sur le graphique un
potentiel mixte d’´electrode Em entre les courbes de H+ /H2 et de Pb2+ /Pbs tel que ianode = −icathode.
Probl`
eme no 2 – Les ceintures de Van Allen
Centrale TSI 2005
A. Mouvement d’une particule charg´
ee dans un champ magn´
etique uniforme
~ = 0 dont l’´energie cin´etique Ec est constante .
1. La force magn´etique ne travaille pas : ~v · q ~v ∧ B
~ · q~v ∧ B
~ = 0 donc le principe fondamental, en
2. La force magn´etique n’a pas de composante sur (Oz) : B
d~vL ~
1
2
2
= 0 donc ~vL est une constante du mouvement . Puisque m ~vL
+ v⊥
est
projection sur (Oz), impose m
dt
2
1
2
constant, on en d´eduit que v⊥ est une constante du mouvement , ainsi d’ailleurs que Ec⊥ = mv⊥
.
2
d~v⊥
~ peuvent ˆetre ´ecrites dvx = ωvy et dvy = −ωvx .
3. Les ´equations diff´erentielles d´eduites de m
= q~v⊥ ∧ B
dt
dt
dt
dw
¯
Posant w
¯ = vx + ivy , on a donc
= −iω w
¯ qui s’int`egre selon w
¯ = v⊥0 exp (−iωt), au vu des conditions
dt
initiales. Les parties r´eelle et imaginaire fournissent vx = v⊥0 cos (ωt) et vy = −v⊥0 sin (ωt) .
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4. L’int´egration des composantes de la vitesse fournit, compte tenu des conditions initiales, x =
y=
v⊥0
sin (ωt) ,
ω
v⊥0
(cos (ωt) − 1) et z = vL0 t .
ω
v⊥0 2 v⊥0 2
5. Les coordonn´ees de la projection demand´ee sont x et y, qui v´erifient x2 + y +
=
; il s’agit
ω
ω
v⊥0
2π
v⊥0 bien d’un cercle avec xC = 0 et yC = −
, a=
.
. Le mouvement est p´eriodique de p´eriode T1 =
ω
ω
|ω|
6. Les trajectoires sont trac´ees figure 1 avec des ´echelles diff´erentes (car mp ≫ me ) en prenant en compte le
fait que q > 0 pour un proton, q < 0 pour un ´electron.
y
y
x
t=0
b
´electron
b
C
t = T /4
b
C
b
proton
b
t = T /4
x
b
t=0
Figure 1 – Trajectoires des centres-guides pour deux particules de charges diff´erentes
7. Pour l’´electron de 55 keV, v =
r
2Ec
= 1, 39 × 108 m · s−1 donc v⊥ = v
m
r
10
= 1, 33 × 108 m · s−1 ; par
11
ailleurs |ω| = 8, 79 × 104 rad · s−1 et T = 71 µs donc a = 1, 51 km . La valeur de v est quasi-relativiste ce qui
v
imposerait en principe de reprendre les calculs dans le cadre de la dynamique relativiste : = 0, 44.
c
Pour le proton de 0, 55 MeV, v = 1, 03 × 107 m · s−1 donc v⊥ = 9, 82 × 106 m · s−1 ; comme ω = 47, 9 rad · s−1
et T = 0, 13 s on trouve a = 205 km . Le mouvement reste quasi-relativiste mais il se fait naturellement bien
plus lentement, avec une courbure beaucoup plus faible.
qω
q2 B
.
ou i =
2π
2πm
Le sens de ce courant est le mˆeme quel que soit la charge de la particule ; il circule dans le sens indirect du
2
~ = −M~ez avec M = iπa2 = v⊥ m , soit M = Ec⊥ . Le flux Φ = Bπa2 permet
plan (Oxy). On en d´eduit que M
2B
B
8. L’intensit´e du courant est la charge circulant par unit´e de temps ; elle vaut donc i =
d’´ecrire M =
q2 Φ
.
2πm
9. La trajectoire de la particule charg´ee est une h´elice circulaire d’axe (Oz), dont le sens d’enroulement
~ puisque
d´epend de la charge de la particule ; toutefois, elle s’enroule toujours autour d’un tube de champ de B
un tel tube est form´e d’un cylindre (arbitraire) d’axe (Oz).
` vitesse constante, b = vL0 T1 s’´ecrit b = 2πvL0 . On peut alors ´ecrire b = 2π vL0 = 1, 99 .
