Transcript TS DROITES ET PLANS PROBLEMES

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1
C
DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
Polynésie Juin 2008.
Dans l’espace rapporté à un repère, on considère les points A(1 ;2 ;3), B(0 ;1 ;4), C(-1 ;-3 ;2), D(4 ;-2 ;5) et le vecteur u (2 ;-1 ;1).
1) .
a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b)
c)
Démontrer que u est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation du plan (ABC).
2)
x = 2 − 2t

Soit ∆ la droite dont une représentation paramétrique est : y = −1 + t ; t ∈ R . Montrer que le point D appartient à ∆ et que
z = 4 − t

cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).
2
Amérique du Sud. Novembre 2007.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal.
1)
On considère le point A (-2 ; 8 ; 4) et le vecteur
u (1 ; 5 ;-1). Déterminer une équation paramétrique de la droite D passant
par A et de vecteur directeur u .
On considère les plans P et L d’équations cartésiennes respectives : x – y – z = 7 et x – 2z = 11. Démontrer que les plans P et L
sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée D’. Montrer que le vecteur
de coordonnées (2 ;1 ;) est un vecteur directeur de D’.
3) Démontrer que les droites D et D’ ne sont pas coplanaires.
4) On considère le point H(-3,3 ;5) et le point H’(3 ;0 ;-4)
a) Vérifier que H appartient à D et que H’ appartient à D’.
b) Démontrer que la droite (HH’) est perpendiculaire aux droites D et D’.
c) Calculer la distance entre les droites D et D’, c'est-à-dire la distance HH’.
2)
5)
3
C
Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que MH'.HH' =126.
Amérique du Nord Mai 2008.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(3 ;0 ;0), B(0 ;6 ;0), C(0 ;0 ;4)
et D(-5 ;0 ;1).
1) .
2)
4
C
a)
b)
.
a)
b)
c)
d)
Vérifier que le vecteur n (4 ;2 ;3) est normal au plan (ABC).
Déterminer une équation du plan (ABC)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ orthogonale au plan (ABC) passant par D.
En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
Calculer la distance du point D au plan (ABC).
Démontrer que le point H appartient à l’ensemble E défini dans la partie A.
Antilles 2007
(Réaliser une figure)
On considère les points A (3 ; 0 ; 6) I (0 ; 0 ; 6) ; on appelle d la droite passant par A et I.
On appelle P le plan d’équation 2y + z – 6 = 0 et Q le plan d’équation y – 2z + 12 =0.
1)
2)
3)
Démontrer que P et Q sont perpendiculaires
Démontrer que l’intersection de P et Q est la droite d
Démontrer que P et Q coupent l’axe (Oy) et déterminer les coordonnées des points B et C, intersections respectives de P et
Q avec l’axe (Oy)
4)
5)
Démontrer qu’une équation du plan t passant par B et de vecteur normal AC est x + 4y + 2z -12 =0
Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan T sont sécants en un
point H dont on déterminera les coordonnées.
Que représente le point H pour le triangle ABC ?
6)
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
L’espace est rapporté à un repère orthonormé.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées :
A (-1 ; 0 ; 2), B (3 ; 2 ; -4), C (1 ; -4 ; 2) et D (5 ; -2 ; 4)
On considère les points I, J et K définis pas :
I milieu de [AB] ;
K milieu de [CD] ;
1
Et J tel que BJ = BC .
4
6
1)
2)
3)
4)
Déterminer les coordonnées de I, J et K.
Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x + 9y + 5z – 12 =0.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK) et (AD) sont sécants en un point L dont
on déterminera les coordonnées.
5)
Déterminer la valeur du réel k tel que AL = k AD
La Réunion 2005
On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face
opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.
Partie A
On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du
triangle BCD.
Partie B
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal. On donne les points A(3 ; 2 ; −1), B(−6 ; 1 ; 1), C(4 ;−3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1).
7
1)
2)
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x −3y +4z −13 = 0.
Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
3)
4)
5)
Calculer le produit scalaire BH.CD
Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?
On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0; 1; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?
Liban 2010
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O, i; j;k) . On note (D) la droite passant par les points A (1 ;-2 ;-1) et B (3 ;-5 ;-2).
1)
x = 1 + 2t

Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est y = −2 − 3t , t ∈ R.
z = −1 − t

2)
x = 2−k

On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique y =1+2k ,k∈R . Montrer que (D) et (D’) ne sont pas
z =k

coplanaires.
3) On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0.
a) Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
b) Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
4) On considère la droite (∆) passant par le point C et de vecteur directeur w (1 ; 1 ;-1).
a) Montrer que les droites (D’) et (∆) sont perpendiculaires.
b) Montrer que le droite (∆) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
Nouvelle Calédonie Mars 2011
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2)
1)
Calculer le produit scalaire AB . AC puis les longueurs AB et AC.
2)
3)
4)
5)
En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAˆC
En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x – y + 2z + 2 = 0.
Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives x + y – 3z + 3 = 0 et x – 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont
x = −2

sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est y = −1 + 3t ; t ∈ R .
z = t

6)
7)
Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Soit S la sphère de centre Ω(1 ; -3 ; 1) et de rayon 3.
a) Donner une équation cartésienne de la sphère S.
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
b) Etudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.
c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère.
9
Polynésie Juin 2010
Dans l’ espace est muni d’un repère orthonormal (O,i; j;k) , on considère : les points A(1 ;1 ;1) et B(3 ;2 ;0) ; le plan (P ) passant par le
point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ; le plan (Q ) d’équation :x – y + 2z + 4=0 ; la sphère ( S ) de centre A et de
rayon AB.
1) Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est : 2x + y – z – 8 = 0
2) Déterminer une équation de la sphère (S)
3)
a) Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S).
b) Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
4) On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C a pour coordonnées (0 ; 2 ;-1).
a) Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.
b) Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q). Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est
x = t

y = 12 − 5t ; avec t ∈R .
z = 4 − 3t

c)
d)
10
Vérifier que A n’appartient pas à la droite ( D ).
On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite ( D ). L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? « Tout point
du plan (R) est équidistant des points B et C ». Justifier votre réponse.
Amérique du Nord Mai 2013.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0) C(2 ; -1 ; -2) et D(7 ; -1 ; 4).
1)
Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2)
Soit ∆ la droite passant par D et de vecteur directeur u (2 ; -1 ; 3).
3)
a) Démontrer que la droite ∆ est orthogonale au plan (ABC).
b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.
d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite ∆ et du plan (ABC).
Soit P1 le plan d’équation x + y + z = 0 et P2 le plan d’équation x + 4y + 2 = 0.
a) Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants.
b)
x = −4 t − 2

Vérifier que la droite d intersection des plans P1 et P2 a pour représentation paramétrique y = t
; t ∈R .
z = 3t + 2

c)
La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
Amérique du Nord Mai 2010
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O, i; j;k) . Les points A, B et C ont pour coordonnées A (1 ;-2 ; 4) B (-2 ;-6 ; 5) C (-4 ; 0 ;-3).
1) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2)
3)
4)
5)
Démontrer que le vecteur n (1 ;-1 ;-1) est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation du plan (ABC).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC)
Déterminer les coordonnées du point O’ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).
6)
On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH = tBC .
a)
Démontrer que t =
BO.BC
BC
b)
12
C
2
En déduire le réel t et les coordonnées du point H.
Nouvelle Calédonie Mars 2011
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2)
1)
Calculer le produit scalaire AB . AC puis les longueurs AB et AC.
2)
3)
4)
5)
En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAˆC
En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x – y + 2z + 2 = 0.
Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives x + y – 3z + 3 = 0 et x – 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont
x = −2

sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est y = −1 + 3t ; t ∈ R .
z = t

Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
6)
13
C
Polynésie Septembre 2003
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. On donne les points A (8 ; 0 ;8), B (10 ;3 ;10) ainsi que la droite d d’équations
x = −5 + 3s

paramétriques : y = 1 + 2s
z = −2s

1)
2)
Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par les points A et B.
Démontrer que d et ∆ sont non coplanaires.
3)
Le plan P est parallèle à d et contient ∆. Montrer que le vecteur n (2 ;-2 ;1) est un vecteur normal à P. Déterminer une
équation cartésienne de P.
Montrer que la distance d’un point quelconque M de P à d est indépendante de M.
Donner un système d’équations paramétriques de la droite d’intersection de P avec le plan (xOy).
4)
5)
14
Polynésie Septembre 2006.
L’espace est muni d’un repère orthonormal. Soit P1 le plan d’équation – 2x + y + z – 6 = 0 et P2 le plan d’équation x – 2y + 4z – 9 = 0.
1) Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.
x = −7 + 2t

2) Soit D la droite d’intersection de P1 et P2 . Montrer qu’une représentation paramétrique de D est : y = −8 + 3t ; t ∈ R.
z = t

3)
Soit M un point quelconque de D de paramètre t et soit A le point de coordonnées (- 9 ; - 4 ; - 1).
a) Vérifier que A n’appartient ni à P1 ni à P2 .
b) Exprimer AM² en fonction de t.
c) Soit f la fonction définie sur R par f(t) = 2t² - 2t + 3. Etudier les variations de f. Pour quel point M, la distance AM est-elle
minimale ?
Dans la suite, on désignera ce point par I. Préciser les coordonnées du point I.
4) Soit P’ le plan orthogonal à D passant par A.
a) Déterminer une équation de P’.
b) Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur P’.
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
France 2007
Soient P et P’ les plans d’équations respectives x + 2y – z + 1 =0 et –x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1)
1) Démontrer que les plans P et P’ sont perpendiculaires
1

x = − 3 + t

1

2) Soit d la droite dont une représentation est y = −
t ∈ R . Démontrer que les plans P et P’ se coupent suivant la droite d
3

z = t


3) Calculer la distance du point A à chacun des plans P et P’
4) En déduire la distance du point A à la droite d.
16
Nouvelle Calédonie Novembre 2007
Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC et OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le
plan ABC.
Partie A :
1) Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?
2) Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?
3) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontrera de façon analogue que les droites (BH) et (AC)
sont orthogonales. Ce résultat est admis ici.
4) Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Partie B : L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les points A (1 ; 0 ; 0), B (0 ; 2 ;0) et C (0 ; 0 ; 3)
1) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite d passant par O et orthogonale au plan (ABC)
 36 18 12 
3) Démontrer que le plan ABC et la droite d se coupent en un point H de coordonnées  ; ; 
 49 49 49 
Partie C :
1) Calculer la distance du point O au plan (ABC)
2) Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l’aire du triangle ABC.
3) Vérifier que le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.
17
Centres Etrangers Juin 2009.
L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les points A (3 ; 4 ; 0), B (0 ; 5 ; 0) et C (0 ; 0 ; 5)
1) Faire une figure.
2) Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ?
 15 45 45 
3) Soit H le point de coordonnées  ; ; 
 19 19 19 
a) Démontrer que les points H, C et I sont alignés.
b) Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC)
c) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC)
4) Calculs d’aires et de volumes
a) Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
b) Déterminer la distance du point O au plan (ABC)
c) Calculer l’aire du triangle ABC.
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
Nouvelle Calédonie. Novembre 2003.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. On donne les points A (3 ; 0 ; 10), B (0 ; 0 ; 15), C (0 ; 20 ; 0).
1)
2)
3)
4)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)
Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E (9 ; 0 ; 0).
Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
a) Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le
triangle EBC.
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH)
c) Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 20x + 9y + 12z – 180 = 0
x = 0

d) Montrer que le système : 4 y − 3z = 0
a une solution unique. Que représente cette solution ?
20x + 9y + 12z − 180 = 0

e)
En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on
prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2.c ?
5)
19
Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
Centres Etrangers 13 juin 2013.
On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. On se place dans le repère (A ; AB ; AD ; AE )
 1   2  3

