Transcript Géométrie vectorielle Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction En géométrie vectorielle, nous nous intéressons, dans un premier volet, à la description.

Géométrie
vectorielle
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
En géométrie vectorielle, nous nous intéressons, dans un premier volet,
à la description par des équations de lieux géométriques dans R2 et
dans R3. Ces lieux sont des droites ou des plans dont les
caractéristiques géométriques sont données à l’aide de vecteurs et de
points.
Le deuxième volet est la détermination des positions relatives de ces
lieux et de leur intersection. Il s’agit essentiellement de résoudre des
systèmes d’équations et d’interpréter le résultat selon le contexte.
Le troisième volet porte sur le calcul d’angles et de distances dans le
plan et dans l’espace ainsi que sur la détermination du point d’un lieu
le plus rapproché d’un point hors de ce lieu.
Dans cette étude, nous utilisons les produits de vecteurs, produit
scalaire, produit vectoriel et produit mixte. Nous utilisons la
description vectorielle d’un lieu (droite ou plan) pour obtenir la
description paramétrique de ce lieu.
Produits de vecteurs
Dans cette première section, nous reverrons les trois
produits de vecteurs et leur interprétation géométrique.
Produit scalaire
Géométriquement, le produit scalaire de deux vecteurs est le produit
des modules par le cosinus de l’angle entre les vecteurs.
Cette interprétation géométrique permet de calculer l’angle entre
deux vecteurs. En effet, en isolant cos q , on obtient :
On peut également se
servir de ce résultat pour
calculer l’angle entre des
droites et des plans.
Projection et produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs donne le
produit du module de l’un des deux et de la
longueur dirigée de la projection orthogonale
du second sur le premier.
Par conséquent, la longueur de la projection
orthogonale d’un vecteur sur l’autre est donnée
par :
Cela permet de calculer des distances dans R2 et dans R3.
Produit scalaire de vecteurs algébriques
Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut
être obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la
base orthonormée usuelle, les composantes véhiculent l’information
sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle
entre ceux-ci.
Nous utilisons cette façon de faire pour effectuer le produit scalaire
de vecteurs algébriques dans R2 et dans R3 lorsqu’on veut calculer
des angles ou des distances.
Produit vectoriel
Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens
du vecteur à gauche du symbole d’opération de telle sorte que l’on
puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du
symbole d’opération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel.
Module du produit vectoriel
Dans le produit vectoriel, le
module est égal au produit des
modules et du sinus de l’angle
entre ceux-ci.
Produit vectoriel de vecteurs algébriques
Le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R3 peut être
obtenu directement à partir des composantes. En effet, dans la base
orthonormée usuelle, les composantes véhiculent l’information sur la
direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre
ceux-ci.
En géométrie vectorielle, on utilise ce produit pour calculer la
distance d’un point à une droite.
Produit mixte
Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs algébriques de R3 peut être obtenu
directement à partir des composantes dans la base orthonormée
usuelle.
On utilise le produit mixte pour déterminer l’équation cartésienne
d’un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs et un point ou
l’équation d’un plan dont on connaît trois points. On l’utilise
également pour trouver la distance d’un point à un plan en
considérant que cette distance est la hauteur d’un parallélépipède.
Produits nuls
Produit scalaire nul
Le produit scalaire est nul si et seulement si les deux vecteurs sont
perpendiculaires. En effet, cos 90° = 0.
Produit vectoriel nul
Le produit vectoriel est nul si et seulement si les deux vecteurs sont
colinéaires. En effet, sin 0° = 0 et sin 180° = 0. Pour des vecteurs
algébriques de R3, cela se traduit par le fait que le déterminant
comporte deux lignes proportionnelles.
Produit mixte nul
Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont
coplanaires. Pour des vecteurs algébriques de R3, cela se traduit par
le fait que l’une des lignes du déterminant est combinaison linéaire
des deux autres.
