Exercices résolus - A. Seghir
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Transcript Exercices résolus - A. Seghir
Université A. MIRA, Bejaia, Faculté de Technologie,
Département d’Hydraulique, Master 1
Exercices résolus MMC
Année universitaire 2014-2015
www.a-seghir.weebly.com
EXERCICE 1
En un point M d’un solide élastique isotrope, le tenseur des contraintes rapporté au repère orthonormé oeee
est :
1
2 0
0 2
3 Mpa
1
3 2
Déterminer Les contraintes et les directions principales agissant en M.
Solution
0
1
2
det( I ) det 0
2
3 0 ; (2) [ (2)2 3] (2 ) =0 ; (2) [ (2)2 4] ;
1
3 2
Donne : 1 4 Mpa ; 2 Mp ; 0 Mpa
Les directions principales
Sont acceptés les directions
: V1 = [ 1 3 2] ;
: V1 = [ 1 3 2] ;
V2 = [1 1/ 3 0] ; V2 = [1 3 2]
V2 = [1 1/3 0] ; V2 = [1 3 2] ;
EXERCICE 2
On considère à un état de contraintes uniforme dont les composantes cartésiennes sont :
4
2
2
2
1
3
3
1
2
( N/mm )
1) Déterminer les contraintes principales.
2) Déterminer les directions principales normalisées.
3) Ecrire la matrice C des cosinus directeurs des axes principaux.
4) Calculer la contrainte moyenne normale et la contrainte tangentielle maximale
5) Vérifier les invariants des contraintes I et I3.
Solution
1) Contraintes principales
4
2
2
1
det( I ) 0 ;
2
2
3 0
3 1
(4 ) (1 ) 2 9 2 2 (1 ) 3 2 2 2 (1 ) 3 2 0
( 2 ) ( 4) 2 4 0
2
soit 2
6
on prend : 1 2 N/mm ; 2 2 N/mm et 3 6 N/mm
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2) Directions principales
a) direction X correspondant à :
4 2
2
2 n1
2 1 2
3 n 2 0 : donne un système trivial, X X
2
3 1 2 n 3
X
4 2
2
2 n1
b) direction X correspondant à :
2 1 2
3 n 2 0
2
3 1 2
n
3
Pour n1 1 , n 2
1
2
et n 3
1
2
1
2
, La normalisation donne X 2 12
1
2
c) direction X3 correspondant à :
4 6
2
2 n1
2 1 6
3 n 2 0
2
3 1 6 n 3
n2
1
2
, La normalisation donne X 3 12
1
2
Pour n1 1 ,
X1 X 2 X 3
1
2
et n 3
e1
e2
e3
1
2
1
2
1
2
12
12
1
2
1
2
0
1
2
1
2
Une rotation de de chacun des trois vecteurs est aussi une direction principale
0 1
2
1
3) Matrice C des cosinus directeurs des directions principales : C 1
2
2
1
1
2
2
1
2
12
1
2
4) Contraintes moyenne normale : m 13 (11 22 33 ) 13 (1 2 3 ) 2N / mm 2
Contrainte tangentielle maximale : max 12 (1 3 ) 4N / mm 2
5) Invariants :
I 1 (11 22 33 ) (1 2 3 ) 6
I 3 det() (123 ) 24
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EXERCICE 3
L’état des contraintes en un point P d’un milieu continu est donné par le tenseur :
(MPa)
1) Calculer les composantes normale n et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur un plan de
normale n 1 [1 1 1] . Que peut-on conclure pour la normale n et la contrainte n.
3
2) Déterminer les contraintes principales et les directions principales normalisées.
Solution
Le vecteur contrainte : T n
La contrainte normale : n T n MPa, La contrainte tangentielle :
T
n MPa
Conclusion : Contrainte tangentielle nulle, donc n est une direction principale et n est une contrainte
principale
2) Les contraintes et directions principales normalisées
1 9.00 MPa,
V1 [0.57
2 4.73 MPa,
V2 [0.21 0.78 0.57]
2 1.27 MPa,
V2 [0.78 0.21 0.57]
0.57 0.57]
EXERCICE 4
La répartition des contraintes dans un corps solide déformable en équilibre statique sans effet des
forces de volume est donnée par le tenseur suivant rapporté au repère ( oee e ) :
( x , x )
x x
( x , x ) x x
x
MPa (l’état des contraintes est indépendant de l’axe vertical ox )
La contrainte agissant au point M(0,1) sur un plan verticale de normale inclinée de 45° par rapport à
ox , est une contrainte de cisaillement pure . Déterminer ( x , x ) et donner la valeur de .
Solution
Les équations d’équilibre statique :
x
y
z
x
y
z
x
y
z
L’équation (1) donne : 12 y f(x)
avec l’équation (2) :
f(x) 2x c ;
c : constante
y
x
(1)
(2)
(3)
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12 2x y c
c
Le tenseur des contraintes au point M(0,1) : c
c
Le vecteur contrainte au point M selon n 1/2 1 1 0 : T n
c
La composante normale n n.T c 3/2
La contrainte est une contrainte de cisaillement pure : n 0 d’où c 3/2 (MPa)
Finalement : 12 2x y 3/2
La composante tangentielle :
T
n (c (c ) (c
)
)
MPa