10. A
|ω|
a
v⊥0
B. Mouvement d’une particule charg´
ee dans un champ magn´
etique non uniforme
∂Bθ
~ sur un cercle d’axe (Oz) et de rayon ρ
11. La sym´etrie de r´evolution impose
= 0 ; la circulation de B
∂θ
I
~ · d~r = 2πρBθ (ρ, z). En l’absence de tout courant ´electrique, cette circulation est nulle (c’est le
est donc
B
th´eor`eme d’Amp`ere) donc Bθ = 0 .
~ sortant d’un petit cylindre d’axe (Oz), de rayon ρ et limit´e entre les cotes z et z + dz
12. Le flux de B
comporte trois termes ; `a travers le disque de cote z, c’est Φ1 = −Bz (z)πρ2 ; `a travers le disque de cote z + dz,
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c’est Φ2 = +Bz (z + dz)πρ2 ; enfin, `a travers la surface lat´erale du cylindre, c’est Φ3 = 2πρdzBρ . La conservation
ρ dBz
du flux du champ magn´etique impose Φ1 + Φ2 + Φ3 = 0 donc Bρ = −
.
2 dz
13. On raisonnera dans le cas d’une charge q > 0. La projection de F~ = q (vL~ez − v⊥~eθ ) ∧ (Bρ~eρ + Bz ~ez )
sur l’axe (Oz) s’´ecrit Fz = qv⊥ Bρ soit, en utilisant l’expression trouv´ee `a la question pr´ec´edente avec ρ = a,
qv⊥ a dBz
v⊥
mv⊥
mv 2 dBz
. Puisque a =
=
, on en d´eduit Fz = − ⊥
Fz = −
. Le r´esultat est ind´ependant de q
2 dz
ω
qBz
2Bz dz
donc du signe arbitraire choisi pour q.
2
dvL
mv⊥
2
2
; d’autre part, Fz = m
o`
u la conservation de l’´energie cin´etique impose vL
+ v⊥
= Cte donc
14. M =
2Bz
dt
2
dvL
dz dvL
m dv⊥
d 2
d 2
aussi 2vL
=−
v⊥ qu’on ´ecrira encore 2
=−
v⊥ , ce qui impose Fz = −
. Finalement,
dt
dt
dt dt
dt
2 dz
2
1 dBz
1 dv⊥
v2
dM
il vient la relation de conservation
= 2
, qui impose aussi ⊥ = Cte donc
= 0 ; M est
Bz dz
v⊥ dz
Bz
dt
~
une constante du mouvement. Pour dire encore que la particule s’enroule sur un tube de champ du champ B,
~
il faut que le flux de B `a travers un cercle de rayon a soit une constante du mouvement. On a montr´e que
q2 Φ
M=
est une constante, ainsi donc que Φ : la particule continue donc `a s’enrouler sur un tube de champ
2πm
mais celui-ci n’est plus cylindrique.
m 2
1
2
2
15. Puisque Ec =
vL + v⊥
, on peut ´ecrire Ec = mvL
+ M Bz .
2
2
Ec
.
M
17. La conservation du flux du champ magn´etique sur un tube de champ de rayon variable a impose Φ =
Bz (z)πa2 (z) est constant ; ainsi, le champ est plus intense en M1 et M1′ (o`
u a(z) est minimal) qu’en O (o`
u
a(0) est maximal). Il faut bien sˆ
ur prendre aussi en compte Bρ mais, d’apr`es la question 12, cette composante
est nulle sur l’axe. Finalement, B0 est minimal et B1 = B(M1 ) = B(M1′ ) est maximal , avec une variation
peut-ˆetre monotone entre ces deux points.
2
16. Ec et M sont des constantes du mouvement et vL
> 0 donc le mouvement v´erifie Bz 6 Bmax =
18. Si B1 > Bmax > B0 , le mouvement de C n’est possible que dans la r´egion o`
u B 6 Bmax . Il existe donc
~ prend la norme Bmax et
deux points M0 et M0′ , sym´etriques par rapport au point O, pour lesquels le champ B
la condition B 6 Bmax est ´equivalente `a −z0 6 z 6 z0 : C oscille entre −z0 et z0 . Comme le mouvement de
r
Ec − M Bz (z)
C est enti`erement r´egi par la vitesse vL de C, cette vitesse ´etant donn´ee par vL = ± 2
qui ne
m
d´epend que de z, le mouvement est p´eriodique : le centre guide C repassera r´eguli`erement aux mˆemes abscisses
z avec la mˆeme vitesse, alternativement dans un Zsens puis dans l’autre. La dur´ee du passage de −z0 a` +z0 est
+z0
T2
dz
´egale `a la moiti´e de la p´eriode et vaut donc
=
dt avec dans ce sens de d´eplacement dt = +
. Du fait
2
|v
L|
0
Z−z
z0
dz
r
de la parit´e de Bz (z), on peut donc ´ecrire T2 = 4
ou encore, compte tenu de l’expression
Ec − M Bz (z)
0
2
m
r
Z z0
m
dz
p
Ec = M Bmax , T2 = 4
puisque, en un point de l’axe, B(z) = Bz (z).