Équations cartésiennes
Dans cette deuxième section, nous présentons les
procédures pour trouver l’équation cartésienne
d’une droite de R2 et d’un plan dans R3.
Équation d’une droite de R2
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons une droite dont on connaît un
point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b).
Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite,
il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire
au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0,
d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0.
Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne
par c. On a donc une équation de la forme :
ax + by + c = 0
Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation
d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b).
Remarque :
Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables
donnent un vecteur normal à la droite.
Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons un plan dont on connaît
un point R(x1; y1; z1) et un vecteur
normal N = (a; b; c).
Pour qu’un point P(x ; y; z) soit dans
ce plan, il faut que le vecteur RP
soit perpendiculaire au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b; c) • (x – x1; y – y1 ; z – z1) = 0,
d’où : ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 et l’équation cartésienne est :
ax + by + cz + d = 0, où d = – ax1 – by1 – cz1
Remarque :
Dans l’équation cartésienne du plan, les coefficients des variables
donnent un vecteur normal au plan.
Équations vectorielles
et équations paramétriques
Dans cette troisième section, nous présentons les procédures
pour trouver l’équation vectorielle et les équations paramétriques d’une droite de R2, d’une droite de R3 et d’un plan
dans R3. Mais tout d’abord, nous rappelons comment situer
un point dans un repère par un vecteur position.
Vecteur position
Rappelons qu’un repère d’une droite
est constitué d’un point de celle-ci et
d’un vecteur directeur.
À partir d’un point fixe considéré
comme origine, on peut décrire
chaque point de la droite par un
vecteur position.
En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on
obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit :
OX = OP + t D, où t est un nombre réel.
Remarque :
Dans R2, les vecteurs OX, OP et D s’expriment en fonction de la base.
On utilisera la base orthonormée usuelle.
Équations paramétriques d’une droite de R2
Un point et un vecteur directeur sont donnés
Considérons une droite dont on connaît
un point R(x1; y1) et un vecteur directeur
D = (a; b).
Soit un point P(x; y) de cette droite, alors :
OP = OR + RP , d’où :
OP = OR + t D, où t est un nombre réel.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y) = (x1; y1) + t (a; b) = (x1 + a t; y1 + b t) , où t est un nombre réel.
L’égalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite :
x = x1 + a t
, où t est un nombre réel.
∆:
y = y1 + b t
Remarque :
Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du
paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes
donnent un point de la droite.
Équations paramétriques d’une droite de R3
Un point et un vecteur directeur sont donnés
Considérons une droite dont on connaît
un point R(x1; y1; z1) et un vecteur directeur D = (a; b; c).
Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors :
OP = OR + RP , d’où :
OP = OR + t D, où t est un nombre réel.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t; z1 + c t),
où t est un nombre réel.
x = x1 + a t
D’où l’on tire : ∆ : y = y1 + b t , où t est un nombre réel.
z = z1 + c t
Remarque :
Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la
droite et les constantes donnent un point de la droite.
Équations paramétriques d’un plan de R3
Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés
Considérons un plan dont on connaît un
point R(x1; y1; z1) et deux vecteurs directeurs D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f).
Soit un point P(x; y; z) de ce plan, alors :
OP = OR + RP, d’où :
OP = OR + s D1 + t D2 , où s et t  R.
Cela donne l’équation vectorielle :
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + s (a; b; c) + t (d; e; f)
= (x1 + a s + d t; y1 + b s + e t; z1 + c s + f t), où s et t  R.
x = x1 + a s + d t
D’où l’on tire : ∏ : y = y1 + b s + e t , où s et t  R.
z = z1 + c s + f t
Remarque :
SS
Dans la description paramétrique, les coefficients des paramètres
donnent des vecteurs directeurs du plan et les constantes donnent un
point du plan.
Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et deux vecteurs directeurs sont donnés
Considérons un plan dont on connaît un
point R(x1; y1; z1) et deux vecteurs directeurs D1 = (a; b; c) et D2 = (d; e; f).
