Transcript Travaux Dirigés

Universit´e Paris 7-Denis Diderot
Master 2 CFP
Magn´etisme et Supraconductivit´e
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Ann´ee 2014-2015
Travaux Dirig´
es
1
Paramagn´
etisme classique de Langevin
On consid`ere une assembl´ee de moments magn´etiques classiques µ soumis `a un champ magn´etique
constant B orient´e selon l’axe z. Dans cette vision classique due `a Langevin (1905), µ est un vecteur de
norme constante µ mais d’orientation variable.
(a) Calculer la fonction de partition Z en fonction de B, T et µ
(b) Donner l’aimantation moyenne selon z, Mz , en fonction de T et B.
(c) En d´eduire le comportement de la susceptibilit´e magn´etique `a bas champ magn´etique µB kB T .
Comparer avec le cas quantique.
2
Mod`
ele de champ moyen de l’antiferromagn´
etisme
On consid`ere un r´eseau carr´e de spins localis´es avec une int´eraction d’´echange antiferromagn´etique
aux premiers voisins uniquement :
H=−
J X~ ~
Si .Sj
2
(1)
i6=j
avec J < 0
(a) Quel est l’´etat fondamental classique ? Montrer l’existence de deux sous-r´eseaux ´equivalents α et β
et donner l’expression du champ moyen pour chaque sous-r´eseau Bα/β .
(b) Donner les ´equations d’autocoh´erence des aimantations de sous-r´eseaux Mα et Mβ . D´eterminer
la temp´erature de transition de l’ordre antiferromagn´etique TN en champ moyen. On rappelle le
d´eveloppement limit´e au premier ordre de la fonction de Brillouin BS (x → 0) ∼ S+1
3 x
(c) Discuter de la nature de l’´etat fondamental dans le cas o`
u on inclut une interaction aux seconds
voisins J2 antiferromagn´etique ´egalement. Donner la temp´erature de transition en champ moyen
pour |J1 | > |J2 |
3
Dim`
eres de spin sous champ magn´
etique
On consid`ere un dim`ere de spins (S1 et S2 ) coupl´es antiferromagn´etiquement soumis `a un champ B
constant et orient´e selon z.
3.1
Spins classiques
Soit θ l’angle entre les spins classiques et la normale `a B (voir figure).
(a) Ecrire l’´energie potentielle classique U a` T =0K en fonction de S1 , S2 , B, J et θ.
(b) Montrer qu’il est toujours favorable d’avoir un angle fini θ quel que soit le champ B. Montrer que
l’aimantation selon z, Mz , croˆıt lin´eairement en B `a bas champ.
1
Fig. 1 – Dim`ere de spins classiques sous champ magn´etique
3.2
Spins quantiques
On consid`ere maintenant le cas quantique en prenant des spins S=1/2.
(a) Donner l’expression des ´energies des ´etats singulet et triplet en fonction de B et montrer qu’il existe
une transition de phase `
a T =0K `
a un champ critique Bc . Comparer avec le cas classique.
(b) A l’aide de la fonction de partition, calculer l’aimantation Mz `a bas champ en fonction de la
temp´erature. Montrer qu’elle est nulle `
a T =0K.
4
Aimantation dans l’approximation harmonique
Dans cette exercice nous ´evaluons l’influence des magnons sur le comportement de l’aimantation en
temp´erature pour les cas ferromagn´etique et antiferromagn´etique.
4.1
Cas Ferromagn´
etique
L’Hamiltonien d’Heisenberg dans l’approximation harmonique s’´ecrit en fonction des op´erateurs de
bosoniques de magnons ferrommagn´etiques :
X
H = E0F +
ω k nk
(2)
k
avec ωk l’´energie des magnons ferromagn´etiques et nk l’op´erateur nombre de magnons (voir cours).
ωk = JzS(1 − γk ). J est la constante d’´echange, z le nombre de premiers voisins, S le spin et le facteur
P ~~
de structure γk = z1 δ eik.δ
(a) Donner l’expression g´en´erale de N (T), le nombre de magnons `a la temp´erature T , dans l’approximation harmonique en fonction de la densit´e d’´etat de magnons g(ω).
R +∞
1/2
(b) Calculer N (T) `
a basse temp´erature pour une maille cubique simple. (On pourra poser I = 0 dx exx −1 ).
Montrer que l’aimantation M (T ) suit une loi en T 3/2 `a basse temp´erature. Comparer avec l’expression obtenue en champ moyen.
(c) Que se passe t’il pour M (T) dans les cas 2D (maille carr´ee) et 1D ?
4.2
Cas antiferromagn´
etique
Dans le cas antiferromagn´etique et sur un r´eseau bi-partite, H s’´ecrit en fonction des deux op´erateurs
bosoniques de magnons associ´es au couplage des deux sous-r´eseaux A et B (voir cours) :
H = E0AF +
X
β
ωk (1 + nα
k + nk )
(3)
k
avec ωk l’´energie des magnons antiferromagn´etiques et nα,β
les op´erateurs nombre de magnons dont les
k
´energies sont d´eg´en´er´ees : ωk = |J| zS(1−γk2 )1/2 . On rappelle que les op´erateurs bosoniques de cr´eation et
de destruction des magnons αk et βk s’´ecrivent en fonction des op´erateurs bosoniques d’Holstein-Primakov
des deux sous-r´eseaux, ck et dk , via une transformation de Bogoliubov :
+
ck = uk αk + vk β−k
(4)
+
vk α−k
(5)
dk = uk βk +
avec uk = cosh(θk ), vk = sinh(θk ) et γk = − tanh(2θk ).
(a) A T =0K, montrer que les aimantations de sous-r´eseaux
P sont r´eduites par rapport `a celles `a satura0
0
tion MA/B
et qu’elles s’´ecrivent : MA/B (T)=MA/B
- k vk2
(b) Donner l’expression de vk en fonction de γk et discuter de la r´eduction d’aimantation `a T =0K dans
le cas 1D.
(c) A temp´erature finie, donner l’expression des aimantations de sous-r´eseau en fonction de γk et de
ωk . Montrer que dans le cas cubique et a` basse temp´erature, les aimantations suivent une loi en T 2 .