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MÉCANIQUE DU POINT
I-Un point matériel de masse m est lancé à l’instant t = 0 du point d’origine O avec une
vitesse initiale v 0 qui fait l’angle α avec l’horizontale. On suppose constante l’accélération de la
pesanteur g .
1) On néglige tout frottement.
a) Exprimer la position de la particule en fonction de t. Quelle est la trajectoire par
rapport au sol ? Comment obtient-on la portée maximale si l’on fait varier α à || v 0|| constant ?
b) || v 0|| étant constant, trouver l’équation de la courbe séparant les points qui peuvent
être atteints par la particule de ceux qui ne le seront jamais lorsque l’on fait varier α.
2) On décrit la résistance de l’air par la force F = – h v (avec h > 0). Déterminer la vitesse
puis l’altitude du projectile en fonction du temps.
II-1) Une particule P de masse m est suspendue à un point O par un fil
O
inextensible et sans masse de longueur ℓ.
ℓ
a) Quelle vitesse angulaire ω constante autour de la verticale doit-on
θ
communiquer à P pour qu'elle décrive un cercle horizontal, le fil faisant avec la
P
verticale un angle θ donné ?
b) Quelle est alors la période T de ce pendule conique dans le référentiel lié au sol ?
c) Toutes les valeurs de ω correspondent-elles à une telle situation ?
O
2) La particule P est reliée à un deuxième point O’, à la verticale de O, par un
ℓ
deuxième fil de même longueur ℓ. La distance OO’ est égale à 2a. Elle est inférieure à a
θ
2ℓ.
P
a) À partir de quelle vitesse angulaire ω0 le fil PO’ est-il tendu ?
b) Pour une vitesse de rotation ω supérieure à ω0, calculer en fonction de
m. ℓ, ω et ω0 les modules des tensions exercées par les deux fils sur P.
a
ℓ
O’
III-Une grande roue verticale de rayon R = 25 m
possède des sièges sur sa circonférence. Elle tourne à
ω
P
θ
R
vitesse angulaire constante et effectue un tour complet en
T = 1 mn. On prendra g = 10 m.s–2 .
g
1) Une personne de masse m = 63 kg, est assise sur
l’un des siège de la grande roue. On appelle poids apparent
de la personne l’opposé de la force exercée par le siège sur
elle.
Exprimer le poids apparent à laquelle est soumise
cette personne en fonction de θ.
2) Calculer la valeur numérique du module du
poids apparent pour θ = 0 et θ = π. En déduire la variation
relative de la masse apparente de la personne.
IV-Soit une particule P de masse m mobile le long d’une direction que l’on note Ox. Elle
−
x2
a2
possède l’énergie potentielle U ( x ) = −U 0e
où a et U0 sont des constantes positives (il n’y a pas
d’autres force exercée).
1) Déterminer et étudier la stabilité de la (ou les) position(s) d’équilibre de la particule.
2) On lance la particule depuis l’origine O avec une vitesse initiale v 0 = v0 eX. Quel est son
mouvement en fonction de la valeur de v0 ?
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U0
puis v0 ≈ 0. Exprimer en particulier la période du
m
mouvement, sous la forme d’une intégrale (qu’on ne calculera pas) dans le premier cas, sous la
forme d’une expression où apparaissent m, U0 et a dans le second cas.
V-Soit un jeu de petites voitures pouvant se
d
déplacer le long de profils de route variés AB
(distance d). La voiture a une masse m et l’on
négligera les frottements. Elle est lancée avec une
PROFIL II
g
B
vitesse initiale de module v0 dans la direction de la
A
route. On considère deux types de profil de route:
h
un profil (I) rectiligne et horizontal de
longueur d entre A et B ;
d
un profil (II) présentant une « cuvette » avec
des bords faiblement inclinés ;
PROFIL III
un profil (III) présenté sur la figure ci-contre.
g
B
A
1) Calculer le temps mis par la voiture pour
h
effectuer le parcours (I) en l’absence de frottements.
2) Même question pour le parcours (II), mais
d/3
d/3
d/3
on ne présentera qu’une solution qualitative.
3) Pour le profil (III), peut-on encore tenir le
raisonnement fait ci-dessus ? Pourquoi ?
