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Chapitre 3
Les grandeurs locales et leur
correspondance avec les grandeurs
globales
Rappel important sur les modèles
 La réalité est inaccessible
 Un modèle est une création de l ’esprit qui
correspond à notre perception de la réalité et
sur laquelle nous pouvons raisonner
On peut rêver d ’un modèle idéal rendant compte parfaitement de la réalité…
utopique et de toute façon inutilisable.
Deux types de modèles
Modèles « circuit » : une coordonnée au plus (le temps)
utilisation plus rapide et simple (circuits équivalents, cours ELEC2310)
pour étudier un dispositif existant (on détermine alors les paramètres
expérimentalement),
mais impossibilité de tenir compte des dimensions
géométriques, donc insuffisants pour étudier un dispositif qui
n’est pas encore réalisé.
Modèles « champ » : jusqu ’à 4 coordonnées (t, x , y et z )
lents et compliqués, mais incontournables pour la conception
car ils utilisent seulement comme données
- les dimensions géométriques
- les caractéristiques des matériaux
Note : parfois utiles même pour des dispositifs existants car ils permettent de
se passer de certaines mesures difficiles ou dangereuses.
Utilisation simultanée des deux
types de modèles
On profite des avantages des deux types
nécessité de règles de correspondance explicites
Le modèle local est essentiellement basé sur
l’électromagnétisme de Maxwell
 Nous allons revoir cette théorie dans l’optique de sa
correspondance avec un modèle circuit.
Conseil : quand deux modèles sont utilisés, bien distinguer
(y compris dans les documents) les parties de l ’étude
utilisant l ’un ou l ’autre des modèles, ainsi que les parties
effectuant la mise en correspondance.
Mise en correspondance local-global
- directement au niveau des paramètres
R r
exemple : loi de Pouillet
possible seulement dans les cas simples
d
S
- ou au niveau des grandeurs (plus général)
D, H, r , J  i, q, j (j = courant associé au mouvement de charges)
V, A , B, E  u , y, e (e = force électromotrice au sens des physiciens)
Exemple : en électrotechnique (mais pas en électrochimie ni en thermoélectricité….)
 La résistivité relie E et J , soit E = r J
 La résistance relie e et j , d’où la loi d’Ohm e = R j
On aura u = R i si i = j et u = e , ce qui est le cas si
q
t
et
y
t
sont négligeables(composant galvanique)
Détermination directe de paramètres
« circuit »
Dans le cas de circuits de géométrie simple, on a par
exemple
• Un lien entre les flux vu du point de vue circuit électrique
et du point de vue circuit magnétique : Y = n F
• Un lien entre la force magnétomotrice et le courant : J = n i
Dans le cas linéaire, il est facile d’en déduire l’inductance
d’une bobine encerclant un circuit magnétique simple
(pouvez-vous le faire ?).
Il est possible d’améliorer le calcul élémentaire
Cas des réluctances (ou résistances) de coin
Voir formules
dans le
syllabus
(annexe au
chapitre 2)
Extension possible au
cas d’un angle
différent de 90°, mais
on ne dispose plus
dans ce cas d’une
formule explicite.
Exemple de circuit fermé
Extension possible au cas non linéaire : l’expérience
montre que le calcul fait en présence de saturation
magnétique en utilisant les mêmes formules pour
l’allongement des tronçons
• donne d’excellents résultats pour les valeurs du flux.
• conduit à une erreur est un peu plus grande sur le
calcul des pertes magnétiques.
Cas d’une jonction en T
Voir
formules
dans le
syllabus
(annexe au
chapitre 2)
Exemple de circuit complet
Il existe aussi des formules simples dans le cas de
domaines à symétrie cylindrique ou sphérique (voir
cours de physique de Bac)
Traversée d’un entrefer
Les méthodes élémentaires ne donnent de bons résultats
que si la notion de « circuit » est bien respectée
-problème avec les flux de fuite
-problème avec les sources de chaleur
Il y a aussi des problèmes de jonction entre les éléments,
mais nous savons maintenant comment les résoudre.
Les méthodes élémentaires sont insuffisantes dans
beaucoup de cas, mais on peut souvent les utiliser sur
une partie du modèle.
Nécessité d’une méthodologie plus générale, mettant en
relation les grandeurs plutôt que les paramètres.
Formalismes
Le formalisme est la théorie des théories
Il en existe plusieurs !
La correspondance local-global est facilitée si on utilise
le même formalisme pour les deux types de modèle
Modèle local : théorie = électromagnétisme
formalisme de Maxwell-Minkowski-Post
Modèle global : théorie = théorie des circuits
formalisme similaire vu au cours précédent
Structure du formalisme de
Maxwell-Minkowski-Post
Structure préalable
En électromagnétisme, espace-temps
(1 dimension temporelle et 3 dimensions spatiales)
Note :
La théorie est plus simple si on considère
un espace de dimension 4 ,
mais on le feuillette souvent en 1 + 3 dimensions.
En théorie des circuits, graphe orienté + temps (1 seule
dimension)
mouvement de matière  variable(s) de position q
Correspondance
entre les structures préalables
Comment représenter dans le modèle local le « mouvement »
associé à une variable de position q du modèle global ?
Réponse : par un champ de vecteur u




