Transcript Astrophysique I - Gaz parfait de fermions

Astrophysique
Formation Interuniversitaire de Physique
Option de L3
Ecole Normale Sup´erieure de Paris
Patrick Hennebelle
Fran¸cois Levrier
Cinqu`
eme TD
8 avril 2014
Ce TD a pour objet l’´etude des naines blanches, qui sont le stade ultime de la vie des ´etoiles
de faible masse, apr`es la fin des r´eactions thermonucl´eaires. Form´ees d’un gaz de noyaux
atomiques et d’un gaz d’´electrons, ces ´etoiles ont une masse et une temp´erature interne de
l’ordre de celles du Soleil, mais un rayon voisin de celui de la Terre.
Pour les applications, on prendra M = 2 1030 kg, T = 107 K, R = 5 106 m, et on pourra
supposer que les noyaux atomiques sont uniquement du 12 C, de sorte que Z = 6 et A = 12.
I - Gaz parfait de fermions
En physique statistique des gaz de fermions, le nombre d’occupation moyen d’un ´etat individuel |λi est donn´e par la statistique de Fermi-Dirac,
Nλ =
1
e
β(ελ −µ)
+1
Dans cette expression, β = 1/(kB T ), ελ est l’´energie de l’´etat |λi et µ le potentiel chimique.
On notera ε0 l’´energie du niveau fondamental d’une particule.
1. Repr´esenter l’allure de la distribution de Fermi-Dirac pour diff´erentes temp´eratures et
discuter la limite de temp´erature nulle T → 0.
2. En consid´erant une particule de spin s dans un volume parall´epip´edique V = Lx Ly Lz ,
calculer le nombre W (ε) d’´etats d’´energie 6 ε accessibles `a cette particule. On rappelle que
l’impulsion et le vecteur d’onde de la particule sont quantifi´es et li´es par p = ~k. On m`enera
les calculs simultan´ement dans le cas non-relativiste et dans le cas relativiste, pour lequel
on a ε2 = p2 c2 + m2 c4 . En d´eduire la densit´e d’´etats f (ε).
´
3. On consid`ere un gaz de N fermions dans un volume V , `a une temp´erature T . Ecrire
le
nombre total de particules du syst`eme sous la forme d’une int´egrale sur l’´energie. Ce nombre
´etant fix´e, de mˆeme que la temp´erature T , sur quelle quantit´e porte en r´ealit´e cette expression ?
4. On se place maintenant `
a temp´erature nulle. On notera µ0 (n), avec n = N/V , la valeur
que prend alors le potentiel chimique. D´efinir l’impulsion de Fermi pF et la temp´erature de
Fermi TF , qu’on calculera dans les cas classique et relativiste. On prendra garde que l’´energie
du fondamental n’est pas la mˆeme dans les deux calculs. Dans ce qui suit, on admettra qu’on
pourra faire une approximation de temp´erature nulle d`es lors que T ≪ TF , et qu’inversement
on pourra se contenter d’un calcul non quantique si T ≫ TF .
II - Quelques ordres de grandeur
´
1. Evaluer
la masse volumique moyenne de la naine blanche et la comparer `a celle du Soleil.
´
2. Evaluer
le nombre Nn de noyaux et celui Ne d’´electrons, ainsi que les densit´es nn et ne
et les distances moyennes entre particules an et ae correspondantes. Commentaire ?
´
3. Le gaz d’´electrons est d´ecrit par la statistique de Fermi-Dirac. Evaluer
l’impulsion de
Fermi pF et la comparer `
a me c. Les ´electrons au niveau de Fermi sont-ils relativistes ?
´
Evaluer
la temp´erature de Fermi. Conclusion ?
4. En supposant ici que les noyaux sont aussi des fermions, ´evaluer leur impulsion de Fermi.
´
Sont-ils relativistes ? Evaluer
leur temp´erature de Fermi et conclure. On admettra que la
mˆeme conclusion est valable si les noyaux sont des bosons.
´
III - Equilibre
de l’´
etoile
1. Montrer, par un calcul statistique semblable `a celui de la pression cin´etique d’un gaz
classique, que la pression du gaz d’´electrons - suppos´e isotrope et `a temp´erature nulle s’´ecrit sous la forme
Z µ0
1
p
1
le facteur de Lorentz.
Pe =
p(ε)v(ε)f (ε)dε avec v =
la vitesse et γ = r
3V ε0
γme
v2
1− 2
c
2. Montrer que Pe s’´ecrit en fonction de me , c, ~ et de l’int´egrale
Z x
i
p
p
1h
u4
√
du =
x(2x2 − 3) 1 + x2 + 3 ln (x + 1 + x2 ) .
F (x) =
8
1 + u2
0
` quoi corres3. On admet que F (x) ∼ x5 /5 pour x ≪ 1 et F (x) ∼ x4 /4 pour x ≫ 1. A
pondent ces r´egimes ? Calculer Pe dans ces deux limites en fonction de ~, me , mp , c, de la
masse volumique ρ et de la fraction ´electronique Ye = Z/A. Comparer Pe `a la pression Pn
des noyaux et `
a la pression de radiation `a la temp´erature T .
