Transcript Éléments de Calcul Tensoriel I II Les Tenseurs

Éléments de Calcul Tensoriel

I Les Tenseurs
 II Les Opérateurs Différentiels
J.C. Charmet © 2002
I Les Tenseurs

I-1
 I-2
 I-3
 I-4
 I-5
Définition des Tenseurs
Opérations sur les Tenseurs
Symétrie et Antisymétrie
Tenseurs Identité et d’Antisymétrie
Produits Scalaire et Vectoriel
I-1 Définition des Tenseurs
Tenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs
physiques en un même point d’un espace de dimension d
u
Ses composantes dans un repère donné
M
v
ne dépendent que du M
=
u = T(M) v
Le Rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices
T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)
T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M)
T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij(M)
T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n(M)
I-2 Opérations sur les Tenseurs
Addition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang
C(n) = A(n) + B(n)
Cij…n = Aij…n + Bij…n
Produit tensoriel ()
C(n+m) = A(n)  B(m)
Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m
Produit Contracté (·) sur l’indice k
C(n+m-2)
=
A(n)
·
d
Cij…n+m-2 = S Aij…k...n Bij…k…m
B(m)
k=1
La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction
diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant
Convention des indices muets
Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur
l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice
C(2)
=
A(2)
·
B(2)
3
Cij = S AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j +
Ai2B3jk=1
I-3 Symétrie et Antisymétrie
Symétrie par rapport au couple d’indices l,r
C(t) symétrique {l,r}
C(t) antisymétrique {l,r}
Cij…l…r…t = Cij…r…l...t
Cij…l…r…t = -Cij…r…l...t
Symétrie complète  le couple d’indices a,b  {1..t}
C(t) symétrie complète
Cij…a…b…t = Cij…b…a...t
C(t) antisymétrique complète Cij…a…b…t = (-1)PCij…b…a...t
P étant la parité de la permutation {ij…a…b…t}  {ij…b…a…t}
Exemple : {1.2…4.5.6.7…9}  {1.2…7.5.4.6…9} Paire P = 0 modulo 2
{1.2…4.5.6.7…9}  {1.2…6.7.5.4…9} Impaire P = 1 modulo 2
Les propriétés de Symétrie et d’Antisymétrie sont intrinsèques
Elles se conservent par changement de repère
I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie
Tenseur Identité d(2)
d(2)
Tenseur d’Antisymétrie e(3)
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
eijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}
eijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}
eijk = 0 si au moins 2 indices égaux
dij = 1 si i = j
dij = 0 si i  j  le repère
d(6) = e(3)  e(3) a pour composantes :
dip diq dir
dijkpqr = Det djp djq djr
dkp dkq dkr
dijkpqr = dip(djqdkr-djrdkq)-djp(diqdkr-dirdkq)+dkp(diq djr-dirdjq)
d(4) Contraction {i,p}
d d
dijkiqr = djkqr = eijkeiqr = djqdkr-djrdkq = Det djq djr
kq kr
d(2) Contraction {i,p} {j,q}
dijkijr = djkjr = eijkeijr = 2dkr
d(0) Contraction {i,p} {j,q} {k,r}
dijkijk = djkjk = eijkeijk = 2dkk = 6
Det(T(2)) = 1 eijkepqrTipTjqTkr
6
I-5 Produits Scalaire et Vectoriel
Produit Tensoriel de deux Vecteurs
u1
u = u2
u3
v1
v = v2
v3
C(2)
u1v1 u1v2 u1v3
= u  v = u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3
Produit Scalaire de deux Vecteurs
Cij = uivj
u · v = ukvk = Ckk = Tr( u  v )
Produit Extérieur de deux Vecteurs
0
u1v2-u2v1 u1v3P(2) = u  v - v  u = u3v1
= C(2) - tC(2)
u
0
u2v3u23vv12-u1v2
u3v1-u1v3 u3v2-u2v3
0
Produit Vectoriel de deux Vecteurs
w = u  v = e(3) · ·{u  v }
u2v3 – u3v2
w1
P23
w = u  v = u3v1 – u1v3 w = w2 = P31
 wi = eijkCjk
u2v1 – u1v2
w3
P21
II Les Opérateurs Différentiels