vuq


Translation
Rotation
Qu’est-ce qu’un vecteur ? En mathématiques élémentaires, on distingue
• vecteurs liés = couple de points (absurde physiquement, extrémité sans
signification)
• vecteurs libres (= classe de vecteurs liés)
Ces notions mathématiques correspondent assez mal à l’idée physique que l’on se fait
d’un vecteur (vitesse, champ magnétique…).
Il vaut mieux (ce que font les mathématiciens) considérer les vecteurs « ordinaires »
comme des opérateurs de dérivation des champs scalaires.
Exemple : considérons une répartition de température T constante (selon t ) à
la surface de la terre. Si je voyage à une vitesse v , je ressens une variation de
température à cause de ce déplacement (dérivée de Lie par rapport à la vitesse).
dT
 £v T
dt
soit, en
x
y
z
£
T

v

T

v

T

v
z T
v
x
y
coordonnées
cartésiennes,
L’ensemble des vecteurs en un point forme la structure
algébrique nommée « espace vectoriel ».
Pour décrire par des nombres (composantes) un vecteur en un point, on a
besoin d’un repère (base de l ’ensemble des vecteurs en ce point) en ce
point.
Pour décrire un champ de vecteur, on a besoin d ’un référentiel (champ de
repères).
Soient e(i) un repère.
Tout vecteur est alors défini par ses coordonnées : u   u i e(i )
i
Si l’espace est plat (ce qui est le cas de l’espace physique pour les
ingénieurs), on peut obtenir un référentiel en donnant une base des vecteurs
en un point (l’origine) et en la déplaçant parallèlement à elle-même. Mais...
• Est-ce la meilleure façon de décrire le problème considéré ?
• Même les ingénieurs utilisent des espaces non plats (espace
des états en automatique, espace des solutions faisables en
optimisation….).
On a souvent intérêt à utiliser un système de coordonnées curvilignes
(cylindrique, parfois sphérique, elliptique…).
Or, il existe des référentiels associés à ces coordonnées.
Nécessité de pouvoir changer de référentiel.
Je suppose que les indices i, j …prennent les valeurs 1,2,3.
Soient trois vecteurs formant une base e(i)
Soient trois autres vecteurs formant une base e(i’)
Attention ! Abus d’écriture commode.
On peut exprimer la nouvelle base en fonction de l’ancienne :
e(i ')   e(i ) Ai i '
i
La transformation inverse utile la matrice Ai’i inverse de Aii’ .
On montre facilement que les composantes d’un vecteurs se transforment
selon
u  A i u
i'
i'
i
i
On dit que les vecteurs ordinaires
sont contravariants.
Problème : à un système de coordonnées x(i) curvilignes on
peut associer plusieurs référentiels.

e(i )   i 
 x (i )
• Référentiel naturel
• Référentiel orthonormé (plus familier, mais possible
seulement avec certains systèmes de coordonnées).
Un référentiel est dit holonome s ’il peut être associé de façon
naturelle à un système de coordonnées.
Le problème ne se pose pas avec le système de coordonnées
cartésien x, y, z , car son référentiel naturel est égal à son
référentiel orthonormé.
Dans le cas d’un système de coordonnées curvilignes
orthogonales, on doit distinguer
• le référentiel naturel e(i) ,
• le référentiel orthonormé e(î)
La loi de transformation
e ( i )   e ( ˆi ) A
ˆi
i
ˆi
fait intervenir une matrice diagonale. Les composantes de
cette matrice sont appelées « coefficients métriques ». On les
note souvent hi .
Exemples fréquents
Coordonnées cylindriques r, j , z
h r  A rˆ r  1
h j  A jˆ j  r
h z  A zˆ z  1
Coordonnées sphériques r, q, j
h r  A rˆ r  1
ˆ
h q  Aqq  r
h j  A jˆ j  r sin q
Correspondance
entre les structures préalables
Comment représenter dans le modèle local le « circuit » associé
à une branche a du graphe dans le modèle global ?
Réponse : par une densité vectorielle N = densité de circuit
(on dit parfois densité de lignes de courant)
Convient même si on veut
représenter chaque conducteur
séparément : alors N = 1/S
Convient même pour du fil
divisé en définissant S
convenablement
Exercice : encoche rectangulaire
• de profondeur a = 15 mm,
• de largeur b = 7 mm,
• comportant n = 10 conducteurs
• formés de trois fils ronds en parallèle,
• avec un coefficient de remplissage global de 0.4
- Quel est le diamètre du fil ?
- Que vaut N (en unités SI )
* dans le cas d’un modèle « mesoscopique » ?
* dans le cas d’un modèle « macroscopique » ?
Attention ! N n’est pas un vecteur ordinaire, mais une
densité vectorielle. Sa loi de transformation est
Ni '  | Ai i ' |  Ai 'i Ni
i
où |Aii’| désigne le déterminant de la matrice Aii’ .
On défini aussi des densités scalaires. Un scalaire r est
une densité si, lors d’un changement de référentiel
r’ = |Aii’| r
Le circuit ne peut pas se terminer n ’importe où. On suppose
donc que, en introduisant un indice a pour numéroter les
branches de circuit,

