Transcript devoir surveillé n˚03 - le site de la MPSI du lycée Rabelais

MPSI du lyc´
ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
samedi 15 novembre 2014
´ N˚03
DEVOIR SURVEILLE
dur´
ee de l’´
epreuve 4 heures
LISEZ-MOI !
´
Equations
diff´erentielles lin´eaires au programme de ce devoir ! Cette partie du cours est
tr`es m´ethodique, j’attends de vous une r´edaction soign´ee (rigueur et concision !) N’oubliez
pas que le concpteur du sujet est ton AMI... PAS LE CORRECTEUR !
Comme d’habitude, prenez 10 minutes au d´ebut de l’´epreuve pour regarder l’ensemble du
sujet et rep´erer les parties que vous connaissez bien, ou au contraire les parties qui vous
semblent plus difficiles.
et d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire !
´
ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE
ET BAREME
APPROXIMATIF
`
´
PROBLEME
1 : Equations
d’Euler
´
Mots-cl´es : Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2, `a coefficients constants, `a coefficients continus, changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 8 pt
`
´
PROBLEME
2 : Equations
lin´
eaires du premier ordre avec param`
etre
´
Mots-cl´es : Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1, fonction d´efinie `a l’aide d’une
int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 8 pt
EXERCICE 1 : Compositions d’applications
Mots-cl´es : injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 4 pt
Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite.
1
`
´
PROBLEME
1 : Equations
d’Euler
Dans ce probl`eme on cherche les solutions – `a valeurs r´eelles– des ´equations diff´erentielles
lin´eaires du deuxi`eme ordre `a coefficients continus de la forme
t2 y ′′ (t) + at y ′(t) + b y = c(t)
o`
u (a, b) ∈ R2 .
´
Partie I. Etude
d’un exemple
Dans cette partie, on r´esout sur I = R+⋆ l’´equation
t2 y ′′ (t) + 3t y ′(t) − 3y(t) = t + 1
(E1 )
1. On effectue le changement de variable x = ln(t), et on note z(ln t) = y(t).
a. Montrez que y est solution de (E1 ) sur R+⋆ si et seulement si z est solution sur R de
l’´equation
z ′′ (x) + 2z ′ (x) − 3z(x) = ex + 1
(E2 )
b. R´esolvez (E2 ) sur R.
2. D´eduisez-en l’ensemble des solutions de (E1 ) sur I = R+⋆ .
Partie II. R´
esolution de l’´
equation homog`
ene associ´
ee
Soit (a, b) ∈ R2 . Dans cette partie, on r´esout l’´equation homog`ene
t2 y ′′(t) + at y ′(t) + b y(t) = 0
1.
On effectue le changement de variable x = ln(t), et on note y(t) = z(ln t), comme
pr´ec´edemment. Montrez que y est solution sur R+⋆ de (H1 ) si et seulement si z est
solution sur R de l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene d’ordre 2,
z ′′ (x) + (a − 1)z ′ (x) + bz(x) = 0
2.
(H1 )
(H2 )
R´esolvez (H2 ) en distinguant trois cas.
1−a
1 q
Note : pour all´eger les notations, vous noterez α =
4b − (a − 1)2 .
et β =
2
2
3. On suppose que a = −5 et b = 4.
a. Achevez la r´esolution sur I = R+⋆ de (H1 ) en ce cas.
2 ′′
t y (t) − 5t y ′ (t) + 4 y(t) = 0
b. D´eterminez la solution du probl`eme de Cauchy
.
y(1) = 1 et y ′ (1) = 0
Partie III. R´
esolution d’une ´
equation fonctionnelle
On d´etermine l’ensemble des fonctions f : R+⋆ → R de classe C 1 sur R+⋆ v´erifiant
pour tout t > 0,
1.
f ′ (t) = f (1/t)
(F1 )
Soit f : R+⋆ → R une fonction de classe C 1 v´erifiant (F1 ). Montrez que f est de classe C 2
sur R+⋆ .
2
2.
3.
V´erifiez que f est solution sur R+⋆ d’une ´equation diff´erentielle d’Euler, not´ee (F2 )
Montrez que les solutions de (F2 ) sur R+⋆ sont les fonctions d´efinies sur R+⋆ par
!
!#
"
√
√
√
3
3
y(t) = t C1 cos
ln(t) + C2 sin
ln(t)
2
2
4.
D´eduisez-en l’ensemble des solutions de (F1 ).
`
´
PROBLEME
2 : Equations
lin´
eaires du premier ordre avec param`
etre
Soit n ∈ N⋆ . On consid`ere l’´equation diff´erentielle :
1
xy ′ + ny =
1 + x2
(En )
Partie I. R´
esolution de (En )
1.
2.
a.
b.
c.
3.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
R´esolvez sur I =]0, +∞[ l’´equation homog`ene not´ee (Hn ) associ´ee `a (En ).
Trois exemples
Achevez la r´esolution sur I (vers R) de l’´equation (E1 ).
Achevez la r´esolution sur I (vers R) de l’´equation (E2 ).
Achevez la r´esolution sur I (vers R) de l’´equation (E3 ).
Pour x > 0, on pose
Z x n−1
t
dt
φn (x) =
2
0 1+t
Exprimez la solution g´en´erale de (En ) sur I `a l’aide de la fonction φn .
Partie II. Existence et unicit´
e de la solution d’un probl`
eme de Dirichlet
1
1
En remarquant que pour tout r´eel t ∈ [0, x],
≤
≤ 1, donnez un encadrement
2
1+x
1 + t2
φn (x)
en 0.
de φn (x) puis la limite de :
xn
D´eduisez-en que l’´equation (En ) admet sur I une solution unique, fn , poss´edant une limite
finie en 0+ . Pr´ecisez cette limite.
On prolonge fn par continuit´e en 0. De l’encadrement de fn (x) sur [0, +∞[, d´eduisez que
fn est d´erivable en 0. Pr´ecisez fn′ (0).
´
Partie III. Etude
de la fonction fn
En utilisant l’´equation diff´erentielle (En ), d´eterminez le sens de variation de fn sur [0, +∞[
D´eduisez-en que fn a une limite finie ℓ en +∞.
On suppose que ℓ > 0 et on consid`ere la fonction gn d´efinie sur ]0, +∞[ par
nℓ
ln(x).
gn (x) = fn (x) +
2
D´eterminez les limites en +∞ de gn (x) et de xgn′ (x). Trouvez une contradiction et
d´eduisez-en la valeur de ℓ.
Donnez l’allure de la repr´esentation graphique de la fonction fn .
3
EXERCICE 1 : Compositions d’applications
Partie I. Questions de cours
1.
2.
3.
4.
Soit f : E → F, g : F → G deux applications
Montrez que si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
Montrez que si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
Montrez que si g ◦ f est injective, alors f est injective.
Montrez que si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
Partie II. Applications idempotentes
1.
Soit f : E → E une application telle que f ◦ f = f
a. Montrez que f est injective si et seulement si f = idE .
b. Montrez que f est surjective si et seulement si f = idE .
2.
Soit f : E → E une application telle que f ◦ f ◦ f = f
a. Montrez que f est injective si et seulement si f est bijective.
b. Montrez que f est surjective si et seulement si f est bijective.
Fin du sujet
4