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Ch 6 Application des lois de Newton et
des lois de Kepler
1 – Mouvement d’un projectile dans le champ de
pesanteur
1 - 1 – Étude expérimentale du mouvement
1 – 2 - Étude théorique
2 – Cas d’une particule dans un champ
électrostatique uniforme
3 – Mouvement des satellites et des planètes
3 – 1 – Les lois de Kepler
3 – 2 – Les satellites
1 – Mouvement d’un projectile dans le
champ de pesanteur
1 - 1 – Étude expérimentale du mouvement
TP élève: Étude d’un mobile en chute libre, ayant
une vitesse initiale (non verticale).
Mode opératoire: A l’aide d’un ordinateur et d’un
logiciel, Faire l’acquisition des positions d’une bille
en chute libre lancée avec une vitesse initiale non
verticale (parabolique, parabolique1). Caractériser
sa trajectoire et son accélération.
Conclusion:
La trajectoire du solide est parabolique et le vecteur
accélération est constant et est égal au champ de
pesanteur g.
1 – 2 - Étude théorique
Recherche de l’accélération du centre d’inertie d’une
bille, en chute libre, lancée d’un point O, avec une
vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l’horizontale:
z
V0
y
O
α
x
Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen,
d’après la 2éme loi de Newton, la somme des forces
extérieures qui s’appliquent à la bille est égale au produit
de sa masse par le vecteur accélération de son centre
d’inertie. Soit:
𝑚 × 𝑔 = 𝑚 × 𝑎 ou 𝒈 = 𝒂 Ses coordonnées sont donc:
ax = 0
ay = 0
et
az = - g
Recherche des coordonnées de la vitesse
de la bille:
Par définition: a = dv/dt soit aussi:
dvx/dt = 0
dvy/dt = 0 et dvz/dt = - g
En cherchant les primitives des coordonnées:
vx = cte
vy = cte et
vz = -g.t + cte
D’après les conditions initiales:
vx = v0.cosα
vy = 0
et
vz = -g.t + v0.sinα
- Recherche des équations horaires:
Par définition v = dOM/dt.
En cherchant les primitives des coordonnées .
x = v0.cosα.t + cte y = cte et z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t + cte
D’après les conditions initiales:
x = v0.cosα.t
y = 0 et z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t
RQ: y = cte implique que la trajectoire est planaire
- Recherche de l’équation de la trajectoire
x = v0.cosα.t donne: t = x/ (v0.cos)
En remplaçant dans z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t on trouve
l’équation de la trajectoire:
g
2
z 2

x

tan(

)

