Transcript Fonctions Booléennes primaires

A. Objectifs de la séquence:
à l'issue de la séquence, il faut être capable de:
•Identifier sur un schéma structurel les portes
logiques primaires et en déduire les différentes
équations booléennes liées aux grandeurs d’entrées.
•Etablir , à partir des chronogrammes relatifs aux
grandeurs d’entrées les chronogrammes relatifs aux
grandeurs de sorties.
B) ETUDE DE LA FONCTION SECONDAIRE CADENCEUR
1) Schéma structurel
CLK
S3
VCC
&
4.7K
Manu
B
&
VCC
4.7K
Mode
&
A
S1
S2
C) ELARGISSEMENT DE L’ETUDE
1) RAPPEL VARIABLE BINAIRE
•On nomme variable binaire tout phénomène qui ne peut prendre que 2 états:
Par convention on représente l’un des états d’une variable binaire par le
chiffre « 1 » alors que l’état opposé (ou complémentaire) est symbolisé
par le chiffre « 0 »
•En logique positive
Le « 1 »
correspond à la présence d’information
Le « 0 »
correspond à l’absence d’information
•Du point de vue des contacts on choisit habituellement:
L’état « 1 » lorsqu’il y a action sur le contact
L’état « 0 » lorsqu’il n’y a pas action sur le contact
• pas d’action sur a  a=0
a est au repos la lampe est éteinte L=0
L
a
L
•Action sur a  a=1
a est actionné la lampe s’allume L=1
aa0
•Pas d’action sur
au repos la lampe est allumée L=1
•Action sur
a
a
a
L
a  a 1
a
est actionné la lampe est éteinte L=0
L
2) OPERATEURS LOGIQUES
2.1) Fonction ‘NON’
On associe à une variable binaire quelconque a son complément
si a=1  a  0
si a=0  a  1
Table de vérité
Symbolisation:
a
1
Equation logique
Sa
S
0
1
1
0
2.2) Fonction ‘ET’
On désire qu’une lampe s’allume lors de
l’action simultanée sur 2 contacts a et b
L
Schéma électrique
a
b
Symbolisation
Table de vérité
&
Propriétés
X.X
X.1
X. X
X.0
=X
=X
=0
=0
a
b
s
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Equation logique:
S=a.b
2.3) Fonction ‘OU’
On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a
soit par action sur un contact b soit par action simultanée sur les 2
contacts.
L
Schéma électrique
a
b
Symbolisation:
Table de vérité
a
b
s
0
0
0
0
1
1
Propriétés
1
0
1
X+X=X
X+1 =1
X+ X =1
X+0 =X
1
1
1
>1
Equation logique
S=a+b
2.4) Fonction ‘OU’ exclusif
On désire qu’une lampe soit allumée soit par action sur un contact a
soit par action sur un contact b mais pas lors de l’action simultanée
des 2 contacts.
L
a
Schéma électrique
b
b
a
Symbolisation:
Table de vérité
=1
a
b
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Equation logique
S=a b
2.5) Fonction ‘NAND’
Schéma électrique
L
a
b
Symbolisation:
Table de vérité
&
Equation logique
s  a.b  a  b
a
b
S
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
2.6) Fonction ‘NOR’
Schéma électrique
L
a
b
Symbolisation:
Table de vérité
>1
Equation logique
S  a  b  a.b
a
b
S
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
3) Exercices
a) REALISATION d’une NON à partir d’une NAND
b) REALISER UN ET à partir d’une NAND
c) REALISER UN OU à partir d’une NAND
d) REALISER une NON à partir d’une
NOR
à partir d’une
NOR
e) REALISER une ET
f) REALISER une OU
à partir d’une
NOR
4)Autres propriétés de l’algèbre de BOOLE
Redondance:
Distributivité:
X  X.Y  X  Y
a.(b+c)= a.b +a.c
Relation de DE MORGAN
Exemples
S= a.b. c. d 
S= a.b  a.b. c 
S= a.b  b. c =
S= c.b  a  c 
a.b  a  b
D) RETOUR A L’OBJET TECHNIQUE ETUDIE
CLK
S3
VCC
&
4.7K
Manu
B
&
VCC
4.7K
Mode
Compléter les chronogrammes ci-dessous:
Automatique
Manuel
&
A
S1
S2
E) EXERCICES
1) EXERCICE 1
A
A
B
B
C
C
Sortie
Sortie
t1
Que se passe-t-il au temps t1?.
> 1
2) EXERCICE N°2
A
B
1
&
x=....
C
D
&
>1
1
 Remplacez la porte OU par une porte ET et les portes ET par des portes
OU.Ecrivez ensuite la nouvelle expression de sortie.
 A l'aide de l'expression de x donnée ci-dessus, Trouver la valeur de sortie du
circuit pour les conditions
A=0, B=1, C=1 et D=0
F) SCHEMA LOGIQUE:
1) GENERALITES
Un schéma logique est la représentation graphique de l'équation logique.
On distingue 3 types de schémas logiques (Logigrammes)
Uniquement avec des opérateurs NON, ET,OU
Uniquement des opérateurs NAND
Uniquement des opérateurs NOR
2) Avec des opérateurs de type ET, OU, NON
Pour transposer une équation en schéma logique avec des opérateurs il faut:
Déterminer le nombre d'opérateurs ET .