div Na  0

div Na  0

div Na  0
Sauf aux bornes (c ’est-à-dire aux
endroits où la branche considérée
est connectée à d ’autres branches)
Borne d ’entrée de la branche
(borne positive )
Borne de sortie de la branche
(borne négative )
Contraintes sur les div Na pour assurer un bon raccordement
On peut définir les nœuds origine et extrémité d’une branche
par deux densités positives telles que

div N a  M a   M a 
Les branches seront définies de façon à avoir des nœuds
communs.
Note : en réalité, quand on prend une divergence, c’est
toujours d’une densité vectorielle. On ne s’en rend pas compte
en référentiel cartésien.
En référentiel holonome, la divergence est toujours fournie par
la formule élémentaire
div N   i Ni
i
Le résultat de la divergence n’est pas un scalaire ordinaire,
mais une densité scalaire.
Pour effectuer div N en référentiel orthonormé, on va donc
chercher les composantes de N en référentiel naturel, appliquer
la formule élémentaire de la divergence. On obtient ainsi une
densité scalaire qu’il faut encore ramener au référentiel
orthonormé.
Comment évolue Na sous l ’effet d ’un champ de vitesse va ?
Supposons que toute la variation de Na vienne du déplacement.
d Na / dt + £va Na = 0 où £ désigne la dérivée de Lie
soit, dans le langage des composantes
 t Na   v a  j Na   Na  j v a   Na  j v a  0
i
j
j
i
j
j
i
i
j
j
où i et j vont de 1 à 3, avec sommation sur les indices doublés.
Comment lier le champ de vitesse va à une variable de

