Transcript Annexe D : Nombre de personnes diplômées selon chaque collège

Nouvelle Calédonie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF ] et [AB].
−→ 1 −−→
On note Q le point défini par AQ = AD.
3
H
E
J
b
F
G
Q
A
P
b
D
I
b
B
b
C
On appelle plan médiateur d’un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c’està-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
−→ −→ −→
L’espace est rapporté au repère orthonormal A ; AP , AQ, AE .
1) Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
2) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P1 ) du segment [AB].
3) Soit (P2 ) le plan d’équation cartésienne 3y − z − 4 = 0.
Montrer que le plan (P2 ) est le plan médiateur du segment [IJ].
4) a) Démontrer que les plans (P1 ) et (P2 ) sont sécants.
b) Montrer que leur intersection est une droite (∆) dont une représentation paramétrique est

 x=1
y=t
où t décrit l’ensemble des nombres réels R.

z = 3t − 4
c) Déterminer les coordonnées du point Ω de la droite (∆) tel que ΩA = ΩI.
d) Montrer que le point Ω est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
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1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Nouvelle Calédonie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1) Les trois points A, B et J ne sont pas alignés. Ils définissent donc un unique plan, le plan (ABJ) qui est aussi le
plan (ABE). Le point I n’est pas dans ce plan et donc les points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
−→
2) Le plan (P1 ) est le plan passant par le point P et de vecteur normal AP .
−→
Le point P a pour coordonnées (1, 0, 0) et le vecteur AP a pour coordonnées (1, 0, 0). Donc une équation du plan (P1 )
est 1 × (x − 1) + 0 × (y − 0) + 0 × (z − 0) = 0 ou encore x = 1.
Une équation cartésienne du plan (P1 ) est x = 1.
3) Le point I a pour coordonnées
(1, 3, 0) et le point J a pour coordonnées (1, 0, 1). Le milieu K du segment [IJ] a
−
→
3 1
donc pour coordonnées 1, ,
et le vecteur JI a pour coordonnées (0, 3, −1).
2 2
−
→
Le plan (P2 ) est le plan passant par K et de vecteur normal JI.
3
1
Une équation cartésienne de (P2 ) est donc 0 × (x − 1) + 3 × y −
−1× z−
= 0 ou encore 3y − z − 4 = 0.
2
2
→(1, 0, 0) et un vecteur normal au plan (P ) est le vecteur
4) a) Un vecteur normal au plan (P1 ) est le vecteur −
n
1
2
−
→
−
→
−
→
n (0, 3, −1). Les vecteurs n et n ne sont pas colinéaires et donc les plans (P ) et (P ) sont sécants en une droite.
2
1
2
1
2
b) Soit M (1, t, 3t − 4), t ∈ R, un point de ∆. D’une part, xM = 1 et donc M appartient au plan (P1 ). D’autre part,
3yM − zM − 4 = 3t − (3t − 4) − 4 = 0,
et donc M appartient au plan (P2 ).
En
 résumé, tout point de ∆ appartient aux plans (P1 ) et (P2 ) et donc, la droite (∆) de représentation paramétrique
 x=1
y=t
est la droite d’intersection des plans (P1 ) et (P2 ).

z = 3t − 4
c) Soit M (1, t, 3t − 4), t ∈ R, un point de ∆.
M A = M I ⇔ AM 2 = IM 2
⇔ (1)2 + (t)2 + (3t − 4)2 = (1 − 1)2 + (t − 3)2 + (3t − 4 − 0)2
⇔ 1 + t2 = t2 − 6t + 9
4
⇔ 6t = 8 ⇔ t = .
3
4
4
Quand t = , on obtient le point Ω de coordonnées 1, , 0 .
3
3
4
Les coordonnées de Ω sont 1, , 0 .
3
s
s
2
2
4
4
5
5
d) On a ΩI = ΩA = 12 +
+ 02 = . Ensuite, ΩB = (1 − 2)2 +
+ 02 = .
3
3
3
3
s
2
4
5
2
Enfin, ΩJ = (1 − 1) +
− 0 + (0 − 1)2 = .
3
3
En résumé, ΩA = ΩB = ΩI = ΩJ =
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et donc le point Ω est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
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