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Introduction à la logique
Introduction aux fonctions
logiques
Systèmes binaires
¤ Deux états fondamentaux et distincts;
¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
Par convention:
¤ Un état est représenté par « 0 »;
¤ L’autre est représenté par « 1 ».
2
La logique Booléenne
En 1847, George Boole invente une
algèbre pour traiter les variables
binaires.
¤ Il écrira « The Mathematical Analysis
of Logic », Cambridge,
Il définit 3 opérateurs de base, ainsi
qu’une foule de règles et de
postulats.
3
Types de représentation
Les fonctions logiques peuvent être représentées
de plusieurs façons:
¤
¤
¤
¤
Équations logiques
Tables de vérités
Logigrammes
Diagrammes échelle (Ladder)
Ces représentations seront introduites avec les
fonctions de base...
4
Fonctions logiques
de base :
- NON
- ET
- OU
Fonction logique NON
En anglais: NOT
Représentation:
¤F=A
ou
F = /A
T able de vérité
Entrée
Sortie
A
F
0
1
1
0
A
F
Symbole graphique
6
Fonction logique ET
En anglais: AND
Représentation:
¤F=A*B
T able de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A
F
B
Symbole graphique
7
Fonction logique OU
En anglais: OR
Représentation:
¤F=A+B
Table de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
A
F
B
Symbole graphique
8
Autres fonctions
logiques :
- NAND
Portes universelles
- NOR
- EXOR
- ID (EXNOR)
- ...
Fonction logique NON-ET
En anglais: NAND
Représentation:
¤F=A*B
Table de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
F
B
Symbole graphique
10
Fonction logique NON-OU
En anglais: NOR
Représentation:
¤F=A+B
Table de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
A
F
B
Symbole graphique
11
Portes universelles
Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
de générer toutes les fonctions booléennes.
A
Ex. Avec NOR
NON
/(A+A) = /A
A+B
B
ET
/(/A +/B) = //A * //B = A*B
OU
/(/(A +B)) = A +B
12
Portes universelles
Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
de générer toutes les fonctions booléennes.
B
A
13
Fonction OU-EXCLUSIF
En anglais: EXOR
Représentation:
¤F=AB
/B*A+B*/A
Table de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
/B*A
A
F
B
B*/A
Symbole graphique
14
Fonction NON OU-EXCLUSIF
En anglais: EXNOR
Représentation:
/B*/A+B*A
¤F=AB
Table de vérité
Entrée
Sortie
B
A
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
/B*/A
A
F
B
B*A
Symbole graphique
15
Fonctions de 2 variables
Il existe 16 fonctions logiques possibles ayant 2
variables.
A
B
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
A
B
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
Fonctions de 2 variables
F0 = 0
F1 = /A./B
F3 = /A
F2 = /A.B
F7=/(AB)
F5= /B
F4 = A./B
F6=AB
A
B
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
A
B
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
17
Réalisations des
fonctions logiques :
- circuit électrique
- relais (automatisme)
- logigramme (carte de
contrôle, circuit
intégré,...)
Fonction logique NON
Interrupteur normalement fermé
A
Lampe
V
Lampe  A
19
Fonction logique ET
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert
en séries.
A
B
Lampe
V
Lampe  A  B
20
Fonction logique OU
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert
en parallèles.
B
A
Lampe
V
Lampe  A  B
21
Fonction logique NON-ET
Utilise deux interrupteurs normalement fermés
en parallèles.
B
A
Lampe
V
Lampe  AB  A  B
22
Fonction logique NON-OU
Utilise deux interrupteurs normalement fermés
en série.
A
B
Lampe
V
Lampe  A  B  AB
23
Fonction OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
A
B
A
B
Lampe
V
Lampe  A  B  AB  AB
24
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
A
B
A
B
Lampe
V
Lampe  A  B  AB  AB
25
Exercice (1)
Il est possible de représenter une fonction logique
en utilisant cette approche.
Ex. F = AB + /C
A
B
C
F
V
26
Exercice (2)
F = (AB + /A./B)(BC+/CD)
A
A
B
B
B
D
C
C
F
V
27
Réalisations des
fonctions logiques :
- circuit électrique
- relais (automatisme)
- logigramme (carte de
contrôle, circuit
intégré,...)
Fonctions logiques utilisant des
relais
En automatisation, on utilise les relais pour
réaliser des fonctions logiques.
Le relais est une composante électromécanique.
