SIMPLIFICATION DES EQUATIONS LOGIQUES

Les Tableaux de KARNAUGH

1 - Définition

sommaire

2 - Représentations des variables

3 - Applications

1) Définition

La méthode de la table de Karnaugh permet d ’écrire les solutions d ’une équation logique et de la simplifier.

Toutes les combinaisons des variables sont représentées par une case:

pour n variables on a un tableau de 2 n cases

2) Représentation

Représentation d ’une seule variable Une variable d ’entrée (a) peut prendre deux valeurs 0 ou 1. La variable de sortie (S) dépend uniquement de cette variable Le tableau de Karnaugh sera composé de deux cases:

Valeur de la case

S

a=0 a=1 a a

exemple: Représentation d ’une seule variable

a S Équation: S = a

S

a=0 a=1 0 1

Représentation de deux variables Pour deux variables d ’entrée on obtient 4 combinaisons possibles soit 4 cases : S

b=0 a=0 a=1 a .b

a.b

b=1 a .b

a .b

Représentation de deux variables exemple:

Rechercher l ’équation de S

S

Équation: S = a.b + a.b

b=0 b=1 a=0 a=1 0 1 1 0

Représentation de trois variables Pour trois variables d ’entrée on obtient 8 combinaisons possibles soit 8 cases :

a b La disposition des cases est telle qu ’une seule variable change lors du passage d ’une case à l ’autre.

c Code binaire réfléchi (ou code Gray)

S

0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

Représentation de trois variables

c 0 0 1 0 0 1 1 1

exemple:

Remplir le tableau de karnaugh à partir de la table de vérité et rechercher l ’équation de S. a b b 0 1 0 0 1 1 0 1 a 0 1 0 1 0 1 1 0 0 S 0 0 1 1 1 1 1 c

0 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 1 0 1 1 1 Équation : S = a.b c + a.b c + a b c + a b c + a b c

3) Simplification des équations

La méthode consiste à réunir en encerclant les cases adjacentes qui sont solutions de la variable de sortie.

Les cases se regroupent par puissances de deux (2, 4, …).

L ’équation de la « patate » ainsi formée sera réduite aux variables qui n ’ont pas évolué.

c d S

00 01 11 10

S = b c + b c

00 0 0 1 1

EXEMPLE a b

01 1 1 0 0 11 1 1 0 0

b c b c

10 0 0 1 1

LES ETATS INDIFFERENTS

Présence d’états indifférents

Quand certaines combinaisons des variables sont

sans effet

sur la valeur de la fonction de sortie, on dit que ce sont des

états indifférents

.

Cela peut être aussi des combinaisons impossibles physiquement (capteur haut et bas sur un store par exemple).

On note ces états par

une croix

dans le tableau de Karnaugh et on les utilise

partiellement

ou

totalement

pour simplifier la fonction de sortie.

Attention

comme il est possible d’obtenir l’équation simplifiée soit à partir du regroupement des 1 ou des 0, ces deux formes ne sont plus complémentaires car certains états indifférents figurent implicitement dans les deux formes.

EXEMPLE c d

00 01 11 10 00 1 X X 0

a b

01 1 1 0 0 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1

Solution sans tenir compte des états indéterminés S = a b + a c d + a b c c d

00 01 11 10 00 1 X X 0 01 1 1 0 0 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1

Solution en tenant compte des états indéterminés S = a b + a c Voir aussi le chapitre 11 page 98 (logique séquentielle)

FIN Bibliographie: Automatique et informatique industrielle H. Ney Jean-Paul SERBONNET Lycée du Val de Saône 01606 Trévoux