Pour cela, il suffit de compter le nombre de groupes de produits logiques
et de déduire le nombres d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.
Déterminer le nombre d'opérateurs OU.
Pour cela, il faut compter le nombre de groupes de sommes logiques
et déduire le nombre d'entrées nécessaires sur chaque opérateur.
Relier les différents opérateurs entre eux.
Exemple:
Nombre d'opérateurs NON
Nombre d'opérateurs ET
Nombre d'opérateurs OU
S  a.b.c  a.b.c  a.b.c
3
(3 groupes de produits logiques)
ces opérateurs doivent posséder 3 entrées.
1 (1 somme logique)
cet opérateur doit posséder 3 entrées.
3) Avec des portes NON ET uniquement
S= a.b.c  a.c.d
4) Avec portes NON OU uniquement
S= a.b.c  a.c.d
G) TABLEAU DE KARNAUGH
Ce tableau reprend les indications de la table de vérité pour les mettre sous une autre forme.
Le nombre de cases est égale au nombre de lignes de la table de vérité.
Chaque ligne et chaque colonne correspond à un état d'une ou plusieurs variables
d'entrées.
A
Exemple:Variables d'entrées A et B
B
0
0
1
11
10
1
Exemple:Variables d'entrées A et B et C
AB
C 00
0
1
01
Remarque:Chaque ligne et chaque colonne est numérotée avec l'état que
peuvent prendre les variables d'entrées.
Attention:
Entre deux cases adjacentes,seule une variable d'entrée peut changer d'état
AB
C D 00 01
00 (a)
11
10
01
11
10
exemple:
Soit 4 variables A,B,C,D
la case (a) correspond à A,B,C,D=0
la case (b) correspond à A,B,C,D=1
la case (c) correspond à A,C=1 et B,D=0
(b)
(c)
G-1) TRANSPOSITION DE LA TABLE DE VERITE DANS LE TABLEAU DE KARNAUGH
soit la table de vérité suivante:
C
B
A
S
(a)
0
0
0
0
(b)
0
0
1
0
(c)
0
1
1
1
(d)
0
1
0
0
(e)
1
1
0
1
(f)
1
1
1
1
(g)
1
0
1
1
(h)
1
0
0
0
Le tableau de karnaugh qui lui correspond,possède huit cases.
AB
C 00
0 0
1
0
01
0
1
11
10
1
0
1
1
G-2) SIMPLIFICATION DES EQUATIONS
1. Regroupement des cases
Pour simplifier l'équation,il suffit de regrouper les cases qui possèdent le
même état de la variable de sortie dans les conditions suivantes:
Les cases regroupées doivent être adjacentes .
Le regroupement des cases se fait par puissance de 2 (2,4,8,16,32....)
les cases possédant le même état de la variable de sortie doivent être utilisées.
Le regroupement doit être le plus grand possible.
Une case peut très bien appartenir à plusieurs regroupements.
AB
C D 00 01
00 (a)
11
10
01
11
10
(b)
(c)
Exemple du tableau de KARNAUGH précédent:
AB
C 00
0 0
1
0
01
0
1
11
10
1
0
1
1
A.B
1 regroupement
AB
C 00
0 0
1
0
01
0
1
11
10
1
0
1
1
B.C
2 regroupement
AB
C 00
0 0
1
0
01
0
1
11
10
1
0
1
1
A.C
3 regroupement
2) Equation de chaque regroupement.
Chaque regroupement donne le produit logique des variables d'entrée qui n'ont pas
changées d'état. L'ensemble de ces regroupements est une somme logique
Regroupement de l'état 1 de la variable de sortie S
S=...............+................+................
3. Cas particuliers
Lors d'un tableau à n variables, si les 2n cas ne sont pas tous décrits,
il subsistera alors des cas que l'on qualifiera d'indifférents .
Ils seront symbolisés par la variable x dans le tableau de Karnaugh on pourra selon
les besoins les remplacer individuellement par des 1 ou des 0.
H) EXERCICE:REALISATION D'UN DECODEUR BCD→7SEGMENT
a
CODE
BCD
AFFICHEUR
7 SEG
a
A
B
C
D
TRANSCODAGE
b
c
d
e
f
g
f
g
e
b
c
d
a
CODE
BCD
AFFICHEUR
7 SEG
a
A
B
TRANSCODAGE
C
D
D C BA
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
NB décimal
4
b
c
d
e
f
g
f
g
e
c
d
a b c de f g
0
1
2
3
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
En utilisant KARNAUGH pour chaque segment, à commander,trouver le
logigramme correspondant pour chaque segment. Le réaliser à l'aide de
portes NAND à 2 entrées.
b
AB
C D 00 01
00
11
AB
C D 00 01
00
10
11
AB
C D 00 01
00
10
01
01
01
11
11
11
10
10
10
11
c
AB
C D 00 01
00
10
11
AB
C D 00 01
00
10
01
01
01
11
11
11
10
10
10
e
d
AB
C D 00 01
00
11
10
b
a
AB
C D 00 01
00
11
AB
C D 00 01
00 0 2
10
11
3
10
1
01
01 8
x
x
9
11
11 x
x
x
x
10
10 4
g
6
7
5
11
10
f