A
A
A
Bobine
A
A
A
A
A
Contact
normalement
ouvert
Contact
normalement
fermé
29
Fonction logique NON
Relais avec un contact normalement fermé
Bobine d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
b
V
B
Lampe
B
30
Fonction logique ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
c
V
C
D
Lampe
C
d
V
D
31
Fonction logique OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
parallèles.
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
e
V
E
E
Lampe
F
f
V
F
32
Fonction logique NON-ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
i
I
I
V
Lampe
J
j
V
J
33
Fonction logique NON-OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en
parallèles.
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
g
V
G
H
Lampe
G
h
V
H
34
Fonction OU-EXCLUSIF
Lampe = K  L = /K.L + K./L
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
k
K
V
L
K
Lampe
K
L
l
V
L
35
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Lampe = M  N = M.N + /M./N
Bobines d'entrée
Diagramme en échelle (Ladder)
V++
m
M
V
N
M
Lampe
M
N
n
V
N
36
Réalisation : exercice
Réaliser (avec des circuits électriques et relais) :
- F = ab + c
- F = (ab + /a/b)(bc + /cd)
- F = (a + b +c)(/a + b/c + c)
37
L ’ALGEBRE DE BOOLE
Un ensemble E possède une structure
d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois
de composition interne associatives et
commutatives notées + et * :
 les lois + et * sont distributives l'une par rapport à
l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1
respectivement);
 tout élément de E est idempotent pour chaque loi :
x + x = x et x • x = x
 Tout élément x de E possède un unique élément,
dit complémenté de x, généralement noté
généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu : x +
/x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0.
Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x.
38
L’algèbre Booléenne : lois fond.
+ et * sont deux lois de composition interne :
Fermeture:
¤ Si A et B sont des variables Booléennes, alors
A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.
 Commutativité
¤A+B= B+A
¤ A*B = B*A
39
L’algèbre Booléenne : lois fond.
Associativité
¤ A + (B + C) = (A + B) + C
¤ A * (B * C) = (A * B) * C
Distributivité
¤ ET sur OU: A(B + C) = AB + AC
¤ OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
 2+(3*2)  (2*3) + (2*2)
40
L’algèbre Booléenne
Idempotence
¤A+A = A
¤A*A=A
Complémentarité
¤A+A=1
¤A*A=0
¤ A=A
41
L’algèbre Booléenne
Identités remarquables
¤1+A=1
¤0+A=A
et
et
1*A=A
0*A=0
Distributivité interne (très utile pour la
simplification algébrique des fonctions
booléennes).
¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C)
¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
42
L’algèbre Booléenne
Théorème de De Morgan
(A + B) = A * B
et
A*B=A+B
43
L’algèbre Booléenne : théorèmes
#1
#3
#5
#7
#9
#11
#13
#15
#17
#19
0 A  0
1 A  A
A A  A
AB  B  A
 A  B   C  A  B  C 
A A  0
A  B  C    A  B    A  C 
A  B  C   Z  A  B  C   Z


A  AB  A
A  AB  A  B
#21  A  B  B  C   A  C    A  B   A  C 
#2
#4
#6
#8
#10
#12
#14
#16
#18
#20
#22
1 A  1
0 A  A
A A A
AB  B  A
 A  B   C  A  B  C 
A A  1
A   B  C    A  B  A  C 
A  B  C   Z  A B C  Z
A A  B   A
A  A  B   AB


AB  BC  AC  AB  AC


Le complément d’une expression quelconque s’obtient en
complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.
44
Simplification
Méthode algébrique :
Appliquer les principes de l’algèbre de Boole.
Méthodes graphiques :
Karnaugh
Mahoney
Méthodes programmables :
Utilisation des algorithmes de simplification algébrique.
45
Règles de simplification
Règle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des
termes à l’aide des théorèmes.
ABC + AB/C + A/BCD =
= AB(C + /C) + A/BCD
= AB + A/BCD
= A(B + /BCD)
Distributivité + / *
= A[(B +/B) (B+CD)]
= A[(B+CD)]
Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression
logique.
ABC + /ABC + A/BC + AB/C =
= [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C]
= BC + AC + AB
46
L’algèbre Booléenne : simplification
X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y)
X = X + XY = X(X+Y)
X + /XY= X + Y
X(/X +Y) = XY
XY + /XZ + YZ = XY + /XZ
(X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z)
XY + X/YZ = XY +XZ
(X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z)
…/...
