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Cours de physique
générale I Ph 11
http://jam.bouguechal.free.fr
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

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Trajectoire rectiligne :

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.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

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55

Vecteur-vitesse

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Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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58

y

θ

x

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Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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78

Vecteur-accélération

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81

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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104

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

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109

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

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!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Autre méthode :

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43

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


Slide 8

Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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cours de Physique I

113


Slide 9

Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

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Trajectoire rectiligne :

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.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

M

M’

y

x
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M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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58

y

θ

x

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Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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cours de Physique I

6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Elément de longueur :

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cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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62

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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cours de Physique I

5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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cours de Physique I

6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

M

M’

y

x
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M’
M

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Vecteur-accélération

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Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

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cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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109

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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cours de Physique I

5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

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cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

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Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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112

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113


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générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

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cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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cours de Physique I

6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

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cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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Vecteur-accélération

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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109

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cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Eléments de surface :
dr

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Eléments de volume :

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Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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2.
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Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

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cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

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62

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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105

Eléments de surface :
dr

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Eléments de volume :

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Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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cours de Physique I

3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


Slide 82

Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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62

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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générale I Ph 11
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Eléments de surface :
dr

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Eléments de volume :

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Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

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Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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M’
M

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Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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104

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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générale I Ph 11
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1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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cours de Physique I

24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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cours de Physique I

20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


Slide 92

Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


Slide 94

Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


Slide 95

Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

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cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

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Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

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Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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38

z

M

M’

y

x
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M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

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55

Vecteur-vitesse

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Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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58

y

θ

x

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Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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Vecteur-accélération

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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Eléments de surface :

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Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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cours de Physique I

6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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cours de Physique I

99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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cours de Physique I

21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

est

26

Trajectoire rectiligne :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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cours de Physique I

30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

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cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

67

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

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cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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cours de Physique I

87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


Slide 107

Cours de physique
générale I Ph 11
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

33

Vecteur-position (rayon vecteur)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

38

z

M

M’

y

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

39

M’
M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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40

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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cours de Physique I

67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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62

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

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cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

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9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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M’
M

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40

Vecteur-accélération

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42

Autre méthode :

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43

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44

Elément de longueur :

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45

Eléments de surface :

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46

Elément de volume

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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Vecteur-vitesse

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63

Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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θ

x

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M’

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68

Eléments de surface :

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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Vecteur-vitesse

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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Vecteur-accélération

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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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z

M’

z

M

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88

Eléments de surface :

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89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

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15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

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16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

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17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

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18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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23

!!!

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24

ATTENTION :

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

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cours de Physique I

45

Eléments de surface :

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cours de Physique I

46

Elément de volume

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cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

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67

M’

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cours de Physique I

68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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cours de Physique I

102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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cours de Physique I

111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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cours de Physique I

3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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cours de Physique I

4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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cours de Physique I

13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

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cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
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19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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cours de Physique I

48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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cours de Physique I

52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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cours de Physique I

54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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cours de Physique I

57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

58

y

θ

x

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cours de Physique I

59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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cours de Physique I

60

Vecteur-vitesse

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cours de Physique I

61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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cours de Physique I

64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

65

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

66

θ

x

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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67

M’

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68

Eléments de surface :

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cours de Physique I

69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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cours de Physique I

70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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cours de Physique I

72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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cours de Physique I

73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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cours de Physique I

75

Expression du vecteur position

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

76

Vecteur-vitesse

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

78

Vecteur-accélération

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

85

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

87

z

M’

z

M

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

88

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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cours de Physique I

93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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cours de Physique I

103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

106

Eléments de volume :

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cours de Physique I

107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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cours de Physique I

108

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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109

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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110

10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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111

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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112

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113


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Cours de physique
générale I Ph 11
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cours de Physique I
1

Chapitre trois : Cinématique

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire et son repérage
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
10. Exemples de mouvements
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2

1. Objet de la cinématique

La cinématique : est l’étude des mouvements d’un
corps indépendamment de toutes causes capables de
le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations entre les causes
du mouvement et leurs effets.

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3

2. Le temps et l’espace

Un repère : c’est un ensemble de points rigidement
liés les uns aux autres permettant de définir un
repérage de l’espace.
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et
d’une horloge permettant de définir un repérage des
instants ou des durées

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4

3. La trajectoire

C’est la courbe décrite par le centre de gravité du
mobile.
Un mobile peut être repéré de différentes manières.

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5

☻ par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayonvecteur)

Sens du mouvement
trajectoire

O fixe

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6

☻ par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
z

Sens du mouvement

y

O
trajectoire

x

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cours de Physique I

7

 par ses coordonnées cartésiennes M (x(t), y(t), z(t))

z

z

M(x(t);y(t);z(t))
y
O

y

x

x

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cours de Physique I

8

 par ses coordonnées polaires M (r(t),(t))

y

θ

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x

cours de Physique I

9

 par ses coordonnés cylindriques M ((t), (t), z(t))

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

10

 par ses coordonnées sphériques M (r(t),(t),(t))

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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11

 par son abscisse curviligne s = OM

Origine

O

S1 > 0

S2 < 0

M1

M2
Sens du mouvement
s = OM distance de O : point fixe; à M en valeur algébrique.

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cours de Physique I

12

 par un repère mobile : le trièdre de Frenet

Sens du mouvement
trajectoire
Le repère de Frenet est un repère mobile.
Vecteur unitaire tangent à la trajectoire orienté dans le sens du mouvement
Vecteur unitaire normal orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

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13

4. Le vecteur-position et vecteur-vitesse

M’
Que représente ce vecteur ?

