Transcript TD no 1 : Gaz parfait

Exercices : Thermodynamique
PCSI–2
lyc´
ee Ibn Taimiya
2013-2014
TD no 1 : Gaz parfait
A.BADIR
2013/2014
Exercice 1 : M´
elange de gaz parfaits
1. On consid`ere un m´elange id´eal ( absence d’interactions )de deux gaz parfaits. Montrer que : ” la
pression totale du m´elange de gaz parfaits est la somme des pressions partielles ”, loi de Dalton
.On rappelle que la pression partielle d’un gaz dans un m´elange est la pression qu’il exercerait
s’il ´etait seul.
2. Trois r´ecipients contiennent respectivement de l’hydrog`ene, de l’oxyg`ene et de l’azote dans les
conditions suivantes :
H2 : 2, 25 l ; 250 mmHg ; 20 ◦ C - O2 : 5, 50 l ; 250 mmHg ; 20 ◦ C - N2 : 1, 40 l ; 760 mmHg ; 0◦ C
a. Calculer la masse de chaque gaz en les supposant parfaits.
b. On m´elange ces gaz dans un mˆeme r´ecipient de volume 18,5 litres `a la temp´erature de 0◦ C˚; on
suppose le m´elange id´eal . Calculer pour chaque gaz sa fraction molaire , sa fraction massique
et sa pression partielle. On rappelle que : 1 atm = 760 mm Hg = 1, 013.105 P a et on donne
R = 8, 314 J.K −1 .mol−1 .
3. a. d´eterminer le volume occup´e par 1 gramme de dibrome suppos´e gaz parfait `a la temp´erature
1600 ◦ C et sous la pression atmosph´erique. On donne la masse molaire du brome M (Br ) =
80 g.mol−1 .
b. L’experience montre que ce volume est en fait 1, 195 litre. Montrer que cela peut s’expliquer
en consid´erant qu’une certaine proportion des mol´ecules Br2 s’est dissoci´ee en atome Br.
Calculer le coefficient de dissociation (rapport de la quantit´e de Br2 dissoci´ee et la quantit´e
de Br2 initiale).
4. On consid`ere le m´elange d’h´elium (He) et d’argon (Ar) suppos´es parfaits `a la mˆeme temp´erature.
D´eterminer le rapport des vitesses quadratiques moyennes de leurs mol´ecules.
On donne M (He) = 4 g.mol−1 ; M (Ar) = 40 g.mol−1 .
´
Exercice 2 : Equilibre
d’une plaque non isotherme dans un gaz
1. Soit un gaz de n∗ particules (de masse m ) par unit´e de volume. Montrer que la pression cin´etique
peut s’obtenir en consid´erant qu’un certain nombre de particules arrivent toutes en incidence
normale sur la paroi avec la mˆeme vitesse ´egale `a la vitesse quadratique moyenne correspondant
`a la temp´erature T du gaz, et repartent avec la vitesse quadratique moyenne correspondant `a la
temp´erature T 0 = T
2. Soit une plaque de surface s plac´ee dans un gaz parfait monoatomique `a la mˆeme temp´erature
T . ses deux faces ne sont pas `a la mˆeme temp´erature : une des face `a la temp´e*rature T et l’autre
`a T 0 > T. Exprimer la r´esultante des forces de pression qui s’exerce sur la plaque.
Exercice 3 : Fuite d’un gaz
1. Dans un r´ecipient de volume V = 1l maintenu `a 0◦ C, on enferme de l’h´elium sous la pression de
Po = 100 P a. A l’ext´erieur r`egne un vide absolue. Sachant que la paroi du r´ecipient est perc´ee
d’un trou d’aire s = 1 µm2 , au bout de combien de temps la pression aura -t-elle diminu´ee de la
moiti´e ? Pour obtenir l’ordre de grandeur, on adopte les hypoth`eses simplificatrices suivantes :
∗ le trou ´etant petit, le gaz se d´etend lentement en restant au repos. On n´eglige tout mouvement
macroscopique.