47
L’algèbre Booléenne : expression avec
des fonctions NAND et NOR
Re-écrire l ’expression de la fonction Z en n ’utilisant :
- que des portes NOR, et puis
- que des portes NAND (après simplification).
Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)
48
Représentations d’une fonction
logique
Table de vérité
Equation logique
49
Table de vérité vs logigrammes
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons
trouver l’équation logique et le logigramme (ou
diagramme échelle) correspondant
Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.
50
Table de vérité vs logigrammes
Construction d’une table de vérité
¤
¤
¤
¤
N variables
N+1 colonnes
2^N lignes
Chaque ligne est représentative d’une
combinaison des variables parmi les 2^N
possibles (N colonnes).
51
Table de vérité vs logigrammes
Exercice.
Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À
proximité de chacune de ces portes nous trouvons
un interrupteur à bascule que les gens manipuleront
lorsqu’ils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs
commandent une ampoule qui éclaire le local.
Ainsi, une personne qui entre par la porte “ a ”
manipulera l’interrupteur “ a ” pour allumer
l’ampoule et cette même personne sortant par la
porte “ b ” manipulera l’interrupteur “ b ” pour
éteindre l’ampoule. Lors de l’inauguration du local,
a = 0, b = 0, c = 0, et l’ampoule L est éteinte (L = 0).
52
Formes canoniques des équations
booléennes
1° forme : Somme de produits.
F=ABC + B
2° forme : Produit des sommes.
F = (A+B)(A+C)
3° forme : n’utilise que des NAND
F = ABC * ABC * ABC * ABC
4° forme : n’utilise que des NOR
¤ F = (A+B+C)+(A+B+C)
Ex. Mettre sous la forme 3 l’expression F=ABC+ ABC + ABC + ABC
Ex. Mettre sous la forme 4 l’expression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
53
Table de vérité  Eq. logique
Trouver l’équation de S. ()
Entrées
Sortie
C
B
A
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
54
Exemple
Solution:
Entrées
Sortie
C
B
A
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
¤ On construit l’équation de S
en écrivant tous les termes
donnant S=1.
¤ Ainsi, S = 1:
si C=0 et B=1 et A=0;
 ou si C=0 et B=1 et A=1;
 ou si C=1 et B=0 et A=1;
 ou si C=1 et B=1 et A=0.

55
Exemple
On peut donc écrire:
Entrées
Sortie
C
B
A
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
¤ S = /C.B./A + /C.B.A +
C./B.A + C.B./A
On peut simplifier:
¤ S = /C.B + B./A + C./B.A
Autre solution possible:
¤ S = /C.B + C.(AB)
56
Si nous utilisions des relais...
 S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A
V++
C
B
A
C
B
A
S
57
La simplification des équations
 La simplification est essentielle.
¤ Il faut avoir le circuit le plus simple que possible...
 La simplification peut être un processus long si le
système est complexe.
 Heureusement, il existe des techniques simples pour
simplifier.
58
Méthodes de simplification
 Il est possible d ’obtenir directement une équation sous
sa forme simplifiée en utilisant une méthode de
simplification graphique.
 Méthodes de simplification graphique:
¤ Tables de Karnaugh
¤ Table de Mahoney
59
Principes de base
Représentation de la table de vérité sous forme
graphique.
Nombre de cases = nombre de lignes de la table de
vérité.
¤ Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n = Nombre d ’entrées
Principe de simplification : Deux termes se
simplifient s’ils ne diffèrent que par le fait qu’une
variable est présente dans un terme et son inverse
dans l’autre terme.
A/B + AB = A
On cherche à mettre en évidence les simplifications
possibles (les termes adjacents).
60
Exemple (Karnaugh)
Entrées
C
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
Sortie
A
0
1
0
1
0
1
0
1
TABLE DE VÉRITÉ
S
0
0
1
1
0
1
1
1
Deux termes adjacents par
définition mais non adjacents
sur la table de vérité.
BA
C
00
01
11
10
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
TABLE DE KARNAUGH
Deux termes adjacents par définition
et adjacents sur la table de vérité.
61
Principes de base (suite)
 À partir de la table, on simplifie en groupant des 1
adjacents.
 La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).
 Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
 Former les plus gands groupes possibles (Termes plus
simples).
 Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
62
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 2:
¤ Entrées B et A
¤ 4 cases
B
A
0
1
00
01
10
11
0
1
63
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 3:
¤ Entrées C, B et A
¤ 8 cases
BA
C
00
01
11
10
0
000
001
011
010
1
100
101
111
110
64
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 4:
¤ Entrées D, C, B et A
¤ 16 cases
 BA
DC

Codage !
00
01
11
10
00
0000 0001 0011 0010
01
0100 0101 0111 0110
11
1100 1101 1111 1110
10
1000 1001 1011 1010
65
Rappel : Codes binaires
Code binaire naturel
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Code binaire réfléchi
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Changer
valeur
Symétrie
66
Exemple (Karnaugh)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B
BA
C
00
01
11
10
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
C./B.A
67
/C.B./A+C.B./A=B./A
Principes de base (suite)
Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
¤ La table se referme sur elle même.
BA
DC
00
01
11
10
/C./A
00
1
0
1
1
/D.C./B.A
01
0
1
0
0
11
0
0
0
0
10
1
0
1
1
/C.B
68
Exemple (Mahoney)
A
A
B
0
1
A
B
2
3
A
A
A
B
0
1
5
4
2
3
7
6
B
C
C
69
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 3:
¤ Entrées C, B et A
¤ 8 cases
A
A
A
A
B
0
1
5
4
2
3
7
6
B
C
C
70
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 4:
¤ Entrées D, C, B et A
¤ 16 cases
A
A
A
A
B
0
1
5
4
2
3
7
6
10
11
15
14
8
9
13
12
D
B
B
D
B
C
C
71
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 5:
¤ Entrées E, D, C, B et A
¤ 32 cases
A
A
A
A
A
A
A
A
B
0
1
5
4
20
21
17
16
2
3
7
6
22
23
19
18
10
11
15
14
30
31
27
26
8
9
13
12
28
29
25
24
D
B
B
D
B
C
C
E
C
C
E
72
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 6:
A
A
A
A
A
A
A
A
B
0
1
5
4
20
21
17
16
2
3
7
6
22
23
19
18
10
11
15
14
30
31
27
26
8
9
13
12
28
29
25
24
40
41
45
44
60
61
57
56
42
43
47
46
62
63
59
58
34
35
39
38
54
55
51
50
32
33
37
36
52
53
49
48
D
B
F
B
D
B
B
D
B
F
B
D
B
C
C
E
C
C
E
73
Exemple (Mahoney)
Entrées
Sortie
C
B
A
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
TABLE DE VÉRITÉ
A
A
A
A
B
0
0
1
0
B
1
1
0
1
C
C
TABLE DE MAHONEY74
Exemple (Mahoney)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
A
A
A
A
B
0
0
1
0
B
1
1
0
1
/C.B.A+/C.B./A = /C.B
C./B.A
/C.B./A+C.B./A=B./A
C
C
75
Exercices
1 : Passer de la table de vérité
au tableau de Karnaugh.
Simplifier.
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
F
1
1
0
1
3 : Donner l’expression.
Minimiser l’expression.
2 : Passer du tableau de
Karnaugh à la table de vérité.
Simplifier.
A
BC
0
0
1
0
1
"00"
"01"
11
10
4 : Donner l’expression.
Minimiser l’expression.
A
0
A
1
"00"
1
"01"
1
11
1
BC
10
1
1
1
1
0
0
1
"00"
1
0
"01"
1
0
11
1
1
10
1
1
BC
76
Exercices
5 : Simplifier.
ab
ab
"00"
"01"
11
"00"
10
"00"
1
"00"
"01"
1
"01"
"01"
11
10
1
1
1
cd
cd
11
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
1
10
1
1
1
1
ab
ab
"00"
"01"
"00"
"01"
11
"00"
10
"00"
x
1
"01"
1
1
1
x
1
11
x
1
x
10
x
1
10
1
"01"
1
11
cd
cd
11
10
1
x
1
x
77
Exercices
5 : Simplifier.