4. Consid´erant un astre homog`ene de masse M et de rayon R, on peut d´efinir une “pression
gravitationnelle” Pg comme d´eriv´ee de l’´energie potentielle gravitationnelle :
Pg = −
∂Eg
∂V
avec Eg = −
3 GM 2
5 R
En ´ecrivant l’´equilibre de pression dans l’´etoile, montrer que dans le domaine non relativiste
on a RM 1/3 = C o`
u C est une constante qu’on explicitera, et que dans le domaine ultrarelativisite, on est amen´e `
a d´efinir une masse M0 ind´ependante du rayon R, qu’on calculera
num´eriquement. En r´e´ecrivant P + Pg en fonction de M et M0 , proposer une interpr´etation
physique.
IV - Masse de Chandrasekhar
En r´ealit´e, les ´equations d’´etat polytropiques Pe = Kα ρα obtenues `a la question 3. de l’exercice pr´ec´edent sugg`erent que l’approximation d’un astre de densit´e uniforme est incorrecte.
Pour obtenir une meilleure description, on consid`ere un astre de sym´etrie sph´erique, de rayon
R et de masse M , compos´e d’un gaz parfait de poids mol´eculaire moyen m. On suppose qu’il
n’est soumis `
a aucune force d’origine externe, et on note r la distance au centre du nuage,
p(r) la pression, T (r) la temp´erature, ρ(r) la masse volumique et ρc = ρ(0).
1. Rappeler l’´equation d’´equilibre hydrostatique. On suppose qu’il existe une relation simple
´
p = f (ρ) entre la pression et la masse volumique. Etablir
une ´equation diff´erentielle portant
sur ρ. Quelles sont les conditions aux limites `a imposer `a cette ´equation ?
2. On suppose que le gaz est en ´evolution isotherme. Quelle est alors la fonction f ? En
posant ψ = ln(ρc /ρ) et u = r/r1 avec r1 une longueur caract´eristique qu’on pr´ecisera,
d´eterminer l’´equation diff´erentielle portant sur ψ(u) de la forme Aψ = e−ψ , avec A un
op´erateur diff´erentiel. Cette ´equation est dite de Lane-Emden isotherme.
3. Montrer que l’´equation sur ρ admet comme solution exacte ρ = λr−2 en pr´ecisant la
valeur de λ. Cette solution est appel´ee sph`ere isotherme singuli`ere. Pourquoi ce dernier qualificatif ? Cette solution est-elle compatible avec les conditions aux limites du 1. ?
4. Le gaz a en r´ealit´e un comportement polytropique, pour lequel p ∝ ρα avec α > 1. En
introduisant une fonction sans dimension ψα = (ρ/ρc )α−1 et une longueur caract´eristique
rα , montrer qu’en posant u = r/rα on peut r´e´ecrire l’´equation d’´equilibre hydrostatique sous
la forme dite de Lane-Emden :
1 d
2 dψα
u
= −ψαn en pr´ecisant la relation entre α et n.
u2 du
du
Comment se traduisent les conditions aux limites du 1. pour la fonction ψα (u) ?
5. L’´equation de Lane-Emden n’a pas de solution analytique dans le cas g´en´eral. On ne
cherchera donc pas `
a la r´esoudre. Montrer cependant que pour n = 1, elle accepte comme
solution la fonction sinus cardinal, et en d´eduire le rayon de l’astre dans cette approximation.
6. On admet que pour α > 1.2, la fonction ψα (u) admet un premier z´ero not´e xα . Calculer
le rayon Rα de l’´etoile et sa masse Mα . En d´eduire une relation entre Mα et Rα . Quelle propri´et´e retrouve-t-on dans le cas relativiste ? Calculer la masse correspondante, qu’on appelle
′
masse de Chandrasekhar Mc , sachant que x4/3 = 6.897 et ψ4/3
(x4/3 ) = −0.0424279, et la
comparer `
a M0 trouv´ee `
a l’exercice pr´ec´edent.
7. L’´etoile ´emet un rayonnement, elle se refroidit donc. Quel effet ce refroidissement a-t-il
sur l’´equilibre de l’´etoile ?
h = 6.6260 10−34 J.s
c = 2.99792458 108 m.s−1
mH = 1.660 10−27 kg
kB = 1.38062 10−23 J.K−1
G = 6.670 10−11 N.m2 .kg−2
hc/k = 1.43883 10−2 m.K
e = 1.602 10−19 C
σ = 5.6704 10−8 W.m−2 .K−4
1L⊙ = 3.826 1026 W
1M⊙ = 1.989 1030 kg
me = 9.109 10−31 kg
1R⊙ = 6.9599 108 m
1 UA = 1.495979 1011 m
1 pc = 3.085678 1016 m
ǫ0 = 8.854187 10−12 A.s.V−1 .m−1