Transcript Série 01 : Le calcul tensoriel

Le calcul tensoriel
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Série 01 : Le calcul tensoriel
Exercice 01 : Donner la dimension physique et les unités dans le Système International des
grandeurs suivantes. Indiquer également l’unité dérivée le cas échéant.
1. Distance d
10. Moment de quantité de mouvement N
2. Intervalle de temps ∆t
11. Puissance P
3. Masse m
12. Energie E
4. Température θ
13. Masse volumique ρ
5. Intensité de courant i
14. Pression p
6. Superficie S
15. Contrainte σ
7. Vitesse v
16. Charge électrique q
8. Force F
17. Débit-volume Q
9. Quantité de mouvement P
18. Densité de flux de chaleur q
Exercice 02 : Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.
1. ai + αbi = ci
6. Tji + αaiaj
2. α + bici
7. Tijk + aibj −ck
3. T ij + aibj
8. Tjki + aib jck
4. Tii + ai
9. Tjji + αai
5. Tii + α
10. T jjj + α
Exercice 03 : Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.
1. αui
2. uivi
3. aijnj
4. σjinj
5. aijbjk
6. aikb jlclk
7. aikajlTkl
Exercice 04 : Calculer les expressions suivantes.
1. δii
2. δijδij
3. δijδikδjk
4. δijδjk
5. δijAlik
6. aikajlδkl, (aij sont les éléments d’une matrice orthogonale quelconque)
Exercice 05 : Développer les expressions suivantes (α étant un scalaire; u, v et n des vecteurs; S
et T des tenseurs d’ordre 2) :
1. αv
2. uv
3. v·u
4. T·n
Exercice 06 :
Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c’est à dire que Sij = Sji pour tout i et tout j
dans un repère orthonormé, cette propriété reste vraie dans n’importe quel repère orthonormé
fixe par rapport au premier.
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Exercice 07 :
1. Montrer qu’un tenseur Tij quelconque se décompose de manière unique en une partie
symétrique et une partie antisymétrique.
2. Soit Sij un tenseur d’ordre deux symétrique, Aij un tenseur d’ordre deux antisymétrique.
Prouver que AijSij= 0.
Exercice 08 : Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, α et β des scalaires invariants.
Evaluer les expressions suivantes dans un repère cartésien (o,ei) :
1. ∇α
2. ∇·a
3. ∇×a
4. ∇a
5. ∇·T
6. a·∇a
7. ∆α = ∇· (∇α)
8. ∆a = ∇· (∇a)
Exercice 9 : Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, α et β des scalaires. Vérifier les identités
suivantes :
1. ∇ (α β) = (∇α) β + α (∇β)
2. ∇·(α a) = (∇α)·a + α(∇·a)
3. ∇× (α a) = (∇α) ×a + α (∇×a)
4. ∇·(a×b) = b· (∇×a)−a· (∇×b)
5. ∇× (∇×a) = ∇ (∇·a) −∇· (∇a)
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