On considère les points I 1 ; ; 0  , J 0 ; ;1  , K ; 0 ;1  et L( a ;1 ; 0 ) avec a un nombre réel appartenant à [0 ; 1].
3
3
4

 
 

Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A :
1) Déterminer une équation paramétrique de la droite (IJ)
2) Démontrer que la droite (KL) a pour représentation

3
3

x = + t'  a − 
4
 4

paramétrique : y = t'
t'∈ R
z = 1 − t'


3) Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et
1
seulement si a =
4
Partie B :
1
.
4
Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
La figure ci-contre fait apparaitre l’intersection du plan (IJK) avec les
faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un
logiciel de géométrie dynamique.
On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite
(BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M
et N.
Dans la suite de l’exercice, on pose a =
1)
2)
a)
b)
c)
Prouver que le vecteur n (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan
(IJK).
En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z – 11 = 0.
En déduire les coordonnées des points M et N.
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
Polynésie Juin 2014.
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points : A(5 ; -5 ; 2), B(-1 ; 1 ; 0), C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; - 1).
1)
Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
2)
Montrer que le vecteur n(−2 ; 3 ;1) est un vecteur normal du plan (BCD)
3)
4)
5)
Déterminer une équation du plan (BCD)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan (BCD) et passant par A.
Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite d et du plan (BCD).
1
Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. (Rappel : V = Bh où B est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur
3
correspondante).
On admet que AB = 76 et AC = 61 . Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle BAˆC .
6)
7)
21
Métropole Juin 2014.
Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On
désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].
On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB ; AC ; AD ) de l’espace.
1)
a)
b)
c)
d)
e)
On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d’intersection du plan P et de la droite (DF).
Donner les coordonnées des points D et F.
Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
Déterminer une équation cartésienne du plan P.
Calculer les coordonnées du point H.
Démontrer que l’angle EHG est un angle droit.
2)
On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM = t DF .
a)
b)
c)
d)
e)
ˆG.
On note α la mesure en radians de l’angle géométrique EM
Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que α soit maximale.
3
5
5
Démontrer que ME² = t² − t +
2
2
4
Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M.
α
1
En déduire que ME sin =
2 2 2
α
est maximal.
2
En déduire que α est maximale si et seulement si ME² est minimal.
Conclure.
Justifier que α est maximale si et seulement si sin
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
CORRIGE :
1
Polynésie Juin 2008.
Dans l’espace rapporté à un repère, on considère les points A(1 ;2 ;3), B(0 ;1 ;4), C(-1 ;-3 ;2), D(4 ;-2 ;5) et le vecteur
1)
1   − 2 
   
a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. AB − 1  AC − 5  ne sont pas colinéaires
1   − 1 
   
b)
c)
u (2 ;-1 ;1).
Démontrer que u est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation du plan (ABC). 2x – y + z – 3 = 0
x = 2 − 2t

2) Soit ∆ la droite dont une représentation paramétrique est : y = −1 + t ; t ∈ R . Montrer que le point D appartient à ∆ et
z = 4 − t

que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).
D appartient à ∆ (t = -1)
 − 2
2 


 
v1  vecteur directeur de ∆ et u − 1  sont colinéaires ( u = −v ) Donc ∆ est perpendiculaire à (ABC)


 
− 1 
1 
3) Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). Montrer que E est le centre de gravité du triangle ABC.
E(0 ; 0 ; 3)
3
Amérique du Nord Mai 2008.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(3 ;0 ;0), B(0 ;6 ;0),
C(0 ;0 ;4) et D(-5 ;0 ;1).
1)
a)
Vérifier que le vecteur n (4 ;2 ;3) est normal au plan (ABC).
n est normal au plan (ABC) si et seulement si n est orthogonal à deux droites sécantes du plan.
 − 3  0 
   
