Transcript Résultats pour le canton - 2ème tour - Saint-Just Saint

Cinématique & dynamique Newtoniennes
I. Le référentiel
Le mouvement d’un corps doit être décrit par rapport à un solide de référence appelé le référentiel
d’étude.
En général, on préfère choisir un type de référentiel appelé référentiels galiléens.
Un référentiel est galiléen si dans celui-ci le principe d’inertie est vérifié.
Nous utiliserons des référentiels terrestres, ils sont liés à n’importe quels objets posés sur terre
et considérés comme galiléens (si l’étude n’excède pas quelques minutes)
Repères d’espaces et de temps
Pour décrire un mouvement il faut avoir une notion de temps.
Il nous faut également un repère d’espace.
On peut choisir un repère orthonormé.
Un point M sera repéré par trois coordonnées (x, y, z).
Ces trois coordonnées sont fonctions du temps.
Les repères d’espace et de temps sont liés au référentiel choisi.
Trajectoire
La trajectoire d’un point du système est l’ensemble des positions successives prises par ce point au cours
du temps. Celle-ci dépend du choix du référentiel.
II. Décrire le mouvement
1. Le vecteur position
Dans le référentiel d’étude, le temps est compté à partir d’une origine pour laquelle t 0 = 0
La position du point mobile M est repérée par le vecteur position ⃗
OM (t) à un instant t
Vitesse – vitesse moyenne
La vitesse moyenne est donnée par la relation :
V=
Δd
Δt
Δd
Δt
V
La vitesse instantanée :
Idée : Réduire Δt de manière à tendre vers une durée proche de 0s
Sa valeur est donnée par :
v= lim
Δ t →0
(
Δ OM d ( OM )
=
Δt
dt
)
: distance parcourue en mètres (m)
: durée du mouvement en secondes (s)
: vitesse moyenne en mètres par
seconde (m.s -1)
(on se rapproche du concept de dérivée)
ΔOM : distance parcourue par le point M
sur la trajectoire pendant le temps Δt
Sur une trajectoire où l’on repère x, l’abscisse du point M,
on écrit alors :
v i = lim
Δ t→ 0
(
Xi+1−x i−1 d ( x i )
=
t i+1−t i−1
dt
)
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2. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :
- direction
⃗v (t i ) - sens
- valeur
: tangente à la courbe
: celui du mouvement
: v(ti) qui s'exprime en m.s -1
Le vecteur ⃗v (t i ) est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
k ) le vecteur vitesse peut donc s’écrire :
Dans un repère orthonormé ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗
d ( x(t) ) ⃗ d ( y (t ) ) ⃗ d ( z(t) ) ⃗
k=
.i+
. j+
.k
⃗v (t )=v x . ⃗i +v y . ⃗j +v z . ⃗
dt
dt
dt
√
2
2
La valeur de la vitesse à un instant t est alors donnée par : v(t)= v x + v y +v z
2
3. Le vecteur accélération
La variation du vecteur vitesse (en valeur ou en direction) entraine l’existence du vecteur accélération.
Le vecteur accélération ⃗a (t i ) est défini par : ⃗
a (t i )=
v ( t i+1 ) −⃗
⃗
v ( t i−1 ) Δ ⃗v (t i )
=
t i+1−t i−1
Δt
Le vecteur accélération a les caractéristiques suivantes :
a (t i )
⃗
- direction et sens
: identiques à ceux du vecteur variation de vitesse ⃗
Δ v(t i )
- valeur
: a(t i )=
Δ v(t i )
Δt
en m.s -2
a (t i ) est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
Le vecteur ⃗
k ) le vecteur accélération peut donc s’écrire :
Dans un repère orthonormé ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗
⃗a (t)=a x . ⃗i +a y . ⃗j+a z . ⃗
k=
d ( v x (t ))
d ( v y (t ) )
d ( v z (t) )
. ⃗i +
. ⃗j +
. ⃗k
dt
dt
dt
La valeur de la vitesse à un instant t est alors donnée par :
a(t)= √ a x2+ a y 2+a z2
4. Mouvements rectilignes et circulaires
Un mouvement est rectiligne si la trajectoire est une droite. Dans ce cas, le vecteur vitesse est porté par la
trajectoire.
Pour un mouvement uniforme, la valeur de la vitesse est constante. Dans ce cas, le vecteur vitesse est
constant.
Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle. Dans ce cas, le vecteur vitesse est porté par la
tangente à la trajectoire.