2M 0
Bmax − B(z)
´
C. Etude
du champ magn´
etique terrestre
dr
rdϕ
=
. Les lignes de champ sont
2 cos ϕ
sin ϕ
dr
dϕ
donc des courbes des plans m´eridiens ψ = Cte et d’´equation diff´erentielle
=2
ou, apr`es int´egration,
r
tan ϕ
~ = ~0 donc dψ = 0 et
19. Une ligne de champ v´erifie d~r ∧ B
ln r = 2 ln | sin ϕ| + Cte qui prend bien la forme r = r0 sin2 ϕ .
20. Les lignes de champ sont trac´ees sur la figure 2 ; r0 est la valeur de r pour ϕ = π/2, donc la distance de
(Oz) `a laquelle la ligne de champ coupe le plan ´equatorial (xOy). Le champ est dirig´e du pˆole sud PS vers le
pˆole nord PN.
q
µ0 M T
21. Puisque B 2 = Br2 + Bϕ2 , on trouve B(ϕ) =
4 cos2 ϕ + sin2 ϕ ou, compte tenu de l’expres4πr3
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z
~
B
PN
x
PS
r0
~
B
Figure 2 – Lignes de champ d’un dipˆole magn´etostatique
µ0 M T
sion de r sur une ligne de champ, B(ϕ) =
4πr03
p
4 − 3 sin2 ϕ
f (ϕ) =
.
sin6 ϕ
p
4 − 3 sin2 ϕ
µ0 M T
soit B = B0 f (ϕ) avec B0 =
6
4πr03
sin ϕ
et
22. B(ϕ) est une fonction d´ecroissante de sin2 ϕ (quotient d’une fonction d´ecroissante et d’une fonction
π
croissante ; elle est donc minimale lorsque sin2 ϕ est maximal, donc pour ϕ =
avec Bmin = B0 .
2
23. On a bien sˆ
ur sin (π − ϕ) = sin ϕ donc f (π − ϕ) = f (ϕ) . Comme ϕ varie de 0 `a π , cette propri´et´e signale
π
une sym´etrie par rapport `a ϕ =
et permet trac´e de la figure 3 . Pour ϕ → 0 et ϕ → π, l’approximation
2
dipolaire n’a plus de sens (car r → 0) et la branche infinie non plus.
B(ϕ)
B0
b
b
ϕ
b
π/2
Figure 3 – Trac´e de f (ϕ)
b
π
24. La position d’´equilibre stable de l’aiguille aimant´ee dans le champ magn´etique terrestre correspond au mini~ a · B,
~ donc atteinte lorsque l’aiguille aimant´ee est align´ee avec le champ
mum de l’´energie potentielle Ep = −M
magn´etique terrestre, dans le mˆeme sens.
25. Le th´eor`eme du moment cin´etique permet d’´etudier ce mouvement, le moment des forces magn´etiques
2
~a ∧B
~ = −Ma Bϕ sin α~u, su ~u d´esigne la verticale locale ; on a donc J d α = −Ma Bh sin α .
s’´ecrivant M
dt2
M a Bh
26. Si |α| ≪ π ;, il s’agit d’une ´equation caract´eristique d’un oscillateur harmonique, α
¨+
α = 0 avec
J
r
J
pour p´eriode des petites oscillations de cette aiguille τ0 = 2π
.
M a Bh
s
s
J
J
27. On a bien sˆ
ur τ1 = 2π
et τ2 = 2π
; puisque Bh < Be , il vient donc
Ma (Bh + Be )
Ma |Bh − Be |
Bh = Be
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τ22 − τ12
.