AB 6  BC − 6  sont colinéaire s si et seulement si il existe k réel tel que AB = k.BC
0  4 
   
− 3 = 0k

AB = k.BC ⇔ 6 = −6k Ce système n' admet pas de solutions
0 = 4k

 − 3  0 
   
AB 6  BC − 6  ne sont pas colinéaire s . Les droites (AB) et (BC) sont donc sécantes.
0  4 
   
n. AB = 4x(−3) + 2x6 + 4x 0 = −12 + 12 = 0
n.BC = 4x 0 + 2x(−6) + 3x 4 = −12 + 12 = 0
b) Déterminer une équation du plan (ABC)
M(x ; y ; z) ∈ (ABC)
⇔ AM.n = 0
⇔ 4.(x − 3) + 2y + 3z = 0
⇔ 4x + 2y + 3z − 12 = 0
2)
a)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ orthogonale au plan (ABC) passant par D.
∆ est la droite passant par D et de vecteur directeur n
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
x + 5 = 4k
x = 4k − 5


M(x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ il existe k réel tel que DM = k n ⇔ y = 2k
k∈ R ⇔ y = 2k
k ∈R
z − 1 = 3k
z = 3k + 1


b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
Le point H est le point d’intersection de ∆ et du plan (ABC)
x + 5 = 4k
x = 4k − 5
x + 5 = 4k
x = 4k − 5
x = −1
y = 2k
y = 2k
y = 2k
y = 2k





⇔ y = 2
k∈ R ⇔ 
⇔
⇔

z
−
1
=
3
k
z
=
3
k
+
1
z
−
1
=
3
k
z
=
3
k
+
1
z = 4





4x + 2y + 3z − 12 = 0
4(4k − 5) + 4k + 3(3k + 1) − 12 = 0
29k − 29 = 0
k = 1
c) Calculer la distance du point D au plan (ABC).
La distance de D au plan (ABC) est donc la distance DH
Soit DH = (−5 + 1)² + (0 − 2)² + (1 − 4)² = 29
4
C
Antilles 2007
(Réaliser une figure)
On considère les points A (3 ; 0 ; 6) I (0 ; 0 ; 6) ; on appelle d la droite passant par A et I ?
On appelle P le plan d’équation 2y + z – 6 = 0 et Q le plan d’équation y – 2z + 12 =0.
1)
Démontrer que P et Q sont perpendiculaires.

0
 
 

u  2  un vecteur normal de P 
1 

 

 u..v = 0 + 2 − 2 = 0 donc P et Q sont perpendiculaires.
0 

 
v 1  un vecteur normal de Q 

 − 2

 
2)
Démontrer que l’intersection de P et Q est la droite d.
On démontre que les points A et I appartiennent à P et Q.
3)
Démontrer que P et Q coupent l’axe (Oy) et déterminer les coordonnées des points B et C, intersections respectives de P
et Q avec l’axe (Oy)
u. j = 2 ≠ 0 donc P et (Oy) ne sont pas parallèles v. j = 2 ≠ 0 donc Q et (Oy) ne sont pas parallèles
0
 
po int d'int er sec tion : B 3 
0
 
4)
0 


po int d'int er sec tion : C − 12 
0 


Démontrer qu’une équation du plan T passant par B et de vecteur normal AC est x + 4y + 2z -12 =0
5)
Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan T sont sécants en un
point H dont on déterminera les coordonnées.
x = 3k
 12 / 5 




y = 0 ,k∈R ; H 0
 24 / 5 
z = 6k



6)
8
C
Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Nouvelle Calédonie Mars 2011
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère les points A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2)
1)
Calculer le produit scalaire AB. AC puis les longueurs AB et AC. AB. AC = 2 ; AB = 17 ; AC = 5
2)
3)
4)
5)
En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAˆC : 77°
En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. 77° différent de 0 et 180°
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x – y + 2z + 2 = 0.
Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives x + y – 3z + 3 = 0 et x – 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont
x = −2

sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est y = −1 + 3t ; t ∈ R .
z = t

6) Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
I(-2 ; -4 ; - 1)
7) Soit S la sphère de centre Ω(1 ; -3 ; 1) et de rayon 3.
a) Donner une équation cartésienne de la sphère S. x² + y² + z² - 2x + 6y – 2z + 2 = 0
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
b) Etudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.
2t² + 2t + 1 = 0 ; cette équation n’admet pas de solution, donc S et D ne se coupent pas.
c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère. D(0 , P) = 3 = R
12
Nouvelle Calédonie Mars 2011
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2)
1)
Calculer le produit scalaire AB . AC puis les longueurs AB et AC.
3 
 0
 
 
AB  2  AC  2 
 − 2
1 
 
 
AB . AC = 0x3 + 2x2 + 1x(−2) = 2
AB = 3² + 2² + (−2)² = 9 + 4 + 4 = 17
AC = 0² + 2² + 1² = 0 + 4 + 1 = 5
2)
En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAˆC
AB . AC = AB.AC. cos(BAˆC)
⇔ 2 = 17 . 5 . cos(BAˆC)
2
⇔ cos(BAˆC) =
⇒ BAˆC = 77°
17 5
3) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
L’angle BAC est différent de 0° et 180°. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.
4) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x – y + 2z + 2 = 0.
Soit P le plan d’équation 2x – y + 2z + 2 = 0
Pour le point A : 2x(-2) – 0 + 2x1 + 2 = - 4 + 4 = 0. Donc A appartient à P
Pour le point B : 2x1 – 2 +2x(-1) + 2 = - 4 + 4 = 0. Donc B appartient à P
Pour le point C : 2x(-2) – 2 + 2 + 2 = - 4 + 4 = 0. Donc C appartient à P.
Donc le plan P est le plan (ABC)
Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives x + y – 3z + 3 = 0 et x – 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont
x = −2

sécants selon une droite D dont un système d’équations paramétriques est y = −1 + 3t ; t ∈ R .
z = t

x + y − 3t + 3 = 0
x + y = 3t − 3
 y + 2y = 3 t − 3 + 6 t
3y = 9t − 3




⇔ x − 2y = −6t
x − 2y + 6t = 0 ⇔ x − 2y = −6t ⇔ x − 2y = −6t
z = t
z = t
z = t
z = t




5)
y = 3 t − 1
x = −2


⇔ x = 2(3t − 1) − 6t ⇔ y = −1 + 3t ; t ∈ R
z = t
z = t


6) Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
 0
2 
 
 
Un vecteur directeur de D est u 3  ; un vecteur normal de (ABC) est n − 1 
1 
2 
 
 
u .n = 0 + 3x(−1) + 1x2 = −3 + 2 = −1 ≠ 0 . Donc D et (ABC) ne sont pas parallèles.
x = −2
x = −2
y = −1 + 3t
y = −1 + 3t


; t ∈R ⇔ 
; t ∈R

z
=
t

z = t
2x − y + 2z + 2 = 0
− 4 − 3t + 1 + 2t + 2 = 0
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
x = −2
x = −2
y = −1 + 3t


⇔
; t ∈ R ⇔ y = −4
z
=
t
z = −1


t = −1
13
Polynésie Septembre 2003
L’espace est rapporté à un repère orthonormal
x = −5 + 3s

On donne les points A(8 ;0 ;8), B(10 ;3 ;10) ainsi que la droite d d’équations paramétriques : y = 1 + 2s
z = −2s