/a . b
ab
"00"
"01"
"00"
1
"01"
1
11
/a . b . d
ab
"00"
10
"00"
/b . c
"01"
11
1
"01"
1
11
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
1
10
1
1
1
1
S = /a . b . d + /b . /d + c
S = /a . b + /b . c
"01"
"00"
11
10
x
1
1
a . /b . /c
ab
ab
"01"
c
1
cd
cd
"00"
/b . /d
10
x
"00"
"01"
11
10
/a . d
"00"
/c . d
"01"
1
1
1
1
x
1
cd
cd
11
10
1
/b . d
1
11
x
10
S = /a . d + /c . d = d . (/a . /c)
/a . b
x
1
x
1
x
S = a . /b . /c + /a . b + /b . d = /a . b + /b . (a . /b + d ) 78
Exercices
6 : Simplifier.
a
abc
"000" "001" "011" "010" 110
"00"
x
"01"
1
111
101
1
1
x
x
1
x
1
x
b
c
100
ef
11
x
x
x
x
x
x
x
x
10
x
x
x
x
x
x
x
x
a
abc
"000" "001" "011" "010" 110
111
101
100
"00"
x
x
x
x
x
x
x
x
"01"
x
x
x
x
x
x
x
x
11
1
x
x
10
1
b
c
ef
1
x
x
1
x
x
1
79
Exercices
1 : Concevoir un circuit capable d’additionner deux bits, capable de
générer leur somme S et leur report R.
2 : Concevoir un circuit de commande d’un afficheur 7 segments pour
l’affichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents)
e3 : le poids le plus important
e0 : le poids le plus faible
80
Les états indifférents (don’t care)
Ils sont représentés par des X
En sortie, ils correspondent à des combinaisons
d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été
définie.
¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et
plein.
81
Contrôle de niveau d’un réservoir
h
M
Pompe 1
s
M
Pompe 2
Capteur de niveau haut
h = 1 : plein
Capteur de niveau bas
b = 0 : vide
b
Sélecteur de pompe
s = 0 : Pompe 1
s = 1 : Pompe 2
82
Contrôle de niveau ...
Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;
Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche;
Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la
pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».
83
Contrôle de niveau ...
h
M
Pompe 1
s
M
Pompe 2
Table de vérité:
b
Entrées
Sorties
h
b
s
P1
P2
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
X
X
0
0
1
1
0
1
X
X
0
0
Réservoir vide
Réservoir à 1/2
Réservoir plein
et vide ?!?
Réservoir plein
84
Contrôle de niveau ...
Entrées
Tables de Karnaugh:
00
01
1
0
11
1
s
P1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
X
X
X
X
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
10
0
1
0
X4 X5 0
1
1
3
2
7
06
bs
h
P2 = /b + /h.s
P2
b
bs
h
P1 = /b + /h./s
Sorties
h
0
00
01
11
10
1
1
1
0
0
1
X4
1
3
2
X5 0 7
06
85
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle:
V++
Seul risque:
- si le capteur b est en
panne (b=0) alors que
le réservoir est plein...
Les deux pompes
seront en marche !!!
b
h
s
P2
s
P1
b
h
86
Contrôle de niveau ...
Si on considère les X comme des 0.
bs
h
0
P2 = /b./h + /h.s
1
00
01
11
10
1
1
1
0
0
1
3
2
04
05
07
06
bs
h
00
0
P1 = /b./h + /h./s
01
1
1
0
1
11
10
0
1
0 4 05 0
1
3
2
7
06
87
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle (sécuritaire):
V++
b
h
s
P2
b
h
s
P1
88
Conclusion de l’exemple
Les « X » peuvent êtres utilisés dans des
groupes de 1 pour en augmenter la taille.
¤ Cela implique des équations plus simples;
Du point de vue sécurité, il peut s ’avérer
nécessaire de considérer les « X » comme des
« 0 ».
89
Les états indifférents (don’t care)
En entrée, ils permettent d’écrire les tables de
vérité sous forme plus compacte.
Entrées
Sorties
h
b
s
P1
0
0
0
1
P2
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
X
1
X
1
0
1
X
X
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
Entrées
Sorties
h
0
0
b
0
1
s
X
0
P1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
X
X
0
X
0
P2
1
0
1
X
090
Logique combinatoire
v.s.
Logique séquentielle
Les premières méthodes
d’automatisation pour les
systèmes séquentiels.
91
La logique combinatoire et les
automatismes
La logique combinatoire peut être utilisée pour
étudier les automatismes simples.
L’exemple qui suit montre la marche à suivre...
92
Etapes de la démarche
1
Dénombrer tous les états possibles.
Établir un diagramme des phases.
Établir un diagramme des transitions.
2
Construire la table de vérité du système.
3
Trouver les équations logiques des actionneurs.
