Transcript Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques

Pré-rentrée
L1 Eco-Gestion
Mathématiques
EQUATION & FONCTION 10H -13H
DOCUMENTS DISPONIBLES CE SOIR SUR
UNIPIAF.NET
YVES BERTINI
Pensée économique
Vision du monde  Modèle
Modèle  traduire en langue naturelle
Discours quantitatif  traduire en langue mathématiques
Economie : répartir des ressources, quantités, prix, valeurs
Micro-économie : maximiser l’utilité de l’agent
Finance : prévision, risque
Réalité n’est pas mathématiques
Objectif : résoudre des problèmes
Problèmes Eco
Problèmes Math
◦ Réalisabilité
◦ Inéquations
◦ Atteindre un objectif fixe
◦ Equations
◦ Atteindre le meilleur objectif
◦ Optimum
Jouant sur des leviers
Variables
◦ Variables endogènes
◦ 𝑥 , 𝑦, 𝑧
Toutes choses égales par ailleurs
◦ Variables exogènes
Paramètres fixes
◦ 𝑎, 𝑏, 𝑐
Problèmes de Micro-Economie
Problème du coût de production
Problème de Producteur consommateur
Niveau de production de Cobb-Douglas
Sommaire
Equation de droite
Equation, Inéquation du 1er degré à 1 ou 2 variables
Fonction rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme
Etude de fonction
Calculatrice modernes
Systèmes Informatiques de Calcul – CAS
Wolfram Alpha – Le "Google" des math/stat
www.wolframalpha.com
Geogebra – Calculs et dessins de courbes
www.geogebra.org
Notations
Ensembles
[1; 10] nombres réels entre 1 et 10
2,5 ∈ [1; 10]
{1; 10} ou {10; 1} entiers 1 et 10
2,5 ∉ 1; 10 et 2 ∉ 1; 10
1; 10 ou {1; … ; 10} entiers de 1 à 10
2,5 ∉ 1; 10 et 2 ∈ {1; … ; 10} et 2 ∈ 1; 10
Equation de droite
Equation cartésienne D ∶ 𝑦 = 𝑎 × 𝑥 + 𝑏
◦ 𝑎 : pente
◦ 𝑏 : ordonnée à l’origine
Tracé D ∶ 𝑦 = 2 × 𝑥 − 1
𝑦 > 2𝑥 − 1
◦ Droite : a=2 et b=-1
◦ 2 points (𝑥, 𝑦)
𝑦 = 2𝑥 − 1
Pt
A
B
𝒙
0
1
𝒚
−1
1
𝑦 < 2𝑥 − 1
Equation de droite
Signe de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑎 × 𝑥 + 𝑏
𝑥0 =
x
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Opposé du
signe de a
0
−𝑏
𝑎
Signe de a
Equation - Inéquation
Exercices
Résoudre :
◦ Identifier les inconnues
◦ Trouver toutes les solutions réelles possibles
Rappel de règle de calcul
◦ Si 𝑎 > 0 et si 𝑋 > 𝑌 alors 𝑎𝑋 > 𝑎𝑌
◦ Si 𝑎 < 0 et si 𝑋 > 𝑌 alors 𝑎𝑋 < 𝑎𝑌
◦ Si 𝑎 < 𝑏 et 𝑐 < 𝑑 alors 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
◦ Si 𝑎 < 𝑏 et 𝑐 < 𝑑 et 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0 alors 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑
◦ Pas de division ni soustraction
Valeur absolue – Racine carrée
Fonction valeur absolue : pour tout 𝑥 ∈ ℜ 𝑓 𝑥 = |𝑥|
◦ Si 𝑥 > 0
|𝑥| = 𝑥 > 0
◦ Si 𝑥 < 0
|𝑥| = −𝑥 > 0
◦ | − 2| = 2
Fonction racine carrée : pour tout 𝑥 ≥ 0
𝑓 𝑥 = 𝑥
Pour tout 𝑥 > 0
◦
◦
𝑥>0
𝑥 2=𝑥
Pour tout 𝑥 ∈ ℜ
𝑥 2 = |𝑥|
Si 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0
𝑎𝑏 = 𝑎 × 𝑏
𝑓 𝑥 =
𝑥 est croissante.
𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎2
(−2)2 = 4 = 2 = | − 2|
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Si 𝑎 < 𝑏 alors 𝑎 < 𝑏
𝑥 < 𝑎 ⇔ 0 ≤ 𝑥 < 𝑎2
𝑎+𝑏 ≤ 𝑎+ 𝑏
Equation
nd
2
degré
Fonction polynôme de degré 2 : Pour tout 𝑥 ∈ ℜ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 où 𝑎 ≠ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Solutions réelles de l’équation de 2nd degré :
◦ Discriminant :
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
◦ Si Δ < 0 Aucune solution réelles
◦ Si Δ = 0 Une seule solution
𝑥0 = −
𝑏
2𝑎
◦ Si Δ > 0 deux solutions, deux racines
−𝑏 − Δ
−𝑏 + Δ
𝑥0 =
𝑒𝑡 𝑥1 =
2𝑎
2𝑎
Forme factorisée : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
Equation
nd
2
degré
Signe de la fonction de 2nd degré : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
◦ Discriminant :
◦ Si Δ < 0 alors
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑠𝑖 𝑎 > 0
ou
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑠𝑖 𝑎 < 0
◦ Si Δ ≥ 0 on a le tableau de signes selon les racines
−𝑏 − Δ
−𝑏 + Δ
𝑥0 =
𝑒𝑡 𝑥1 =
2𝑎
2𝑎
−𝑏 − Δ
𝑥0 =
2𝑎
x
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Signe de
a
0
−𝑏 + Δ
𝑥𝟏 =
2𝑎
Opposé
du signe
de a
0
Signe de
a
Equation
nd
2
degré
Exercice
Rappel identités remarquables
𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏
2
Si 𝑎 > 0, 𝑥 2 = 𝑎
a pour solutions
𝑥0 = 𝑎
et
𝑥1 = − 𝑎
Fractions rationnelles
Fraction rationnelle : pour 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) des polynômes
𝑃 𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑄 𝑥
𝑓(𝑥) est définie pour tous les 𝑥 où 𝑄 𝑥 ≠ 0
Fractions rationnelles
Exercices
Equation
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
= 0 a pour solutions 𝑃(𝑥) = 0 quand 𝑄 𝑥 ≠ 0
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
=
𝑅 𝑥
𝑆 𝑥
⇔
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
−
𝑅 𝑥
𝑆 𝑥
=0⇔
𝑃 𝑥 𝑆 𝑥 −𝑅 𝑥 𝑄 𝑥
𝑄 𝑥 𝑆 𝑥
=0
⇔
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
−
𝑅 𝑥
𝑆 𝑥
>0⇔
𝑃 𝑥 𝑆 𝑥 −𝑅 𝑥 𝑄 𝑥
𝑄 𝑥 𝑆 𝑥
>0
Inéquation
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
>
𝑅 𝑥
𝑆 𝑥
puis factorise et tableau de signes
Fractions rationnelles
Exercice
Puissances
Pour 𝑥 ∈ ℜ , 𝑥 𝑛 = 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 . . .× 𝑥 , 𝑛 fois
Pour 𝑥 ≠ 0 ,
1
𝑥 −𝑛 = 𝑥 𝑛
1
𝑛
Pour 𝑥 ≥ 0 , 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑎0 = 1
Pour a et b des réels :
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑛
𝑎
𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎×𝑏
𝑎
𝑚 𝑛
=𝑎
𝑚×𝑛
𝑛
𝑎
𝑏
= 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛
𝑎=
1
𝑎2
𝑛
𝑎𝑛
= 𝑛
𝑏
𝑎
𝑛
=
𝑎𝑛
=
𝑛
𝑎2
Puissances
Exercice
Exponentielle
Exponentielle base 𝒒 > 𝟎 : pour tout 𝑥 ∈ ℜ 𝑓 𝑥 = 𝑞 𝑥 elle prolonge 𝑞𝑛
Si 0 < 𝑞 < 1, 𝑞 𝑥 est décroissante tendant vers 0
Si 1 < 𝑞,
𝑞 𝑥 est croissante tendant vers l’infinie
Exponentielle Népérienne
Exponentielle base 𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗 : pour tout 𝑥 ∈ ℜ 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥
Propriétés
𝑒𝑥 > 0
𝑒0 = 1
𝑒1 = 𝑒
𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 𝑥 × 𝑒 𝑦
𝑒 −𝑥 =
1
𝑒𝑥
𝑒 𝑥−𝑦 =
𝑒𝑥
𝑛
𝑒𝑥
𝑒𝑦
= 𝑒 𝑥×𝑛
La droite 𝑦 = 𝑥 + 1 est tangente à 𝑒^𝑥
Logarithme Népérien
Pour tout réel 𝑎 > 0 , l’unique solution de 𝑒 𝑥 = 𝑎 est 𝑥 = ln 𝑎
Autrment dit : 𝑥 > 0 𝑒𝑡 ln 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑒 𝑦
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
Logarithme népérien : pour tout 𝑥 > 0 , 𝑓 𝑥 = ln 𝑥
Propriété :
Pour tout 𝑥 ∈ ℜ,