3 
 
u1  2  vecteur directeur
 − 2
 
1) Donner un système d’équations paramétrique de la droite ∆ définie par les points A et B.
2
x = 2k + 8
 

y
=
3
k
u

2  3  vecteur directeur
2
z = 2k + 8
 

2)
Démontrer que d et ∆ sont non coplanaires. (non sécantes et non parallèles)
3)
Le plan P est parallèle à d et contient ∆. Montrer que le vecteur n (2 ;-2 ;1) est un vecteur normal à P. Déterminer une
équation cartésienne de P. 2x – 2y + z – 24 = 0
Montrer que la distance d’un point quelconque M de d à P est indépendante de M.
4)
d = 12
x = t

Donner un système d’équations paramétriques de la droite d’intersection de P avec le plan (xOy). y = t − 12
z = 0

5)
15
France 2007
Soient P et P’ les plans d’équations respectives x + 2y – z + 1 =0 et –x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1)
1   − 1
   
1) Démontrer que les plans P et P’ sont perpendiculaires n 2 .n' 1  = 1x(−1) + 2x1 − 1x1 = 0
 − 1 1 
   
x = −1 / 3 + t

2) Soit d la droite dont une représentation paramétrique est y = −1 / 3
; t réel.
z = t

Démontrer que les plans P et P’ se coupent suivant la droite d
x + 2y − z + 1 = 0 x + 2y = t − 1
x = −1 / 3 + t



−
x
+
y
+
z
=
0
⇔
−
x
+
y
=
−
t
⇔


y = −1 / 3
z = t
z = t
z = t



18
3)
Calculer la distance du point A à chacun des plans P et P’ d(A;P) =
4)
En déduire la distance du point A à la droite d.
6
2 3
et d(A;P' ) =
3
3
2
Nouvelle Calédonie. Novembre 2003.
r r r
L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . On donne les points A (3 ; 0 ; 10), B (0 ; 0 ; 15),
1)
2)
C (0 ; 20 ; 0).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)
x = −3t + 3

M ∈ (AB) ⇔ AM = t.AB , t ∈ R ⇔ y = 0
z = 5t + 10

Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E (9 ; 0 ; 0).
L’axe des abscisses est la droite intersection des plans (y = 0) et (z = 0).
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
3)
x = −3t + 3
x = −3t + 3 x = −3t + 3

x = 9
y = 0
y = 0
y = 0



z
=
5
t
+
10
⇔
⇔
⇔



y = 0
z
=
0
z
=
0
y = 0


z = 0


5t + 10 = 0
t = −2
z = 0
Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Supposons que les points A, B et C sont alignés ; alors les vecteurs AB et AC sont colinéaires

k = 1
− 3 = −3k


AB = k AC ⇔ 0 = 20k ⇔ k = 0 donc les points A, B et C ne sont pas alignés
5 = −10k

1

k = −
2

4) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
a) Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le
triangle EBC.
0  9

 
BC . OE =  20 . 0  = 9x 0 + 20x 0 − 15x 0 = 0
 − 15   0 

 
Donc (BC) est perpendiculaire à (OE) et par définition de H, (BC) est perpendiculaire à (OH)
Donc (BC) est orthogonal à deux droites sécantes (en O) du plan (OEH), ce qui implique que (BC) est orthogonal au plan (OEH)
En particulier, (BC) est orthogonal à (EH) car (EH) appartient au plan (OEH)
b)
Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH)
Le plan (OEH) est le plan de vecteur normal BC et passant par O :
M ∈ (OEH) ⇔ OM.BC = 0 ⇔ 4 y − 3z = 0
c) Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne : 20x + 9y + 12z – 180 = 0
Soit P le plan d’équation : 20x + 9y + 12z – 180 = 0.
Pour le point A : 20x3 + 9x0 + 12x10 = 60 + 120 – 180 = 0 ; donc A appartient à P.
Pour le point B : 20x0 + 9x0 + 12x15 – 180 = 180 – 180 = 0 ; donc B appartient à P.
Pour le point C : 20x0 + 9x20 + 12x0 – 180 = 180 – 180 = 0 ; donc C appartient à P.
Donc le plan P est le plan (ABC)
x = 0