Pour un mouvement uniforme, la valeur de la vitesse est constante. Dans ce cas, le vecteur vitesse varie
en direction et le vecteur accélération est dirigé vers le centre de la trajectoire.
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III. La quantité de mouvement
Système isolé
Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune action mécanique extérieure.
Sur Terre, de tels systèmes n’existent pas. On étudiera alors des systèmes pseudo-isolés.
Un système est pseudo-isolé si les actions mécaniques qui s’exercent sur lui se compensent.
Vecteur quantité de mouvement
p (t i ) d’un objet à l’instant t est
Le vecteur quantité de mouvement ⃗
le produit de sa masse m par le vecteur vitesse
⃗
p(t i )=m .⃗
v (t i )
⃗v (t i ) de son centre d’inertie.
p s’exprime en kg.m.s-1
L’intensité de ⃗
IV. Les différents types de mouvement
1. Les mouvements rectilignes
Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite.
Mouvement rectiligne uniforme
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne uniforme
si ⃗
v (t)=⃗
constante (vecteur vitesse constant en sens, en direction et en valeur)
a=
⃗
d ⃗v ⃗
=0
dt
Mouvement rectilignes uniformément variés
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne uniformément varié
si ⃗
a (t)=⃗
constante (vecteur accélération constant en sens, en direction et en valeur)
v . ⃗a ≥0
- Si les vecteurs vitesse v et accélération a sont de même sens : ⃗
la valeur v du vecteur augmente : le mouvement rectiligne est accéléré.
- Si les vecteurs vitesse v et accélération a sont de sens opposé : ⃗
v . ⃗a ≤0
la valeur v du vecteur diminue : le mouvement rectiligne est ralenti.
2. Les mouvements circulaires
Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle.
Mouvement circulaire uniforme
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire uniforme si sa
trajectoire est un cercle de rayon R et si la valeur du vecteur vitesse v est constante.
La valeur du vecteur vitesse v est constante. Pourtant le vecteur ⃗
v (t ) varie.
Le vecteur accélération a
⃗ est dirigé vers
a centripète)
le centre de la trajectoire ( ⃗
et sa valeur est a=
v2
R
⃗v ⊥⃗
a
⇔ ⃗
v.⃗
a =0
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Mouvements circulaires non uniforme
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire non uniforme si sa trajectoire
est une portion de cercle de rayon R et si la valeur a de son accélération n'est pas constante.
Pour décrire le mouvement d'un point G , on peut utiliser un repère de Frénet, c'est un repère tournant
comportant les vecteurs unitaires :
u T : tangent à la trajectoire au point G
- ⃗
et orienté dans le sens du mouvement
u N : orthogonal à la trajectoire au point G et
- ⃗
dirigé vers le centre de la trajectoire (centripète)
A chaque instant le vecteur accélération se décompose alors
en deux vecteurs :
a =⃗
a N+⃗
aT
⃗
a T est l'accélération tangentielle : ⃗
- ⃗
aT =
dv
u
⃗
dt T
2
v
a N est l'accélération normale ⃗
- ⃗
a N= ⃗
uN
R
V. Les lois de Newton
- Première loi (ou principe d'inertie)
Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse d’un système isolé ou pseudo-isolé est constant.
Réciproquement, si le vecteur vitesse est constant, le système est isolé ou pseudo-isolé.
Lorsqu'un système assimilé à un point matériel est isolé ou pseudo-isolé sa vitesse est constante
Autrement dit : si
⃗
F ext =0
∑⃗
⇔ ⃗
v =⃗
constante
p =m . ⃗
v =⃗
constante
Donc dans ce cas sa quantité de mouvement se conserve égalemen t ⃗
La conservation de la quantité de mouvement permet d'expliquer la propulsion par réaction.
Remarque : Si le système ne peut pas être assimilé à un point matériel, le principe d'inertie ne s'applique
alors qu'au mouvement d'un point particulier du système étudié appelé centre d'inertie G
- Deuxième loi (ou principe fondamental de la dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système assimilé
à un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement.
d⃗
p
F ext =
∑⃗
dt
Si la masse du système est constante au cours du temps, on a
F ext =m. ⃗
a
∑⃗
- Troisième loi (ou principe des actions réciproques)
On considère deux systèmes A et B en interaction. ⃗
F A /B est la force exercée par A sur B
Quel que soit l'état du mouvement ou de repos des deux systèmes, les deux forces vérifient toujours
l'égalité vectorielle : ⃗
F A /B=−⃗
FB/ A
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