Transcript Cours et exercices de Mathématiques en CPGE 1-TSI

TSI-1
Mathématiques - Programme d’interrogations orales
2014/15
Semaine no 1 - du 22/09/2014 au 28/09/2014
o
Géométrie dans le plan - Calcul vectoriel et
droites du plan
Ce programme d’interrogations est disponible en ligne sur le site http://chauvetmath.free.fr à la rubrique Programme de colles.
Note à l’attention des étudiants
Pour cette première partie de l’année, les interrogations orales se dérouleront en trois temps :
• 1etemps : Pratique calculatoire - 10 minutes maximum
Il s’agit de s’assurer d’une bonne maîtrise de votre part sur des calculs de dérivées, de recherches de primitives,
d’études de signe, de calcul de sommes, de résolution d’équations différentielles notamment. Chaque semaine un
thème de travail sera retenu et précisé dans le programme d’interrogations.
• 2e temps : Résolution d’un exercice préparé - 20 minutes maximum
Il est demandé pour préparer sa colle de travailler les exercices ci-après. Ces derniers portent sur la thématique de
révision de la semaine et demandent de mettre en oeuvre des techniques ou des concepts essentiels ;
• 3etemps : Exercice non préparé en amont - 30 minutes
Il s’agit de traiter un exercice donné par l’interrogateur, et portant sur la thématique de la semaine.
Pratique calculatoire
Calculs de dérivées.
Se reporter au document de travail ELCAL0 - Dérivées et primitives et à la feuille d’exercices CAL0 - Pratique calculatoire - Dérivation et primitives.
Thématique de la semaine : Calcul vectoriel et droites du plan
• Tout le Chapitre - GEO1 - Géométrie du plan - Principaux éléments de géométrie du plan, dont les voici
les principaux éléments :
,→ Systèmes de repérages dans le plan
⊲ Repère cartésien du plan
⊲ Notion de base de vecteurs ;
⊲ Coordonnées polaires
,→ Produit scalaire de deux vecteurs :
⊲ Définition ;
⊲ Projection et produit scalaire ;
⊲ Expression en base orthonormée ;
⊲ Caractérisation de l’orthogonalité ;
⊲ Norme et produit scalaire ;
⊲ Opérations et produit scalaire ;
⊲ Utilisation pour le calcul de grandeurs ;
,→ Déterminant dans un base orthonormée directe :
⊲ Déterminant de deux vecteurs ;
⊲ Expression en base orthonormée ;
⊲ Caractérisation de la colinéarité
⊲ Opérations et déterminant ;
⊲ Interprétation géométrique en terme de calcul
d’aire ;
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• La première partie du Chapitre - GEO2 - Géométrie
du plan - Droites et cercles dans le plan, dont voici
les principaux éléments
,→ Droites du plan :
⊲ Définition par point et vecteur ;
⊲ Obtention d’une équation cartésienne d’une
droite pour une droite définie par un vecteur
normal ;
⊲ Interprétation des coefficients d’une équation
de droite ;
⊲ Représentation paramétrique d’une droite ;
⊲ Applications :
– Intersection de droites ;
– Distance point/droite ;
– Projection orthogonale d’un point sur une
droite ;
M.Chauvet - Lycée E. d’Alzon
TSI-1
Mathématiques - Programme d’interrogations orales
2014/15
Exemples de savoir faire à maîtriser
La liste ci-dessous n’est pas exhaustive, et toute technique en rapport avec les contenus précédemment listés peut
bien évidemment vous être demandé.
• Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux/colinéaires ;
• Déterminer une équation cartésienne d’une droite définie par un point et un vecteur ;
• Déterminer un système de représentation paramétrique d’une droite ;
• Passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique et inversemment ;
• Calculer la distance d’un point à une droite ;
• Étudier la position relative de deux droites ;
• Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Reprendre les exercices traités en classe peut être à ce propos un bon moyen pour s’approprier ces éléments.
Exercices à préparer
E x. n o 1
Équation de droites
(1). Déterminer
une
¶ équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A (1, 3) et de vecteur direcµ
→
− −3
.
teur u
4
(2). Calculer la distance du point B (−4, 6) à la droite D.
(3). Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de B sur D.
E x. n o 2
Représentation paramétrique
(1). Donner une
paramétrique de la droite D qui passe par le point A (−3, 4) et de vecteur
¶
µ représentation
→
− −5
.
normal n
4
(2). Donner une équation cartésienne de D.
(3). Étudier la position relative de la droite D et de la droite ∆ où ∆ est la droite d’équation cartésienne
5x + 3y − 7 = 0.
E x. n o 3
Produit scalaire
°→
°
°→
°
→
−
→
−
→
− →
−
°− °
°− °
(1). u et v sont deux vecteurs du plan tels que : ° u ° = 2, ° v ° = 5 et u . v = −7. Calculer :
→
− ³ →
−
→
−´
(a). u . − u + 6 v ;
³→
− →
−´ ³ →
−
→
−´
(b). u + v . 3 v − 2 v ;
³ →
−
→
−´ ³ →
−
→
−´
(c). 2 v + 3 u . − u + 4 v .
¶
¶
µ
µ
→
− m −2
→
− m −1
soient orthogoet v
(2). Déterminer les valeurs du réel m pour que les vecteurs u
2
2−m
naux.
Programme à venir
• Reprise du programme de la semaine no 1 ;
• Pratique calculatoire : dérivées ou primitives ;
• Cercles dans le plan.
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