93
Plateau tournant
Cycle de fonctionnement:
¤ poussée sur bouton m;
¤ déverrouillage de W;
¤ avance du vérin V, avec
rotation du plateau;
¤ verrouillage de W;
¤ retrait de V, le plateau
restant immobile.
94
Plateau tournant
La méthode utilisée repose
sur le fait qu'en logique
combinatoire, une
combinaison d'entrées
donne une seule
combinaison de sorties.
95
Plateau tournant
Au départ, aucun capteur
n'est actionné, et les deux
vérins sont au repos.
Donc:
¤ m = 0 et a = 0 et b = 0:
¤ W = V = 0.
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
96
Plateau tournant
Puis, en appuyant sur m,
le vérin W est déplacé.
Donc:

m = 1 et a = 0 et b = 0
W = 1 et V = 0
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
97
Plateau tournant
Dès que le capteur a est
actionné, le vérin V
provoque la rotation du
plateau.
?
a = 1 et b = 0 et ce pour
m = 1 ou m=0 (m=X)
W = 1 et V = 1.
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
1
0
1
1
98
Plateau tournant
Si le capteur b = 1, le vérin
W verrouille le plateau.
b = 1 et a = 1 , m = X
W = 0 et V = 1.
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
1
0
1
1
X
1
1
0
1
99
Plateau tournant
Lorsque le capteur a n'est
plus actionné, le vérin V
reprend sa position initiale.
a = 0 et b = 1 , m = X
V = 0 et W = 0
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
1
0
1
1
X
1
1
0
1
X
0
1
0
0
100
Plateau tournant
Table de vérité
0
1
0
1
0
1
m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
1
0
1
1
X
1
1
0
1
X
0
1
0
0
5 lignes représentant 8 états.
101
Diagramme des phases
La méthode utilisée repose sur le fait qu'en
logique combinatoire, une combinaison d'entrées
donne une seule combinaison de sorties.
m appuyé
jusqu'à avoir a





m
a
b
W
V
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
1
0
1
1
X
1
1
0
1
X
0
1
0
0
m
a
b
W
V
1
2
3
4
5
6
1
102
Diagramme des transitions
m appuyé
jusqu'à avoir a
W,V
m
a
b
W
V
Démarche :
-chemin principal
-assurer combinatoire
-chemins supp. (var. en X)
3
110
m a
1
2
3
4
5
6
b
1
7
V
8
101
111
1
2
000
W
100
m
a
W,V
W,V
3
4
110
010
5
011
V
6
001
b
103
Diagramme des transitions
Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison d’entrées.
7
V
8
101
111
1
2
000
W
100
m
a
b
W,V
W,V
3
4
110
010
5
011
V
6
001
2 lignes
confondues de
la table de érité
104
Plateau tournant
7
Tables de Mahoney
1
W
b
b
b
b
a
0
0
0
1
1
a
1
0
2
m
3
5
4
0
1
7
8
101
111
000
0
V
2
W
100
W,V
W,V
3
4
110
010
5
V
011
6
001
W = m./b + a./b
= /b.(m+a)
6
m
105
Plateau tournant
7
Tables de Mahoney
1
V
b
b
b
b
a
0
0
0
0
1
a
1
1
2
m
3
5
4
1
8
101
111
000
0
V
2
W
100
W,V
W,V
3
4
110
010
5
V
011
6
001
V=a
1
7
6
m
106
Plateau tournant - Réalisation
W (Verrouillage) A
V (Rotation)
B
V
W
24V
0V
B
A
W
M
A
V
Schéma de commande
électromécaniquee
107
Méthode de Huffman
Exemple où la résolution combinatoire devient impossible.
Marche (m) et Arrêt (a) d ’un Moteur (C) :
Mise en Marche :
Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1)
Moteur en marche :
Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1)
Mise à l’arrêt :
Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0)
Arret :
Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0)
Huffman
108
Etapes de la démarche
1
2
3
4
Dénombrer tous les états possibles.
Établir un diagramme des phases.
Établir un diagramme des transitions.
Construire la table primitive des états.
Construire la table réduite des états.
Définir des variables secondaires.
Trouver les équations logiques des
actionneurs et des variables secondaires.
109
Dénombrer tous les états
possibles. Établir un diagramme
des phases.
m
a
C
1
2
3
4
1
110
Dénombrer tous les états
possibles. Établir un diagramme
de transitions.
