Transcript INTRODUCTION GENERALES MMC 1 Chapitre I : INTRODUCTION

INTRODUCTION GENERALES MMC
Chapitre I : INTRODUCTION GÉNÉRALE
La mécanique des milieux continus (l’MMC) est un vaste
domaine de la mécanique consacre aux mouvements des corps
déformable : gaz, liquides ou solides. La mécanique des milieux
continus s’intéresse également aux milieux particuliers que sont les
champs :
champ
électromagnétique,
champ
de
rayonnement………etc.
La différence entre la mécanique des milieux continus et la
mécanique rationnelle, que cette dernière étudie les mouvements
d’un point matériel, des systèmes discontinus, des points matériels
et des corps rigides, en utilisant les données et les méthodes de la
mécanique rationnelle.
Par contre la mécanique des milieux continus, envisage des corps
matériels qui remplissent l’espace d’une façon ininterrompue,
continue, et dans les points changent de distance lors du
mouvement.
Les problèmes de l’MMC : citons quelques uns des
problèmes essentiels de la MMC qui ont déjà fait l’objet d’études.
 L’écoulement du fluide dans des tubes.
 Le filtrage : la pénétration du liquide dans le sol et dans
d’autres substances poreuses. On se heurte, par exemple, au
problème du mouvement de l’eau dans le sol lors de
l’édification des fondations divers (barrages, appuis de
ponts, centrales hydroélectriques).
 Les problèmes d’ordre technique, tels que le mouvement
des avions, des hélicoptères.
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I.1 Définitions élémentaires :
 Milieu continu :
On suppose que l’espace physique dans lequel on vivant est
mathématiquement représentable par un espace Euclidien E3, soit
Ω un domaine volumique de E3, on dit que Ω est remplis d’un
milieu matériel si a toute instant t et en chaque point M de Ω on
peut définir des grandeurs physiques locales relatives a ce
matériel ;
ti
Mi
M
t
Ω
E3
Ces grandeurs peuvent être mathématiquement représenté par :
 Des scalaires (masse volumique ρ, température
T,……..etc).
 Des vecteurs (vitesse, accélération………etc)
 Des tenseurs (déformations, contraintes………etc)
On dit que le milieu matériel Ω est continu si les grandeurs
physiques locales sont différentiable presque partout sur Ω.
Mme Boumaiza
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 Point matériel :
Espace E3 est constitué de points géométriques ; Ω est
constitué de points matériels (on les appelle aussi particules), si Ω
est en mouvement implique que les points matériels se déplacent,
et leurs position coïncide à chaque instant avec les points
géométriques.
On appelle position de la particule P a chaque instant t, le point
géométrique M qui coïncide avec P a l’instant t, donc la position
est un vecteur OM de E3 ; a chaque particule sont attache des
grandeurs différentiables sur le milieu matériel en mouvement
(même sur le domaine géométrique).
déforme avec le mouvement du milieu et le flux de la matière a
travers cette surface est nul, on les note Ɗ.
Domaines géométriques : se sont des ensembles de points
géométrique, elles sont généralement fixes dans E3, ils sont en
mouvement qui n’a rien avoir avec le mouvement d’un milieu
matériel. Le flux de la matière à travers la frontière est
généralement non nul, on les notes Ω.
I.2 Objet de la mécanique des milieux continus :
Avec les définitions précédentes la mécanique des solides
indéformables fait partie de l’MMC. Dans ce cours on s’intéresse
qu’au milieu déformable ; exemple : une barre d’acier, de l’eau
s’écoulant dans un canal, de l’air d’un ventilateur sont des milieux
continus déformable.
Donc on va s’intéresser aux mouvements, déformations, efforts
internes et externes, et aux lois qui les relies.
En effet pour connaitre la vitesse de tout point de solide
indéformable il suffit de connaitre la vitesse d’un point et le
vecteur de rotation et les vitesses d’autres points déduites
immédiatement des relations simples.
 La trajectoire :
La trajectoire de la particule P, c’est l’ensemble des positions
occupé par P au cours du temps.
 Les domaines :
Domaines matériels : se sont des ensembles de particules, si une
particule appartient aux domaines matériel à l’instant t elle lui
appartient a tout instant, donc le domaine matériel se déplace et se
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En MMC déformable, la distance entre deux points du milieu
varie, il faut donc décrire le mouvement de chaque point du milieu.
I.3 Description du mouvement :
Soit un domaine matériel Ɗ en mouvement dans l’espace
physique. On note Ωt, Ω`t les positions de Ɗ aux instants t et t`.
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Soit P une particule de Ɗ on note M et M` les positions de la
particule P aux t et t`. on appelle ft,t` l’application de Ωt, Ω`t définie
tel que :
ft,t` :M∈ Ωt→M`= ft,t` (M)∈ Ω`t
 En variable d’Euler :
La trajectoire de la particule qui se trouve en M0 au point t0 est la
courbe solution du système différentiel suivant :
V(M,t)=
, avec les conditions initiales : M=M0 à t=t0
I.3.1 Description de Lagrange:
Soit un domaine matériel D en mouvement dans l’espace
physique. On appelle configuration de référence Ω0 l’ensemble des
positions M0 des particules P de D a instant t0 choisit
arbitrairement.
La description de Lagrange consiste a donne la position à tout
instant de toutes les particules 9identifier par leur position a t0),
c'est-à-dire qu’on donne la fonction vectorielle suivante :
OM=f0(M0,t) ; M∈ Ω0,t∈
I.3.2 Description d’Euler:
Soit un domaine géométrique Ω traversé par un milieu
matériel en mouvement, on dit que chaque point ∈Ω est un
point d’observation.
La description d’Euler consiste à donne le champ des vitesses
observé en chaque point M de Ω en fonction du temps. C'est-à-dire
qu’on donne la fonction vectorielle suivante :
V=V(M,t)
∈Ω ,t∈
I.3.3 Détermination des trajectoires:
 En variable de Lagrange :
Cette description donne directement la trajectoire :
OM=f0(M0,t), c’est l’équation de la trajectoire d’une particule à M0
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