τ12 + τ22
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1 − x2
4πr3 Bh
avec x = τ1 /τ2 = 0, 78 donc Bh = 24, 3 µT . On en d´eduit MT =
2
1+x
µ0 sin ϕP
22
2
`
avec ici r = RT ; on trouve donc MT = 8, 32 × 10 A · m . A la surface de la Terre (r = RT ), l’intensit´e du
28. On peut ´ecrire Bh = Be
champ magn´etique
µ0 M T
µ0 M T
4 − 3 sin2 ϕ varie entre une valeur minimale Bt,min =
= 31, 7 µT a` l’´equa4πRT3
4πRT3
teur (ϕ = π/2) et une valeur maximale Bt,max =
µ0 M T
= 126, 9 µT aux pˆoles (ϕ = 0).
πRT3
D. Pi´
egeage des particules charg´
ees par le champ magn´
etique terrestre
29. On remplace le d´eplacement lin´eaire dz du centre guide sur l’axe d’un tube de champ par un d´eplacement
r
Z ϕ0
m
ds
p
puisque
ds le long d’une ligne de champ. On obtient donc directement T2 = 4
2M π/2 Bmax − B(ϕ)
la variable ϕ oscille entre −ϕ0 et +ϕ0 lors du mouvement ´etudi´e. D’autre
part, le d´eplacement du centre
p
2
guide se faisant dans un plan m´eridien ψ = Cte, on peut ´ecrire ds = dr + r2 dϕ2 avec r = r0 sin2 ϕ donc
q
ds = r0 2 sin ϕ cos ϕ + sin4 ϕdϕ .
r
Z ϕ0 s
m
2 sin ϕ cos ϕ + sin4 ϕ
r0
dϕ, ce qu’on peut ´ecrire
30. On a ici Bmax = B0 f (ϕ0 ) donc T2 = 4
2M B0 π/2
f (ϕ0 ) − f (ϕ)
s
r
√ Z ϕ0 2 sin ϕ cos ϕ + sin4 ϕ
m
sous la forme T2 = γr0
avec γ = 2 2
dϕ. Comme on ´etudie la fonction
M B0
f (ϕ0 ) − f (ϕ)
π/2
15 2
f au voisinage de son minimum, f (ϕ) ≃ 1 +
x avec ϕ = π/2 − x ; notant aussi ϕ0 = π/2 − x0 , il vient
4
r Z x s
r Z x
r
0
0
2
1 + 2x
2
dx
2
p
γ=4
dx ou, `a l’ordre le plus bas, γ = 4
= 2π
, ind´ependant de x0
2
2
2
2
15 0
x0 − x
15 0
15
x0 − x
r
m
donc de ϕ0 . Finalement, on peut ´ecrire T2 = γr0
; le coefficient γ est sans dimension puisque M B0 est
M B0
r
r
r
m
m
2
une ´energie, donc
l’inverse d’une vitesse et r0
une dur´ee. Num´eriquement, γ = 2π
= 2, 29 .
M B0
M B0
15
31. Bmin = B0 =
µ0 M T
= 4, 96 × 10−7 T .
4π43 RT3
2
mv⊥
Ec
avec M =
qu’on peut calculer `a l’instant initial (c’est une constante du mouvement),
M
2B
2
mv⊥
10 Ec
selon M =
=
; il vient donc Bmax = 1, 1 × B0 = 5, 46 × 10−7 T . La valeur correspondante de
2Bmin
11 Bmin
ϕ0 est telle que f (ϕ0 ) = 1, 1, tr`es l´eg`erement sup´erieur `a f (π/2) = 1 ; ϕ0 reste voisin de π/2 .
r
15 π 2
π
4
π
On a donc f (ϕ0 ) = 1 +
ϕ0 −
= 1, 1 donc ϕ0 = +
= + 0, 16 rad (0, 16 rad repr´esente 9◦
4
2
2
150
2
environ).
r
11m
33. On en d´eduit T2 = 4γRT
soit T2 = 0, 63 s pour un ´electron de 55 keV et T2 = 8, 47 s un proton
10Ec
de 0, 55 MeV. Les valeurs mesur´ees sont en bonne co¨ıncidence avec l’ordre de grandeur des mesures r´ealis´ees :
le mod`ele est donc une bonne premi`ere approximation de l’´etude du mouvement des particules dans les ceintures
de Van Allen, au vu des nombreuses incertitudes qui affectent probablement la mesure du rapport vL /v⊥ .
32. Bmax =
34. La travers´ee des ceintures de Van Allen s’accompagne sans doute surtout d’effets ´electromagn´etiques
(perturbation des communications radio par exemple), plus que d’effets m´ecaniques (les chocs de particules
´el´ementaires sur un vaisseau spatial ont peu de chances d’affecter ce dernier de mani`ere significative).
JR Seigne
Clemenceau
Nantes