2
ma
C
10
C
1
00
5
11
3
00
4
01
111
Construire la table primitive des
états
Code binaire réfléchi
Etat stable
(1 par ligne)
Etat
transitoire
(montre
l ’évolution
possible
d ’un état
stable vers
un autre)

m
a
C
1
4
X
2
0
3
X
5
2
1
Etat indiff.
C
2
3
4
X
2
1
1
4
5
X
0
X
4
5
2
0
10
1
00
ma
C
5
11
3
00
4
01
112
Construire la table réduite des
états
Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir
aux règles suivantes :
·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être
les mêmes sur les lignes à regrouper.
·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent
être les mêmes ou correspondre à un X.
.Les états sont fusionnés selon la règle :  > 3 > X
113
Construire la table réduite des
états
m
a
C
1
4
X
2
3
X
5
2
3
4
X
2
1
4
5
X
X
4
5
2
0
1
1
0
0
m
a
C
1
4
X
5
2
0
3
4
5
2
1
Deux sorties différentes pour les mêmes entrées.
Introduction d ’une variable secondaire.
114
Construire la table réduite des
états
m
a
x
C
1
4
X
5
2
0
3
4
5
2
1
Introduction d ’une variable secondaire.
115
Trouver les équations : pour C
Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans
chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable
correspondant au numéro d'état de la case
correspondante de la matrice contractée.
m
a
x
m
a
x
0
0
0
1
1
0
0
1
C
1
4
X
5
2
3
4
5
2
0
1
C = (m+x)a
116
Trouver les équations : pour x
Pour remplir la table d’une variable secondaire, il faut
mettre dans chaque case la valeur de la variable
secondaire pour l’état stable correspondant au numéro
d’état de la case correspondante de la matrice contractée.
m
a
x
m
a
x
0
0
0
1
1
0
0
1
C
1
4
X
5
2
3
4
5
2
0
1
x = (m+x) a
117
Exercice : Plateau tournant
(huffmann)
Aucune contrainte pour
l’opérateur.
118
Méthodes intuitives
(fondées sur la
méthode de Huffman)
Dans certains automatismes les variables secondaires
sont les sorties du système.
119
Exemple
•Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G »)
ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé
par trois boutons :
•« m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc
impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent
respectivement à une rotation à gauche et une rotation à
droite;
•« a » qui est le bouton d’arrêt (prioritaire si appuyé en même
temps que « m » et « n »).
120
Exemple
m
n
a
G
D
1
États ayant les
mêmes entrées
2
3
4
2
mna
100
1
5
G
3
6
G
4
1
Gauche et droite
en même temps
(arrêt prioritaire)
000
7
101
1
4
001
8
000
011
D
5
010
D
6
000
121
Exemple
Il faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états.
Ils se différencient grâce à leur sortie.
Les Sorties seront les variables intermédiaires.
Choisissons :
x=G
et
y=D
122
Matrice réduite des états
mna
2
G
100
3
G
000
7
101
1
4
001
8
000
011
D
5
D
6
010
xy
m
n
a
G
000
D
1
4
8
5
X
X
7
2
0 0
6
4
8
5
X
X
X
2
0 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
3
4
X
5
X
X
7
2
1 0
123
Equations de x
xy
x = (m/a + x/n/a) /y
m
n
a
G
1
4
8
5
X
X
7
2
0 0
6
4
8
5
X
X
X
2
0 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
3
4
X
5
X
X
7
2
1 0
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
xy
D
m
n
a
0
0
0
0
X
X
0
1
0
0
0
0
X
X
X
1
X
X
X
X
X
X
X
X
1
0
X
0
X
X
0
1
x = m/a
x = x/n/a
124
Equations de y
xy
y = (n/a + y/m/a) /x
m
n
a
G
1
4
8
5
X
X
7
2
0 0
6
4
8
5
X
X
X
2
0 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
3
4
X
5
X
X
7
2
1 0
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
xy
D
m
n
a
y = n/a
0
0
0
1
X
X
0
0
1
0
0
1
X
X
X
0
X
X
X
X
X
X
X
X
0
0
X
1
X
X
0
0
y = y/m/a
125
Étude simplifiée des
automatismes à cycles
géométriques
126
Distributeur de caissettes
Suite à l’appui sur le
poussoir « m »:
¤ Extension du vérin H pour
pousser la caissette sur le
tapis
¤ Extension du vérin V pour
soulever la caissette 2
pendant la rétraction du
vérin H.