d) Montrer que le système : 4 y − 3z = 0
a une solution unique. Que représente cette solution ?
20x + 9y + 12z − 180 = 0

x = 0
x = 0
x = 0



⇔ 3z = 4 y
⇔ 3z = 4 y
4 y − 3z = 0
20x + 9y + 12z − 180 = 0
20 * 0 + 9y + 4 * 3z − 180 = 0
0 + 9y + 4 * 4 y − 180 = 0




x = 0
x = 0

36


⇔ 3z = 4 y
⇔ y =
5

25 y = 180


48
z = 5

Ce point est l’intersection des plans (yOz), (ABC) et (OEH) ; il s’agit donc du point H.
e) Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
2
2
 48 
 36 
OH = 0² + 
 = 12
 +
 5 
 5 
Dans le triangle, EOH rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore :
EH² = OH² + OE² = 9² + 12² = 225. Donc EH = 15.
BC * EH 15 * 12
L’aire du triangle EBC est :
=
= 187.5 ua
2
2
5) En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on
prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 3.c ?
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
1
1
9 * 20
* Aire(OEC) * OB = * 15 *
= 450 uv
2
3
3
1
or V = * Aire(EBC) * d où d est la dis tan ce de O au plan (ABC)
3
1
36
donc * 187.5 * d = 450 soit d =
3
5
V=
Il était possible de calculer la distance du point O au plan (ABC) autrement :
20 * 0 + 9 * 0 + 12 * 0 − 180
180
36
d=
=
=
20² + 9² + 12²
625 5
20
C
Polynésie Juin 2014.
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points : A(5 ; -5 ; 2), B(-1 ; 1 ; 0), C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; - 1).
1)
Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
BC = 5 ; CD = 70 et BD = 75
on a donc : BD² = BC² + CD². Le triangle BCD est rec tan gle en C.
A=
2)
CDxBC 5 14
=
2
2
Montrer que le vecteur n(−2 ; 3 ;1) est un vecteur normal du plan (BCD)
n.BC = −2x1 + 3x 0 + 1x2 = 0
n.BD = −2x7 + 3x 5 + 1x(−1) = 0
Donc n est orthogonal à deux droites sécantes du plan (BCD) donc n(−2 ; 3 ;1) est un vecteur normal du plan (BCD)
3)
Déterminer une équation du plan (BCD).
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DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES
 − 2  x + 1
 

M ∈ (BCD) ⇔ n.BM = 0 ⇔  3 . y − 1  = 0 ⇔ −2x + 3y + z − 5 = 0
1   z 
 

4)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan (BCD) et passant par A.
x − 5
 − 2  x = −2k + 5


  
M ∈ d ⇔ il existe k ∈ R / AM = k.n ⇔  y + 5  = k. − 3  ⇔ y = 3k − 5 k ∈ R
z −2 
 1  z = k + 2


  
5)
Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite d et du plan (BCD).
x = −2k + 5
x = −2k + 5
x = −2k + 5
x = 1
y = 3k − 5
y = 3k − 5
y = 3k − 5




k
∈
R
⇔
⇔
⇔



y = 1
z
=
k
+
2
z
=
k
+
2
z
=
k
+
2



z = 4

− 2x + 3y + z − 5 = 0
− 2(−2k + 5) + 3(3k − 5) + (k + 2) − 5 = 0 k = 2
1
Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. (Rappel : V = Bh où B est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur
3
correspondante).
6)
AH = 56
1
70
V = Aire(BCD)xAH =
3
3
7)
On admet que AB = 76 et AC = 61 . Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle BAˆC .
AB.AC = −6x(−5) + 6x 6 − 2x 0 = 66
v
et AB.AC = ABxACx cos(BAC)
v
66
donc cos(BAC) =
donc BAC ≈ 14.2°
76 61
FRLT
http://frlt.pagesperso-orange.fr/
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09/09/2014