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UNIVERSITE IBN ZOHR
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
AGADIR
Annexe
Analyse vectorielle
Module ‘’Physique 3’’
‘’Electricité 2’’
Sections SMP3-SMC3- SM3-SMI3
L'étude de l'électromagnétisme fait usage d'un certain nombre d'outils d'analyse vectorielle. L'objet de
cette annexe est de rappeler sans démonstration ces outils, quelque relations utiles et leurs expressions.
1. DEFINITIONS ET THEOREMES FONDAMENTAUX
1. 1 Potentiel scalaire
Dans un espace affine E à trois dimensions, on appelle potentiel scalaire, toute application qui, à un point
M de E fait correspondre un nombre réel U(M). Une surface équipotentielle définie par U(M) = R est un
ensemble de points pour lesquels U(M) prend une valeur donnée R.
1. 2 Champ de vecteurs
Dans un espace affine E, on appelle champ de vecteurs, toute application qui, à un point M de E fait
correspondre un vecteur E(M) de l'espace vectoriel associé à E. Les lignes de champ sont les courbes de E telles
qu'en tout point le vecteur E(M) leur soit tangent.
1. 3 Circulation d'un vecteur
A(M) désignant le vecteur champ au point M et dM un vecteur déplacement élémentaire quelconque de M,
on appelle circulation élémentaire de A(M) le produit scalaire
C = A(M). dM
L étant un parcours quelconque entre les points a et b de E et le champ de vecteurs A(M) étant défini et continu
en tout point de L, on appelle circulation de A(M) sur le parcours L l'intégrale curviligne
1. 4 Flux d'un vecteur
Soit une surface élémentaire dS localisée en M définie par son vecteur surface dS = dS n, n étant le vecteur
unitaire suivant la normale à dS. On appelle flux du vecteur A(M) à travers dS le produit scalaire
d = A(M). dS = dS A(M). n
S étant une surface définie en chacun de ses points par le vecteur unitaire normal n(M), n(M) est une
fonction vectorielle continue et le flux de A(M) à travers S s'écrit:
L'orientation de n(M) est arbitraire et de celle-ci dépend le signe du flux du vecteur A(M) à travers la
surface S. Dans le cas d'une surface fermée on oriente généralement la normale vers l'extérieur.
1. 5 Théorème d'Ostrogradski
Considérons un domaine D de l'espace affine E, dans lequel le champ de vecteurs A(M) est défini en tout
point. Soit une surface fermée S, caractérisée en chacun de ses points par le vecteur unitaire n(M), et délimitant
un volume V de D.
Il existe alors une fonction scalaire div A(M), appelée divergence de A(M) au point M, définie en tout point du
domaine D, telle que
dV est l'élément de volume centré sur le point M de V et dS l'élément de surface entourant le point P de S. Cette
relation constitue le théorème d'Ostrogradski. On peut l'exprimer de la façon suivante: Le flux du vecteur A(M)
à travers une surface fermée est égal à l'intégrale volumique de div A(M) sur le volume qu'elle délimite.
1. 6 Théorème de Stokes
Soit un champ de vecteurs A(M) défini en tout point du domaine D de l'espace affine E, et un parcours fermé
et orienté L (contour orienté). Considérons une surface S s'appuyant sur L, caractérisée par son vecteur normal
n(M), orienté de façon à ce que le déplacement élémentaire dP sur L et n(M) forme un repère direct de E.
Il existe une fonction vectorielle rot A(M), appelée rotationnel de A(M) au point M, définie en tout point du
domaine D, telle que
dP est le déplacement élémentaire du point P sur L et dS l'élément de surface entourant le point M de S. Cette
relation est l'expression du théorème de Stokes. On peut l'énoncer par: La circulation du vecteur A(M) sur un
parcours fermé L est égale au flux de rot A(M) à travers une surface quelconque s'appuyant sur L.
1. 7 Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel vecteur
Par définition, dans un domaine D de l'espace affine E, on dit que le champ de vecteurs A(M) dérive du
potentiel vecteur V(M), si en tout point M de D, la relation
A(M) = rot V(M) est vérifiée.