¤ Rétraction du vérin H
¤ Rétraction du vérin V
127
Au départ, capteurs b et d
actionnés et deux vérins
sont au repos.
m
0
a
0
b
1
c
0
d
1
V
0
H
0
128
En appuyant sur “m”,
extension du vérin H.
m
0
1
a
0
0
b
1
1
c
0
0
d
1
1
V
0
0
H
0
1
129
- b = 0.
- Arrivée de H en fin de
course, extension de V
m
0
1
x
x
a
0
0
0
1
b
1
1
0
0
c
0
0
0
0
d
1
1
1
1
V
0
0
0
1
H
0
1
1
1
130
- d = 0.
- Arrivée de V en fin
de course, rentrée de H
m
0
1
x
x
x
x
a
0
0
0
1
1
1
b
1
1
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0
1
d
1
1
1
1
0
0
V
0
0
0
1
1
1
H
0
1
1
1
1
0
131
- a = 0.
- Arrivée de H en fin de
course, rentrée de V
m
0
1
x
x
x
x
x
x
a
0
0
0
1
1
1
0
0
b
1
1
0
0
0
0
0
1
c
0
0
0
0
0
1
1
1
d
1
1
1
1
0
0
0
0
V
0
0
0
1
1
1
1
0
H
0
1
1
1
1
0
0
0
132
- c = 0.
- Fin du cycle
Autres cas impossibles car
Vérins entrés et sortis en
même temps.
m
0
1
x
x
x
x
x
x
x
a
0
0
0
1
1
1
0
0
0
b
1
1
0
0
0
0
0
1
1
c
0
0
0
0
0
1
1
1
0
d
1
1
1
1
0
0
0
0
0
V
0
0
0
1
1
1
1
0
0
H
0
1
1
1
1
0
0
0
0
133
Distributeur de caissettes
/M
H
/C
M
/D
D
D
/D
/D
D
D
/D
0
1
0
0
0
1
1
0
/A
C
0
X
X
0
0
X
X
0
C
0
X
X
X
X
X
X
0
m
0
1
x
x
x
x
x
x
x
a
0
0
0
1
1
1
0
0
0
b
1
1
0
0
0
0
0
1
1
c
0
0
0
0
0
1
1
1
0
d
1
1
1
1
0
0
0
0
0
V
0
0
0
1
1
1
1
0
0
H
0
1
1
1
1
0
0
0
0
A
/C
1
1
/B
X
X
X
B
X
1
1
/B
H = m.d + /b.d+/ca
= d(m+/b)+/ca
134
Distributeur de caissettes
/M
V
/C
M
/D
D
D
/D
/D
D
D
/D
0
0
0
0
0
0
0
0
/A
C
1
X
X
0
0
X
X
1
C
1
X
X
X
X
X
X
1
A
/C
1
1
/B
X
X
X
B
X
1
1
/B
V = a + /b.c
135
Cycle géométrique
Sortie
actionnée
Cycle carré.
Deux
capteurs
actifs
Un capteur actif
(associé au vérin qui
ne bouge pas)
b
c
V
a,c
c
b
a
H,V
H
d
m
d
d
b
a
136
Cycle géométrique
c
V
P
O
H = (m+/b).d + a./c
V = a+c./b
H,V
H
d M
b
N
a
Mise en équation
directement du graphique
ci-contre.
137
Système de perçage
Cycle en L.
a
N
h M
H
H,V H
b
O
c
138
Système de perçage
Variable x:
a
N
h M
H
H,V H
b
O
c
¤ X=1 sur M-N-O;
¤ X=0 sur O-N-M.
X = a + X./b
H = X + /h
V = X.c
139
Système de transfert
Cycle complexe:
a N
O
b
V
V
W
c
M d
P
e
140
Système de transfert
 Variables X,Y,Z:
¤ X = 1 et Y = 0 et Z = 0
a N

Sur M-N
¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 0

O
b
V
¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 1
V

M d
Sur M-O
¤ X = 0 et Y = 1 et Z = 1
W
c
Sur N-M

P
e
Sur O-M
¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 1

Sur M-P
¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 0

Sur P-M
141
Système de transfert
X = c./Z + X.(/c + Y)
Y = a + Y./b
Z = b + Z./e
a N
O
b
V
V
W
c
M d
W = Z.c
V = V.X.(/Y./Z+Y.Z)
P
e
142
Machine à remplir et à boucher
Identifier des cycles
géométriques
143