position du circuit ra ?
v a  u ra
On notera l’analogie avec

vuq
Premier volet d ’équations d ’évolution
En électromagnétisme : équations inhomogènes de Maxwell
div D = r
rot H -  D /  t = J
d ’où l ’on déduit
r
 div J  0
t
 suite exacte
D et J sont des densités vectorielles (comme N)
r est une densité scalaire.
H n’est pas un vecteur au sens ordinaire, mais un covecteur
(vecteur covariant). On peut marquer ce fait en plaçant ses
indices en bas. La loi de transformation est
Hi '   Hi A i '
i
i
En référentiel holonome, le rotationnel est donné par la
formule élémentaire.
La contraction d’un vecteur contravariant et d’un vecteur
covariant s’écrit de la même façon dans tous les
référentiels :
H.u   Hi u i   Hi ' u i '
i
i'
Ces champs ne sont pas les mêmes
pour tous les observateurs
Comment passer d ’un observateur « » à un observateur « ’ » se
déplaçant à la vitesse v par rapport au premier ?
Transformation de Galilée : t = t ’ (le temps est absolu)
D=D’
H = H ’+ v x D
r=r’
J = J ’+ v r
On peut utiliser la transformation de Galilée sans faire
de complexes
Avant Einstein : uniquement les observateurs Galiléens
Einstein en 1905 : relativité restreinte  uniquement les observateurs
Lorentziens
Einstein en 1915 : relativité générale  tous les observateurs sont
acceptables, donc aussi les observateurs galiléens
Note
Le premier volet respecte aussi l’invariance conforme :
Lors d’une dilation simultanée de l’espace et du temps
par le même facteur, les champs continuent à vérifier
les mêmes équations (mais avec des densités de charge
et de courant corrigées par ce même facteur).
Correspondance avec le premier volet
des circuits
Introduction de Jtot
On voudrait que la grandeur correspondant à i ait une
divergence nulle. Or, ce n ’est pas le cas de J . On peut
cependant introduire le champ
D
J tot 
J
qui présente une divergence nulle.
t
Alors,
Jtot = N i (cas d ’un seul circuit)
Jtot = S Na ia en général
Les contraintes que l ’on a annoncé ci-dessus sur les div Na
doivent faire en sorte que div Jtot = 0 lorsque les courants
satisfont à la loi des nœuds de Kirchhoff.
Autres grandeurs du premier volet
Outre
Jtot = S Na ia
on impose aussi (du moins dans le cas des circuits
immobiles… théorie pas faite pour les autres!)
D = S Na qa
et
J = S Na ja
ce qui permet d ’obtenir
ia = dqa /dt + ja
Second volet d ’équations d ’évolution
En électromagnétisme : équations homogènes de Maxwell
div B = 0
rot E +  B /  t = 0
équivalentes à l ’existence de V et A tels que
rot A = B
- grad V -  A /  t = E
On a donc la suite exacte suivante
A 4 dimensions, B et E forment une seule
grandeur. De même, A et V. Les équations sont
plus simples.
B est une densité vectorielle.
E et A ne sont pas des vecteurs ordinaires, mais des
vecteurs covariants. On peut marquer ce fait en plaçant
leurs indices en bas.
Leur loi de transformation est
Ei '   Ei A i '
i
i
En référentiel holonome, le rotationnel est donné par la
formule élémentaire.
La contraction d’un vecteur contravariant et d’un vecteur
covariant s’écrit de la même façon dans tous les
référentiels :
E.u   Ei u i   Ei ' u i '
i
i'
Ces champs ne sont pas les mêmes
pour tous les observateurs
Comment passer d ’un observateur « » à un observateur « ’ » se
déplaçant à la vitesse v par rapport au premier ?
Transformation de Galilée : t = t ’ (le temps est absolu)
v = vitesse de l ’observateur « ’ » par rapport à l ’autre
B=B’
E = E ’- v x B
V = V ’ + v.A ’
A=A’
(A 4 dimensions, c’est un cas particulier de changement de référentiel.)
Note
Le second volet respecte aussi l’invariance conforme :
Lors d’une dilation simultanée de l’espace et du temps
par le même facteur, les champs continuent à vérifier
les mêmes équations.
Correspondance avec le second volet des circuits
y =   B . dS
seulement pour ligne fermée sans
dimension transversale
y =  A . dl plus général car applicable à un circuit non
fermé, mais seulement si sans dimension transversale
y =  N . A dV correspond bien à ce que l ’on veut
Les logiciels commerciaux ignorent cette équation,
mais nous verrons plus loin qu ’il est possible de les
utiliser pour la calculer.
On adopte aussi
u =  (div N) .( V - va . A) dV
e =  N . (E + va x B) dV
En utilisant ces équations, on retrouve en effet
u = d y / dt + e
et la loi de mailles de Kirchhoff.
Retour sur une équation du premier volet
Les logiciels commerciaux ignorent l ’équation
y =  N . A dV ,
mais peuvent calculer le flux en divisant par le
courant i le double de l ’ « énergie » calculée par
1/2  J . A dV
or J = N i
dans les cas simples, donc, cela revient
au même, mais uniquement si le dispositif ne comporte
qu ’une branche de circuit !
Transposition aux champs du
théorème de Tellegen
En théorie des circuits, les équations d ’évolution suffisent
pour démontrer que
S ua ia = 0
Peut-on obtenir un théorème similaire en utilisant uniquement
les équations d ’évolution (équations de Maxwell) ?
On a de fait
S ya ia =  A . Jtot dV
et, sous l ’hypothèse qu ’il n ’y a pas de rayonnement,
 A . Jtot dV =  B . H dV
Flux de puissance
E . J est la densité de puissance échangée (chaleur….)
S = E x H vecteur de Poynting
Sp = Jtot V variante du vecteur de Slepian
Définissant une énergie apparente
On obtient
Pas moyen de faire mieux … avant d’avoir introduit les relations
constitutives
Force et impulsion
On définit
G = D x B : densité d ’impulsion
J x B + r E : force exercée sur les « sources »
Alors
Nous verrons plus loin que T’ji = [ Bj Hi + DjEi - Wapp dji ] est, à la
trace près, égal à un tenseur nommé « tenseur de Maxwell » et qui est
analogue à un tenseur de contrainte.
Mais pour cela, il faut attendre d’avoir introduit les relations
constitutives.
On peut former le tenseur de dimension 4
Wapp
 Sj

 Gi 
T ' j i 
qui est la partie sans trace d’un tenseur connu sous le
nom de tenseur énergie-moment électromagnétique.