Cette définition entraîne quelques propriétés particulières. Considérons une surface S, quelconque,
s'appuyant sur un parcours fermé L. Le théorème de Stokes montre que
dP est le déplacement élémentaire du point P sur L, dS l'élément de surface entourant le point M de S et n(M) le
vecteur unitaire normal à S en M.
Il apparaît donc que le flux d'un vecteur A(M), dérivant d'un potentiel vecteur, à travers une surface
quelconque S s'appuyant sur un parcours fermé L, est égal à la circulation de son vecteur potentiel sur ce
parcours fermé. Le flux de A(M) ne dépendant que de L, on pourra parler de flux de A(M) à travers le parcours
fermé L sans préciser le choix de la surface S.
Si dans le domaine D, le vecteur A(M) dérive d'un potentiel vecteur, son flux à travers une surface S ne
dépend donc que du parcours L sur lequel elle s'appuie. Faire décroître L vers zéro revient à faire tendre S vers
une surface fermée. Par passage à la limite on voit donc que, si un champ de vecteurs dérive d'un potentiel
vecteur, son flux à travers une surface fermée quelconque est nul.
En appliquant le théorème d'Ostrogradski, quelque soit la surface fermée S, telle que le volume V
qu'elle délimite soit inclus dans le domaine D, en tout point M de D on peut écrire,
<=>
div A(M) = 0.
On dit alors que A(M) est à flux conservatif. On retiendra que cette relation est une condition nécessaire
et suffisante pour que le champ de vecteurs A(M) dérive d'un potentiel vecteur.
2. RELATIONS UTILES
On peut rappeler, sans les démontrer, quelques relations vectorielles utiles en électromagnétisme.
Considérons pour cela:
- les nombres complexes a et b,
- les fonctions scalaires U(M) et V(M),
- les fonctions vectorielles A(M) et B(M).
2. 1 Relations différentielles
grad [aU(M) + bV(M)] = a grad U(M) + b grad V(M)
grad [U(M)V(M)] = U(M) grad V(M) + V(M) grad U(M)
grad [A(M). B(M)] = [A(M). grad]B(M) + [B(M). grad]A(M)
+ A(M) x rot B(M) + B(M) x rot A(M)
div [aA(M) + bB(M)] = a div A(M) + b div B(M)
div [U(M)A(M)] = U(M) div A(M) + A(M). grad U(M)
div [A(M) x B(M)] = B(M). rot A(M) - A(M). rot B(M)
rot [aA(M) + bB(M)] = a rot A(M) + b rot B(M)
rot [U(M)A(M)] = U(M) rot A(M) + grad U(M) x A(M)
rot [rot A(M)] = grad [div A(M)] - A(M)
rot [A(M) x B(M)] = A(M) div B(M) - B(M) div A(M)
+ [B(M). grad]A(M) - [A(M). grad]B(M)
rot [grad U(M)] = 0
div [rot A(M)] = 0
div [grad U(M)] = U(M)
[U(M)V(M)] = U(M) V(M) + 2[grad U(M). grad V(M)] + V(M) U(M)
2. 2 Opérateur nabla
On introduit souvent pour réduire les expressions et faciliter les calculs l'opérateur vectoriel nabla,
représenté par le symbole . Ses composantes dans les principaux systèmes de coordonnées seront précisées
plus tard. Cet opérateur vérifie les propriétés suivantes:
3. EXPRESSIONS ANALYTIQUES
Coordonnées cartésiennes
Considérons un repère orthonormé cartésien (O, i, j, k) de l'espace affine E, un point M(x, y, z), une fonction
scalaire U(M) et un vecteur champ A(M) = ax(M) i + ay(M) j + az(M) k.
Déplacement élémentaire du point M
dM = dx i + dy j + dz k
Différentielle de la fonction scalaire U(M)
Vecteur gradient de la fonction scalaire U(M)
Laplacien de la fonction scalaire U(M)
Laplacien vectoriel du vecteur A(M)
A(M) = ax(M) i + ay(M) j + az(M) k
Circulation élémentaire du vecteur A(M)
C = A(M) . dM = ax dx + ay dy + az dz
Divergence du vecteur A(M)
Rotationnel du vecteur A(M)
Opérateur Nabla