On peut trouver l’équation cartésienne de
ce plan de la façon suivante. Soit un point
P(x; y; z) du plan.
Alors, les vecteurs RP, D1 et D2 sont
coplanaires.
On a donc : RP • ( D1  D2 ) = 0, où RP = (x – x1; y – y1; z – z1)
Remarque :
On procède de façon analogue lorsqu’on connaît trois points A, B et C
d’un plan. À l’aide de ces points, on détermine deux vecteurs
directeurs du plan, soit D1 = AB et D2 = AC. La contrainte pour qu’un
point P(x; y; z) soit dans ce plan est alors que les vecteurs AB, AC et AP
soient coplanaires. Leur produit mixte est donc nul.
Calcul d’angles
Dans cette quatrième section, nous présentons les procédures
pour trouver l’angle entre deux droites de R2, l’angle entre
deux plans de R3, l’angle entre deux droites de R3 et l’angle
entre une droite et un plan de R3.
Angle entre deux droites dans R2
Pour calculer l’angle entre deux droites dans R2, on doit déterminer
des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et
calculer l’angle entre ceux-ci.
Rappelons que l’angle entre deux droites est
toujours le plus petit des deux. Il est donc
compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre
deux vecteurs est compris entre 0° et 180°.
On peut rencontrer différents cas.
Vecteurs
normaux
directeurs
faisant
faisant
unangle
anglenormal
aigu
obtus
aigu faisant un angle obtus
obtus
Un vecteur
directeur
et unun
vecteur
aigu
L’angle
entre
lescas,
lel’angle
de l’angle
aigu
entre
L’angle
Dans
cesentre
deuxles
vecteurs
droites
l’angle
estestentre
a
=complémentaire
q les
– 90°.
supplémentaire
vecteurs est
l’angle
de celui
entre
entre
les
les droites.
vecteurs.
a donc
= 90°–– q.q.
droites.
les
OnOn
a On
donc
a donc
a =aq.a
= 180°
Soit q , l’angle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), l’angle a
Dans
les
deux directement
cas, l’angle entre
les a
droites
complémentaire
Pour
obtenir
l’angle
(entreest0°le et
90°), on prenddela
entre les
droites est donné par
:
l’angle
aigu obtenu
en
valeur absolue
avanta
de
calculer
=prenant
q,
si 0° ≤lal’arccosinus.
q valeur
≤ 90° absolue avant de calculerS
l’arccosinus. On prend ensuite a = 90° – q.
a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°
Angle entre deux plans dans R3
Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer
des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle q
entre ceux-ci.
L’angle entre deux plans est
toujours compris entre 0° et 90°
alors que l’angle entre les vecteurs
peut être aigu ou obtus.
Si q est l’angle entre les vecteurs
normaux, l’angle a entre les plans
est donné par :
a = q, si 0° ≤ q ≤ 90°
a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°
Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue
avant de calculer l’arccosinus.
Angle entre deux droites dans R3
Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit
déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer
l’angle entre ceux-ci.
Dans R3, deux droites coplanaires,
peuvent être concourantes ou
parallèles.
Des droites non-coplanaires, sont
appelées droites gauches. L’angle
entre deux droites est défini même si
les droites sont gauches, et c’est
l’angle aigu formé par les vecteurs
directeurs de ces droites.
L’angle entre deux droites est toujours compris entre 0° et 90°, on
peut donc prendre la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.
Angle entre une droite et un plan dans R3
Pour calculer l’angle entre un plan ∏ et une droite ∆ dans R3, on doit
déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la
droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.
On prend la valeur absolue avant de
calculer l’arccosinus pour obtenir
l’angle q compris entre 0° et 90° .
L’angle entre le plan et la droite est
l’angle complémentaire de q , soit :
a = 90° – q
Calcul de distances
Dans cette cinquième section, nous présentons les procédures
pour calculer des distances dans R2 et dans R3.
