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COMPRENDRE : Lois et modèles
Chapitre 5 : Cinématique et dynamique
newtoniennes
Référentiel :
Solide de référence par rapport auquel on étudie le
mouvement d’un système.
Remarque: Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe
d’inertie est vérifié
Dans ce référentiel il faut :
z
Un repère d’espace :
Noté (O;
i , j , k ).
Un repère de temps :
k O
i
x
y
Il correspond à une « horloge » pour laquelle la
date t=0 correspond souvent à l’instant auquel le
mouvement débute.
La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent
Vecteur position :
A la date t, la position d’un point G est donnée par le vecteur
z
OG
Tel que :
z
G
OG = x . i + y . j + z . k
OG
Ou encore écrit comme cela :
OG
x
y
z
k
O
x
x
i
y
j
y
Vecteur vitesse moyenne :
Le vecteur vitesse donne la direction, le sens et la valeur de la vitesse à un
instant donné.
Vecteur vitesse au point G2 ?
𝑽𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏
𝐺1𝐺3
𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 =
𝑡3 − 𝑡1
O
𝐺1𝑂 + 𝑂𝐺3 𝑂𝐺3 − 𝑂𝐺1
𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 =
=
𝑡3 − 𝑡1
𝑡3 − 𝑡1
Donc
∆𝑂𝐺
𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 =
∆𝑡
La vitesse moyenne est égale
à la variation du vecteur
position durant la durée du
parcours.
Vecteur vitesse instantanée :
Quand l’écart entre deux positions successives est de plus en plus petit
alors on pourra écrire que Δt 0.
On définit alors le vecteur vitesse instantanée comme cela:
𝑣 = lim 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛
m.s-1
∆𝑡→0
On écrira alors :
m
𝑑(𝑂𝐺)
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑡
Les coordonnées de ce vecteur s’écrivent comme cela :
dz
dy
dx
___
___
___
v(t) =
i +
j +
k
dt
dt
dt
Ou encore comme cela :
v (t)
.
s
x
.
y
.
z
Vecteur vitesse instantanée :
La norme du vecteur vitesse se calcule avec la formule suivante :
𝑣= 𝑣 =
𝑣𝑥² + 𝑣𝑦² + 𝑣𝑧²
Vecteur accélération:
De même que le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position,
le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
m.s-2
m.s-1
𝑑(𝑣(𝑡))
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑡
s
Vecteur accélération:
Les coordonnées de ce vecteur s’écrivent comme cela :
a(t) =
..
..
..
x i + y j + z k
..
Ou encore comme cela :
a (t)
x
..
y
..
z
Vecteur quantité de mouvement:
Le vecteur quantité de mouvement d’un système ponctuel de masse m est
le produit de sa masse par son vecteur vitesse
Ou encore comme cela :
𝑃 = 𝑚. 𝑣
III-Etude de quelques mouvements
Voir TP
Mouvement rectiligne uniforme:
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne
uniforme si son vecteur vitesse est constant (même valeur, même direction,
même sens). Son vecteur accélération est égale au vecteur nul.
𝑑𝑣
=0
𝑑𝑡
Mouvement rectiligne uniformément varié:
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne
uniformément varié si son vecteur accélération est constant (même valeur,
même direction, même sens).
Mouvement circulaire uniforme:
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire
uniforme si sa trajectoire est un arc de cercle de rayon R et la valeur de sa
vitesse V est constante.
Son vecteur accélération est toujours orienté vers le centre du cercle
(accélération centripète) et a pour valeur:
𝑎=
𝑣²
soit
𝑅
𝑎=
𝑣²
𝑅
.𝑁
Avec 𝑁 , le vecteur normal de la base de Frenet
Mouvement circulaire non uniforme:
Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire
non uniforme si sa trajectoire est un arc de cercle de rayon R et la valeur de
sa vitesse V varie.
Son vecteur accélération est quelconque et a pour expression:
𝑣²
𝑑𝑣
𝑎=
.𝑁 +
.𝑇
𝑅
𝑑𝑡
Avec 𝑁, le vecteur normal et 𝑇, le vecteur tangentiel de la base de Frenet
Remarque:
on peut aussi avoir,
r.2 à la place de v2/r
avec  la vitesse
angulaire.
IV-Les lois de Newton
1ère loi de NEWTON:
Aussi appelée « PRINCIPE D’INERTIE » :
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse d’un système ponctuel
est constant alors la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées
est nulle.
Ou aussi:
Si la somme des forces qui s’appliquent à un système ponctuel est nulle
alors il est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme, dans un
référentiel galiléen.
2nd loi de NEWTON:
Aussi appelée « PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE » :
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à
un système ponctuel est égale à la variation par rapport au temps de son
vecteur quantité de mouvement.
𝒅(𝒎. 𝒗)
𝑭𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝒕
Si la masse se conserve au cours de l’étude, on pourra écrire alors :
𝒅(𝒗)
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎 .
= 𝒎 .𝒂
𝒅𝒕
3ème loi de NEWTON:
Aussi appelée « PRINCIPE D’INTERACTION » :
La force exercée par un corps A sur un corps B est exactement égale à la
force exercée par ce corps B sur le corps A, mais de sens opposés.
𝑭𝑨/𝑩 = -𝑭𝑩/𝑨
Conservation de la quantité de mouvement:
Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un système est soumis à des forces qui se
compensent alors on peut écrire:
𝑭𝒆𝒙𝒕 =
𝒅(𝒑)
𝒅𝒕
= 𝟎 donc
𝒅(𝒑)
𝒅𝒕
=𝟎
Le vecteur quantité de mouvement se conserve
Si ce système se sépare en 2 parties en interaction, les quantités de
mouvement des 2 parties sont opposées car leur somme vectorielle est nulle.
Voir TP : application à la propulsion par réaction