II-1
II-2
II-3
II-4
II-5
Le Gradient
La Divergence
Le Rotationnel d’un Vecteur
Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2
Le Laplacien
II-1 Le Gradient
Gradient d’un Scalaire f(x)
Gradient d’un Vecteur u(x)
df =Gradf·dx
Gradf =
du =Gradu·dx
f
x1
f
x2
f
x3
u1
x1
u2
Grad u =
x1
u3
x1
Gradient d’un Tenseur de Rang 2 T(2)(x)
Gijk = Grad(3)T (2)
u1
x2
u2
x2
u3
x2
u1
x3
u2
x3
u3
x2
dT (2) =Grad(3)T (2) ·dx
Tij
=
xk
II-2 La Divergence
uk u1 u2 u3
Divu =
=
+
+
xk x1 x2 x3
Divergence d’un Vecteur u(x)
Divergences d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x)
Divergences des Vecteurs Ligne
DivDT(2)
Tij
=
=
xj
T11 T12
+
+
x1 x2
T21 T22
+
+
x1 x2
T31 T32
+
+
x1 x2
DivDT(2) = DivGtT(2)
DivGT(2) = DivDtT(2)
T13
x3
T23
x3
T33
x3
Divergences des Vecteurs Colonne
DivGT(2)
Tij
=
=
xi
T11 T21
+
+
x1 x2
T12 T22
+
+
x1 x2
T13 T23
+
+
x1 x2
T(2) = tT(2) symétrie  DivDT(2) =
DivGT(2)
T31
x3
T32
x3
T33
x3
II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur

x1

=
x2

x3
Opérateur Nabla
et Gradient
Divergence
u1
u = u2
u3
tGrad
u =  u =
Div u = ·u = Tr(  u ) = Tr(Grad u )
Tenseur Rotationnel
0
Rot u =
tGrad
Pseudo Vecteur Rotationnel
Rot u =  u =
u1
x1
u1
x2
u1
x3
u3
x2
u1
x3
u1
x2
-
u2
x3
u3
x1
u2
x1
u - Grad u =
u1
x2
u1
x3
-
u2
x1
u3
x1
u2
x1
-
u1
x2
0
u2
x3
u3
- x
2
Rot u =   u = e(3) · ·{Gradu }
 [Rot u ]i = eijk
uk
xj
u2
x1
u2
x2
u2
x3
u3
x1
u3
x2
u3
x3
u3
x1
u3
x2
u1
x3
u2
x3
0
II-4 Rotationnels d’un Tenseur
Gradient d’un tenseur de Rang 2
T(2)(x)
F=
Grad(3)T(2)
Fijk =
(2)
T
Tij
xk
Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang 2 T(2)(x)
Rotationnels des Vecteurs Ligne
[RotD T=]lk = ekij
==
RotD T
T13
x2 T23
x2 T33
x2 -
T12
x3
T22
x3
T32
x3
T11 T13
x3 - x1
T21 T23
x3 - x1
T31 T33
x3 - x1
tRot
Tlj
xi
T12 T11
x1 - x2
T22 T21
x1 - x2
T32 T31
x1 - x2
DT
= RotGtT
GT
= RotDtT
tRot
Rotationnels des Vecteurs Colonne
[RotGT=]kl = ekij
==
RotGT
T31
x2 T11
x3 T21
x1 -
T21
x3
T31
x1
T11
x2
T32 T22
x2 - x3
T12 T32
x3 - x1
T22 T12
x1 - x2
Tjl
xi
T33 T23
x2 - x3
T13 T33
x3 - x1
T23 T13
x1 - x2
T = tT symétrie  RotDT = tRotGT
II-4 Le Laplacien
Laplacien d’un Scalaire f(x)
Df =Div(Gradf)
2f
2f
2f
2f
+
+
Df =Div(Gradf) =
xk xk = x12 x22
x32
2u1
+
2
x
1
2ui
2
D u = DivD( Gradu ) = x x =  u2
+
k
k
x12
2u3
+
2
x
1
Laplacien et Rotationnel
Laplacien d’un Vecteur u(x)
[Rot u ]k
= eklm
um
xl
[Rot (Rot u)]i =eijk
2u1
+
x22
2u2
+
x22
2u3
+
x22
2u1
x32
2u2
x32
2u3
x32
Rot (Rot u ) = Grad(Div u ) - D u
2
2ui
2uj
 e um =(d d -d d )  um
=[Grad(Divu )]i -[D u ]i
=
il jm im jl
klm
xj
xl
xjx1 xixj xjxj