x
2
2v0  cos ( )
C’est une parabole dans le plan vertical contenant v0.
2 – Cas d’une particule dans un champ
électrostatique uniforme
Quelles sont les forces appliquées à une particule de
charge q et de masse m placée dans un champ
électrostatique 𝐸 ?
Une charge ponctuelle de charge q dans un champ
électrostatique 𝐸 subit une force électrostatique:
𝑭𝒆 = 𝒒 × 𝑬
Elle subit aussi sont poids: 𝑷 = 𝒎 × 𝒈
On admettra que cette dernière force est négligeable
par rapport à la force électrostatique (voir ex 20 p
176).
Rechercher l’accélération de cette particule, rentrant
au point O dans un champ électrostatique uniforme et
dirigé vers le haut 𝐸, avec une vitesse initiale v0 faisant
un angle α avec l’horizontale (voir schéma doc 5 p164).
Dans le référentiel terrestre, considéré comme
galiléen, d’après la 2éme loi de Newton, la somme des
forces extérieures qui s’appliquent à la particule est
égale au produit de sa masse par son vecteur
accélération . Soit:
𝒒×𝑬=𝒎×𝒂
𝒂=
𝒒×𝑬
𝒎
Ses coordonnées sont: 𝒂𝒙 = 𝟎
𝒂𝒚 =
𝒒×𝑬
𝒎
Déterminer les équations horaires de la particule
Par définition : 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Donc les coordonnées de la vitesse sont des
primitives de celles de l’accélération. Donc:
𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑣𝑦 =
𝑞×𝐸
𝑚
× 𝑡 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
D’après les conditions initiale (à t = 0):
𝑣0𝑥 = 𝑣0 × 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣0𝑦 = 𝑣0 × 𝑠𝑖𝑛𝛼
De ces 4 équations on peut en déduire les constantes
d’intégration. Les coordonnées de la vitesse de la particule
sont donc:
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 × 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒒×𝑬
𝒗𝒚 =
× 𝒕 + 𝒗𝟎 × 𝒔𝒊𝒏𝜶
𝒎
Par définition le vecteur vitesse de la particule est:
𝑑𝑂𝑀
𝑣=
𝑑𝑡
Donc les coordonnées de la particule sont des primitives de
celles de la vitesse.
𝑥 = 𝑣0 × 𝑐𝑜𝑠𝛼 × 𝑡 + constante
1 𝑞×𝐸
𝑦= ×
× 𝑡 2 + 𝑣0 × 𝑠𝑖𝑛𝛼 × 𝑡 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
𝑚
D’après les conditions initiales (t= 0), les coordonnées de la
particules sont:
𝑥0 = 0
𝑦0 = 0
Les équations horaires de la particule sont donc:
𝒙 = 𝒗𝟎 × 𝒄𝒐𝒔𝜶 × 𝒕
𝟏 𝒒×𝑬
𝒚= ×
× 𝒕𝟐 + 𝒗𝟎 × 𝒔𝒊𝒏𝜶 × 𝒕
𝟐
𝒎
En déduire l’équation de sa trajectoire.
En substituant le temps dans la deuxième équation et en
simplifiant, on trouve :
𝟏
𝒒×𝑬
𝟐
𝒚= ×
×
𝒙
+ 𝒕𝒂𝒏𝜶 × 𝒙
𝟐
𝟐 𝒎 × (𝒗𝟎 × 𝒄𝒐𝒔𝜶)
3 – Mouvement des satellites et des planètes
3 – 1 – Les lois de Kepler
- Ptolémée (200 ap JC) la Terre est le centre de
l’univers et les planètes tournent autour.
- Copernic (1478-1543) Le soleil est le centre du
monde et les planètes lui tournent autour
suivant des cercles.
- Kepler (1571-1630) utilise les observations de
son maître Tycho Brahé (1546-1601) et
formule trois lois :
Première loi de Kepler : Loi des trajectoires
Dans le référentiel héliocentrique la trajectoire
du centre d’une planète est une ellipse dont le
Soleil est l’un des foyers.
Deuxième loi de Kepler : Loi des aires
Le segment de droite reliant le Soleil à la
planète balaie des aires égales pendant des
durées égales.
Troisième loi de Kepler : Loi des périodes
Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport
entre le carré de la période de révolution et le cube du
demi grand axe est le même.
T2/a3 = constante
a
3 – 2 – Les satellites
Déterminons les caractéristiques du mouvement d’un
satellite de masse m qui tourne, à l’altitude h, autour de
la Terre. On supposera que la Terre a une répartition
des masses à symétrie sphérique
Que peut-on déduire de « la Terre a une répartition des
masses à symétrie sphérique »?
Le centre de la Terre est confondu avec son centre
d’inertie.
Quelle est l’accélération du centre d’inertie du satellite ?
Bilan des forces:
 GM m 
F
T
u
( RT  h)
Force de gravitation terrestre :
u: vecteur unitaire de direction et de sens Le centre du
satellite vers le centre de la Terre.
2
Dans le référentiel géocentrique (considéré
comme galiléen), d’après la deuxième loi de
Newton, la somme des forces extérieures
appliquées au satellite est égale au produit de sa
masse par le vecteur accélération de son centre
d’inertie. Soit :
 GM m 
m a 
Ou
T
( RT  h)
2
u
 G  MT 
a
u
2
( RT  h)
L’accélération du centre d’inertie du satellite, est
donc indépendante de sa masse et est centripète.
Que se passe-t-il si la trajectoire du satellite est
circulaire ?
Introduction de la base de Frenet (M,N,T): la base de Frenet est
une base liée au mobile M et dont les deux vecteurs de base sont
N (normal à la trajectoire et rentrant) et T (tangent à la trajectoire et
dans le sens du mouvement). On peut toujours décomposer un
vecteur dans cette base. En particulier le vecteur accélération :
(1)



a  aN  N  aT  T
Pour tout mouvement circulaire (1):
 dv 
 v
a   N  T
r
dt
2
r étant le rayon de courbure du cercle et v la valeur de la vitesse
du mobile M. On peut aussi avoir, r.2 à la place de v2/r avec  la
vitesse angulaire.
Bien qu’elliptique, les trajectoires des satellites peuvent, très
souvent, être assimilées à des cercles. Dans ce cas de figure le
vecteur unitaire u = N.
L’accélération devient donc :
 G  MT 
N
(2) a 
2
r
L’accélération n’a donc pas de composante tangentielle. dv/dt
est donc nulle. v est donc constant (attention que le vecteur v,
lui, n’est pas constant). Le mouvement est donc uniforme.
Que devient l’expression de v dans le cas du
mouvement circulaire ?
Par identification des équations (1) et (2), je peux écrire
que : 2
v
G  MT

2
r
r
Soit:
(3)
ou
G  MT
v
r
G  MT
v
RT  h
La vitesse n’est donc que fonction de son altitude.
Quelle est la période de révolution d’un satellite ?
2


r
La période est de T 
v
Donc d’après (3)
3
r
T  2
G  MT
RQ : on retrouve la troisième loi de Kepler :
T
4


cons
tan
te
3
r
G  MT
2
2
Application au calcul de l’altitude d’un satellite
géostationnaire avec T= 86164 s (1 jour sidéral).
Réponse : h = 35800 km.
.Exercices n°1, 2, 5, 7, 15, 17, 20, 22, 23, 26
p169.