ln 𝑒 𝑥 = 𝑥 et pour tout 𝑥 > 0, 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥
ln 1 = 0 et ln 𝑒 = 1
ln 𝑎 × 𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏
ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏
ln 𝑎𝑏 = 𝑏 × ln 𝑎
ln
1
2
𝑎 = ln 𝑎
La droite 𝑦 = 𝑥 − 1 est tangente à ln(𝑥)
ln 𝑒 𝑥 = 𝑥
Exponentielle Logarithme
Exercice
Etude de fonctions
Pour les équations, inéquations mixant toutes ces fonctions  étude de fonctions
Etapes
◦
◦
◦
◦
Domaine de définition et Continuité
Dérivabilité
Signe de la dérivée, tableau de variations
Limite et tendances
Domaine de définition - continuité
Domaine de définition de 𝑓 𝑥 ∶ 𝐷𝑓 = ensemble des x où f est calculable
Polynôme : 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝐷𝑓 = ℜ tout réel et continue sur son domaine de définition
Fraction rationnelle ∶ 𝑓 𝑥 =
𝐷𝑓 = ℜ −
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
où 𝑝(𝑥) et 𝑞(𝑥) sont des polynômes
𝑥 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑞 𝑥 = 0
Fonction racine : 𝑓 𝑥 =
𝐷𝑓 = 𝑥 > 0
𝑓(𝑥) continue sur 𝐷𝑓
𝑥
𝑓(𝑥) continue sur 𝐷𝑓
Exponentielle : 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝐷𝑓 = ℜ et 𝑓 𝑥 est continue sur 𝐷𝑓
Logarithme : 𝑓 𝑥 = ln 𝑥
𝐷𝑓 = ℜ et 𝑓(𝑥) est continue sur 𝐷𝑓
Dérivabilité
Soit 𝑓(𝑥) une fonction définie sur [𝑎, 𝑏]
Taux d’accroissement de 𝑓(𝑥) entre 𝑎 et 𝑏 est
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
Taux d’accroissement instantanée en 𝒂 :
◦ Limite de l’accroissement entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ quand ℎ devient petit :
𝑓 𝑎+ℎ −𝑓 𝑎
ℎ
◦ C’est la pente de la tangente à la courbe de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎
Dérivé de 𝒇(𝒙) en 𝒙 : c’est la limite de
Elle est noté 𝒇’ 𝒙
Tangente à 𝒇(𝒙) en 𝒙 = 𝒂 :
𝐷 ∶ 𝑦 = 𝑓’ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓 𝑎
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥
ℎ
quand ℎ est petit
Dérivée usuelles
𝑓 𝑥 = …
𝑓‘ 𝑥 = …
𝒉 𝑥 = …
𝒉‘ 𝑥 = …
𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑒
0
𝐶 × 𝑓(𝑥) où 𝐶 𝑓𝑖𝑥é
𝐶 × 𝑓(𝑥)
𝑥
1
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑥 𝑎 𝑜ù 𝑎 ≠ 1
1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≠ 0
𝑥
𝑎𝑥 𝑎−1
1
− 2
𝑥
𝑓 𝑥 × 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)2
𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≥ 0
1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0
2× 𝑥
𝑒𝑥
𝑒𝑥
ln 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0
1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0
𝑥
𝑓 𝑔 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 × g′ 𝑓 𝑥
𝑒 𝑓(𝑥)
ln 𝑓 𝑥
𝑓(𝑥)𝑎 𝑜ù 𝑎 ≠ 1
𝑓 𝑥
𝑓′(𝑥)𝑒 𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0
𝑓(𝑥)
𝑎 × 𝑓′ 𝑥 × 𝑓 𝑥
1
2× 𝑓 𝑥
𝑎−1
𝑜ù 𝑓(𝑥) > 0
Sens de variation
Etude de signe de 𝒇’(𝒙) sur [𝒂, 𝒃]
Si 𝑓’ 𝑥 > 0 alors 𝑓(𝑥) est croissante sur [𝑎, 𝑏]
Si 𝑓’ 𝑥 < 0 alors 𝑓(𝑥) est décroissante sur [𝑎, 𝑏]
Si 𝑓’ 𝑥 = 0 alors 𝑓(𝑥) est consante sur [𝑎, 𝑏]
Tableau de variations
𝑥
𝑥0
𝑓‘ 𝑥
+
0
−
𝑓 𝑥
𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑀𝐴𝑋
𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
Solution équation & inéquation
◦ La résolution de 𝑓(𝑥) = 𝑘 se fait pour chaque colonne.
Chaque colonne a 1 unique ou aucune solution car 𝑓(𝑥) est monotone
◦ La résolution de 𝑓(𝑥) > 𝑘 se fait sur chaque colonne en étudiant 𝑓(𝑥) = 𝑘
Extremum
◦ Le tableau de variation montre les valeurs extrêmes que peut prendre 𝑓(𝑥)
Sens de variation
𝑥
0
ln ′(𝑥) = 1/𝑥
+
ln(𝑥)
𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑥
𝑒𝑥
′
= 𝑒𝑥
𝑒𝑥
−∞
+∞
+
𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