∗ une climatisation assure le maintien de la temp´erature et l’uniformisation du gaz dans tout le
r´ecipient.
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∗ on consid`ere que toutes les mol´ecules ont une vitesse ´egale `a la vitesse quadratique moyenne
u. De plus ces vitesses ne sont orient´ees que selon ±~ex , ±~ey , ±~ez et la r´epartition dans ces
six directions est isotrope.
2. Le r´ecipient perc´e communique avec un un r´ecipient identique initialement vide, le tout est
maintenu `a 0 ◦ C. Au bout de combien de temps la pression dans le second r´ecipient aura -t-elle
atteint la valeur 10 P a ?
Exercice 4 : Coefficients thermo´
elastiques
On d´efinit
∗ le coefficient de compressibilit´e isotherme d’un fluide : χT = − V1 ( ∂V
∂P )T .
∗ le coefficient de dilatation isobare :
α =
∗ le coefficient de compression isochore :
β =
1 ∂V
V ( ∂T )P .
1 ∂P
P ( ∂T )V
1. Calculer α, β, et χT pour un gaz parfait.
2. Montrer que, pour un fluide quelconque, α, β, et χT . sont reli´es par α = P.β.χT .
∂P
∂T
∂x
1
On admet que l’on a ( ∂V
∂P )T .( ∂T )V .( ∂V )P = −1 et ( ∂y )z = ∂y
( ∂x )z
3. L’´etude exp´erimentale d’un gaz a montr´e que α et χT , pour une mole, s’exprime en fonction des
R
variables ind´ependantes P et T par : α = aP +RT
, χT = p(aPRT
u a et R sont des constantes.
+RT ) o`
Trouver l’´equation d’´etat relative `a une mole de ce gaz.
Exercice 5 : Equation d’´
etat d’un fil
Un fil st caract´eris´e par un coefficient de dilatation lin´eique α et un module de Young ET constants :
1 ∂L
L ∂F
(
)F et (
)
L ∂T
S ∂L T
T ´etant sa temp´erature, L sa longueur, S sa section et F la force de traction.
1. Quelles sont les dimensions physique de α et ET ?
F
), Lo ´etant la longueur `a la temp´erature To lorsque
2. Montrer que L = lo exp[α(T − To )] exp( SE
T
F = 0.
3. Que devient l’´equation d’´etat pr´ec´edent pour α suffisamment petit et ET suffisamment grand ?
α=
´
Exercice 6 : Energie
interne
Le tableau ci-dessous donne, avec trois chiffres significatifs exacts, le volume molaire V( en m3 .mol−1 )et
l’´energie interne molaire U ( en kJ.mol−1 )de la vapeur d’eau `a la temp´erature t = 500 ◦ C pour
diff´erentes valeurs de la pression P(en bars). On donne en outre la constante des gaz parfaits R =
8, 314 J.K −1 .mol−1 .
P
V
U
1
6, 43.10−2
56, 33
10
6, 37.10−3
56, 23
20
3, 17.10−3
56, 08
40
1, 56.10−3
55, 77
70
8, 68.10−4
55, 47
100
5, 90.10−4
54, 78
1. Justifier sans calcul que la vapeur d’eau ne se comporte pas comme un gaz parfait.
2. On se propose d’adopter le mod`ele de Van Der Waals pour lequel on a : (P + Va2 )(V −b) = RT
et U = UGP − Va .
a. Calculer le coefficient a en utilisant les ´energies interne des ´etats `a P = 1 bar et `a P =
100 bars. Calculer b en utilisant l’´equation de l’´etat `a P = 100 bars.
b. Quelle valeur obtient-on alors pour U `a P = 40 bars ? Quelle temp´erature obtient-on alors
en utilisant l’´equation d’´etat avec P = 40 bars et V = 1, 56.10−3 m3 .mol−1 ? Conclure sur la
validit´e du mod`ele.
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