Transcript Correction du dm13 Exercice 1 (no 129 p 280) 1. Déterminer l

Correction du dm13
Donc P et Q ne sont pas parall`eles.
P et Q sont s´ecants.
Exercice 1 (no 129 p 280)
1. D´eterminer l’intersection du plan P d’´equation 4x + 2y −
3z + 1 = 0 et de la droite d de repr´esentation param´etrique


 x = 4 + 4t
y = 1 + 5t
t ∈ R . Soit M (x; y; z) un point de l’espace.


z = 1−t
M ∈ P ∩ d ssi il existe t ∈ R tel que
(b) D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite
d’intersection
de ces deux
( plans.
(
x = −y − z − 3
x+y+z+3 = 0
,
(−y − z − 3) − y + 2z + 2 = 0
x − y + 2z + 2 = 0
(
(
x = −y − (2y + 1) − 3
x = −y − z − 3
,
donc
,
z = 2y + 1
−2y + z − 1 = 0
(
x = −3y − 4
.
z = 2y + 1
4(4 + 4t) + 2(1 + 5t) − 3(1 − t) + 1 = 0
16t + 10t + 3t + 16 + 2 − 3 + 1 = 0
En
 posant y = k, une repr´esentation param´etrique de ∆ est

 x = −4 − 3k
y=k k∈R .


z = 1 + 2k
29t + 16 = 0
t = −
16
29
16
Comme il n’y a qu’une solution (t = − ), on en d´eduit que
29
l’intersection de P et d est r´eduite `a un point. d et P sont
16
s´ecants, ils se coupent au point A de param`etre t = − .
29
En rempla¸cant dans l’´equation param´etrique,
16
52
x=4−4×
=
29
29
51
16
=−
y =1−5×
29
29
16
45
z =1+
= .
29
29
52 51 45
d et P se coupent en A
;− ;
.
29 29 29
Exercice 2 (Sujet A p 287)
1. Vrai.
−→
D’apr`es la formule du projet´e orthogonal (on projette AC sur la
droite (AI)),
−→ −
→ −
→ −
−
→
AC · AI = AI · AB = AI × AB = 0, 5 × 1 = 0, 5.
−
−
→ −
→ −−
→ −→
2. Faux. AB · IJ = AB · IB = 1 × 0, 5 = 0, 5.
π
1
AB × IC × cos = 1 × IC × = 0, 5 × IC.
3
2
Il est clair que IC 6= 1 (IC > 1, on peut le calculer via le thm
de Pythagore dans IBC).
−−
→ −
→
π
Donc AB · IJ 6= AB × IC × cos .
3
2. Soient P et Q les plans d’´equations respectives x + y + z + 3 = 0
et x − y + 2z + 2 = 0.
3. Vrai.
Toujours d’apr`es la formule du projet´e (le projet´e orthogonal de
J sur (AB) est B car (BJ) ⊥ (AB)).
−
−→ −
→ −
−→ −→
AB · IJ = AB · IB.
−−
→ −→ −−
→ −→
De mˆeme (projet´e orthogonal), AB · IC = AB · IB.
(a) Justifier que P et Q sont s´ecants.


 
1
1
→  −1  est normal `a Q.
−
→  1  est normal `
a P et −
n
n

2
1 
2
−1 −
1
→ et −
→ ne sont pas colin´eaires.
,n
n
Comme 6=
1
2
1
1
1
4. Vrai (projet´e, voir 1.)
1
5. Une ´equation du plan (EIJ) est 6x − 7y + 8z − 3 = 0 ?
Il est clair que c’est bien l’´equation d’un plan.
E(0; 0; 1) et 6 × −7 × 0 + 8 × 1 − 3 = 5 6= 0.
Donc les coordonn´ees du point E ne v´erifient pas cette ´equation
de plan.
Faux.

−4
→
−

Vrai : le vecteur n′  1  est normal a
` (F IJ).
2

1
9. Le volume d t´etra`edre EF IJ est .
6
1
V olume(tetraedre) = Aire(base) × hauteur.
3
On prend comme base (EF I), qui est le plan (ABF E).
La hauteur est alors 1 : distance du point J au plan (ABF E),
J se projette orthogonalement sur le milieu de [F B].
1
1
1
Aire(EF I) = base × hauteur = × 1 × 1 = .
2
2
2
1
1 1
1
Donc V ol(EF IJ) = Aire(EF I) × hauteur = × × 1 = .
3
3 2
6
1
Vrai : V ol(EF IJ) = .
6
6. Une ´equation de (EF I) est x = 0 ?
F (1; 0; 1), donc xF = 1 6= 0. Faux.
7. Le plan P d’´equation 4x − 3y + 2z − 1 = 0 est parall`ele `a (EIJ) ?


4


→
−
n  −3  est normal au plan P .
2
E(0; 0; 1), I(0, 5; 0; 0), et J(1; 1; 0, 5).






1
0, 5
xI − xE
−→ 
−→ 


 −→ 
EI  yI − yE , EI  0 . De mˆeme EJ  1 .
−0, 5
−1
zI − zE
−→
→
−
On a n · EI = 4 × 0, 5 + 0 − 2 × 1 = 0.
→
−
n · EJ = 4 − 3 − 2 × 0, 5 = 0.
→
Donc −
n est orthogonal `
a deux vecteurs non colin´eaires du plan
(EIJ).
→
Donc −
n est un vecteur normal `
a (EIJ) et `a P .
Vrai : (EIJ)//(P ).
H
b
b
E
b
b
F
b

−4
→
−

8. Le vecteur n′  1  est normal `
a (F IJ) ?
2




0
−0, 5
−→ 
−→ 


F I  0 , et F J  1 .

D
b
b
−0, 5
−1
−′ −→
→
−′ −→
→
On a n · F I = 0, et n · F J = 0.
Mˆeme raisonnement qu’`a la question pr´ec´edente.
2
A
b
I
b
b
G
B
J
C