VI-On étudie le mouvement d’une particule de charge q et de masse m dans un référentiel
galiléen R. On la repère dans la base cartésienne
(
O
,
u
X, u Y, u Z). Elle est
B
soumise à un champ électrique
uniforme E = E u Y (E > 0) et à un champ
uZ
magnétique uniforme B = B u Z (B > 0). La particule part de l’origine des
E
uY
positions O avec une vitesse initiale de module v0, dans le plan (O, u X,
v0
α
u Y) et faisant l’angle α avec u X (α ∈ [0, 2π]).
u
X
1-a) Écrire les équations différentielles vérifiées par vX(t), vY(t) et
vZ(t).
b) En déduire les équations paramétriques x(t), y(t) et z(t) de la trajectoire en fonction
de q, m, E, B, v0 et α.
c) Écrire les équations précédentes lorsque la vitesse initiale est nulle. Représenter
l’allure de la trajectoire dans ce cas en donnant les coordonnées de quelques points importants.
2) On étudie ce dernier mouvement dans le référentiel R’ en translation rectiligne et
uniforme à la vitesse V = VuX (V > 0) par rapport à R.
3) Étudier les cas particuliers v0 =
a) Quelle relation doit vérifier V pour que dans R’ l’équation du mouvement soit
indépendante du champ électrique ?
b) Quelle est la trajectoire de la particule dans R’ dans ce cas ?
VII-Sur un plateau plan horizontal, percé d’un trou O, une particule P de masse m se déplace
sans frottement. Elle est attachée à un fil passant par le trou. On exerce sur l’autre extrémité du fil
une traction T(t) telle que la longueur OP s’écrit ℓ(t) = a – bt.
1) Décrire le mouvement pour une vitesse angulaire initiale ω0 de OP.
2) Calculer le travail fourni par l’opérateur exerçant la force T(t) entre l’instant initial et
l’instant τ où OP = ℓ(τ) .
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VIII-Une particule M, de masse m et de charge q > 0, est placée dans un champ
n
r0
électrostatique radial dirigé vers le point O de norme E = E 0
où E0, r0 et n sont des constantes.
r
FG IJ
H K

→
On suppose E0 > 0, r0 > 0 et r = OM .
1) Donner les équations différentielles qui gouvernent le mouvement de M.
2) Préciser les conditions initiales pour que la trajectoire soit un cercle de centre O et de
rayon r0.
3) Étudier la stabilité de la trajectoire circulaire en fonction de n. Cas du champ newtonien ?
4) La vitesse initiale a une norme v0 qui ne correspond pas à une trajectoire circulaire.
Discuter la nature de la trajectoire en fonction de v0 dans le cas où n = 2.
IX-Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, un satellite, de masse m = 400 kg
assimilé à un point matériel P est en orbite autour de la Terre de masse M = 6,00×1024 kg et
supposée sphérique de rayon R = 6400 km.
On note G la constante de gravitation universelle de valeur : G = 6,67×10–11 m3⋅s–2⋅kg–1 et
l’on pose k = GmM.
La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est donnée par la relation
k F = − 2 u dans laquelle r est la distance entre le centre O de la Terre et le point P et u le vecteur
r
unitaire dirigé de O vers P, on néglige toute force de freinage due à l’atmosphère terrestre.
1) Déterminer, à partir de l’expression de la force gravitationnelle, celle de l’énergie
potentielle EP du satellite dans le champ de gravitation terrestre en fonction de k et de r, cette
énergie potentielle étant nulle «à l’infini».
2) Dans le référentiel géocentrique , le satellite décrit, autour du centre de la Terre, une
orbite circulaire à l’altitude h telle que h = α.R.
a) À partir de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’expression
littérale de sa vitesse V0 en fonction de G, M, R et α puis calculer sa valeur numérique si
α = 5, 00 × 10−2 .
b) En déduire l’expression littérale dé l’énergie mécanique en fonction de k, R et α
puis calculer sa valeur numérique si α = 5,00×10–2.
3) On ne se limite plus à l’étude d’une trajectoire circulaire.
a) Démontrer que le moment cinétique σ du satellite par rapport au centre O de la
Terre est constant. En déduire que la trajectoire est plane.
b) La position du satellite est repérée, dans le plan de la trajectoire, par ses
coordonnées polaires r et θ. Exprimer, dans ce système de coordonnées, le module σ du moment
cinétique du satellite.
4) Le satellite étant situé en un point P d’altitude h = α.R avec α = 5,00×10–2, on lui

→
communique une vitesse perpendiculaire au rayon vecteur OP et de valeur : V = β.V0, en notant
toujours V0 la valeur qui lui permettrait de décrire une orbite circulaire. Calculer, d’abord sous
forme littérale puis en effectuant les applications numériques, entre quelles valeurs doit être compris
β si l’on veut éviter que le satellite s’écrase sur le sol, mais aussi qu’il échappe définitivement à
l’attraction de la Terre.
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