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t.

O fixe

c’est le vecteur position (ou rayon-vecteur) à l’instant t’= t +δt.

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

14

La variation du vecteur-position est donnée par :

M’

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

15

Le vecteur-vitesse moyen est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

16

Le vecteur-vitesse a la même
direction et le même sens que :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

17

Le vecteur-vitesse instantané est donné par :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

18

.

est tangent à la trajectoire si M’  M, ou si δt → 0

Le vecteur-vitesse instantané est toujours tangent
à la trajectoire.
29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

19

,(

On peut donc écrire :

vecteur unitaire tangent à la trajectoire.

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20

5. Le vecteur-accélération

O fixe

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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21

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

22

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

23

!!!

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24

ATTENTION :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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25

La direction du vecteur accélération
quelconque, cela dépend de la trajectoire.

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est

26

Trajectoire rectiligne :

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27

.

Trajectoire non-rectiligne :

Le vecteur-accélération est orienté vers l’intérieur de la
courbure et a en général deux composantes :

L’une portée par la tangente : elle sert à renseigner sur la variation de la norme du
vecteur-vitesse.

L’autre portée par la normale et dirigé vers l’intérieur de la courbure sert à changer
la direction du vecteur vitesse.

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28

α

L’angle α entre le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération peut
prendre toutes les valeurs entre 0° et 180°.

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29

Le vecteur-accélération a la même
direction et le même sens que ΔV.

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30

:

6. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cartésiennes

C’est la base en coordonnées cartésiennes, elle est fixe, les vecteurs unitaires
ne varient pas dans le temps et forment un trièdre direct.
Elle est orthonormée ( orthonormal )

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31

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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32

Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x, y, z)

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33

Vecteur-position (rayon vecteur)

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34

Vecteur-vitesse

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35

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

36

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

37

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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38

z

M

M’

y

x
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cours de Physique I

39

M’
M

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40

Vecteur-accélération

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41

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

42

Autre méthode :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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43

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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44

Elément de longueur :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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45

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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46

Elément de volume

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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47

Exemple : volume d’un parallélépipède de coté a, b, c.

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48

7. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
polaires

y

θ

x

O

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49

La base en coordonnées polaires changent de direction au cours du temps,
elle est donc mobile

y

θ

O

x

θ

n’est pas tangent à la trajectoire en général.
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50

Les coordonnées polaires du point M sont (r, θ)

Attention r et θ n’ont pas la même
dimension et donc pas la même unité !!
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51

Expression du vecteur position

θ

x

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52

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

53

Passage en coordonnées cartésiennes :
y

y
θ

x

x

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54

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

55

Vecteur-vitesse

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56

Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant( variable)

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57

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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58

y

θ

x

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59

Quand on dérive un vecteur
unitaire par rapport à son angle
polaire θ, on obtient un vecteur
unitaire
perpendiculaire
au
premier. On dit qu’il a tourné de
π/2 dans le sens trigonométrique.
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60

Vecteur-vitesse

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61

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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62

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

63

Vecteur-accélération

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64

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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65

Elément de longueur :

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66

θ

x

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67

M’

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68

Eléments de surface :

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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69

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon R

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70

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

71

8. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
cylindriques

z
z
M((t); (t); z(t))
y

O
θ

ρ

x
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72

Les coordonnées cylindriques du point M sont :

M(; ; z)

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73

sont des vecteurs variables.
est un vecteur constant.

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74

z
z
M(; ; z)
y

O
θ

ρ

H
x
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75

Expression du vecteur position

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76

Vecteur-vitesse

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77

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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78

Vecteur-accélération

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79

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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80

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

81

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

cours de Physique I

82

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

z
M(; ; z)

y

O
θ

y

ρ

x

H

x
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83

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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84

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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85

Elément de longueur :

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86

z
z
M(; ; z)
y

O
θ
ρ

H
x
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87

z

M’

z

M

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cours de Physique I

88

Eléments de surface :

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cours de Physique I

89

Elément de volume

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cours de Physique I

90

Exemple : volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h.
Pour balayer ce cylindre, il faut faire varier les variables entre :

et faire la somme de tous les éléments de volume.

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91

9. Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées
sphériques.

z

θ

M(r(t); (t); (t))
y

O


x
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92

Les coordonnées sphériques du point M sont :

M(r; ; φ)

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93

Base en coordonnées sphériques . Tous les vecteurs sont variables.

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94

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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95

z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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96

Expression du vecteur position

M(r; ; φ)

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97

Vecteur-vitesse

Le vecteur
dépend de deux variable  et φ sa dérivée est un peu
compliquée……
déterminons géométriquement les éléments de
longueur…..afin de déterminer le vecteur-vitesse …………….
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98

z

dr

θ

M(r; ; )

dθ

y

O


d

x

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99

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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100

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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101

z
dr

M’(r; ; )

M(r; ; )
dθ

y
d

x

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102

Passage en coordonnées cartésiennes :
z

θ

M(r; ; )
y

O


x
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103

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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104

29/08/2011 IPSA M. Bouguechal 2011-2012

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105

Eléments de surface :
dr

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106

Eléments de volume :

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107

Exemple : volume d’une sphère de rayon R.

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10. Exemples de mouvement.
Ecrire le vecteur-position, le vecteur vitesse ainsi que le vecteur-accélération
dans le cas d’un mouvement circulaire quelconque.
Que deviennent ces vecteurs dans le cas d’un mouvement circulaire
uniforme.
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné
par :
x = a cos
y = a sin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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