Distances dans R2
Distance d’un point Q à une droite
dont on connaît un vecteur normal.
On détermine un point P sur la droite
ainsi que le vecteur PQ. La distance
cherchée est alors la longueur de la
projection du vecteur PQ sur le vecteur
normal N.
Distance entre deux droites parallèles
dont on connaît un vecteur normal.
On détermine un point P sur une des
droites et un point Q sur l’autre. On
détermine alors le vecteur PQ. La
distance cherchée est la longueur de la
projection du vecteur PQ sur le vecteur
N normal aux deux droites.
Distances dans R3
Distance d’un point Q à un plan ∏ dont on connaît un vecteur normal.
On détermine un point R du plan ainsi
que le vecteur RQ. La distance cherchée
est alors la longueur de la projection du
vecteur RQ sur le vecteur normal N.
Distance entre deux plans
On détermine un point R dans un plan
et un point Q dans l’autre.
On détermine ensuite la longueur de la projection du vecteur RQ sur
le vecteur normal N. C’est la distance cherchée.
Remarque :
Pour supporter la démarche, on ne représente habituellement pas le
système d’axes. On donne simplement un plan, le vecteur normal N et
le vecteur RQ joignant le point du plan à celui hors du plan.
Distances dans R3
Distance d’un point Q à un plan dont
on connaît deux vecteurs directeurs.
On détermine un point R du plan ainsi
que le vecteur RQ. On détermine le
volume du parallélépipède construit sur
les trois vecteurs, D1, D2 et RQ, donné
par la valeur absolue du produit mixte.
La distance cherchée est la hauteur du
parallélépipède.
On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module
du produit vectoriel des vecteurs directeurs.
Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points.
Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en considérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.
Distances dans R3
Distance d’un point Q à une droite
dont on connaît un vecteur directeur.
On détermine un point R de la droite
ainsi que le vecteur RQ. La distance
cherchée est alors la hauteur du
parallélogramme construit sur les vecteurs RQ et D. Le module du produit
vectoriel donne l’aire de ce parallélogramme et on divise par la longueur
de la base, soit le module du vecteur
directeur.
Distance d’un point Q à une droite
dont on connaît deux points R et P.
On procède de la même façon en
considérant D = RP.
Distances dans R3
Distance entre deux droites gauches
(première méthode).
Deux droites gauches sont toujours
contenues dans des plans parallèles.
On considère un point P de l’une
des droites et un point R de l’autre
droite pour construire le vecteur
PR.
On détermine un vecteur normal aux deux plans en effectuant le
produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites gauches.
La distance cherchée est alors la longueur de la projection du
vecteur PR sur le vecteur normal N.
Distances dans R3
Distance entre deux droites gauches
(deuxième méthode).
On considère un point P de l’une
des droites et un point R de
l’autre droite pour construire le
vecteur PR.
Par le produit mixte, on
détermine le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs D1, D2 et PR.
La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on
obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des
vecteurs directeurs.
Le point le plus près
Dans cette sixième section, nous présentons les procédures
pour déterminer le point d’un lieu géométrique le plus près
d’un point hors de ce lieu. Le point cherché peut être obtenu
par une approche vectorielle ou en déterminant l’intersection
de deux lieux géométriques.
Le point le plus près dans R2
Procédure
Approche vectorielle
pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un
point Q hors de cette droite par une approche vectorielle.
1. Déterminer un point P quelconque sur la droite.
2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR :
PR + RQ = PQ
a D + b N = PQ
3. Effectuer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le
vecteur normal ou le vecteur directeur, selon le cas.
4. Déterminer la valeur du scalaire, a ou b, dans l’équation scalaire
obtenue après avoir effectué ce produit.
5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R
cherché.
Le point le plus près dans R2
Intersection de lieux
Le point d’une droite le plus près d’un point
Q hors de cette droite dont on connaît un
vecteur normal (équation cartésienne).
Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.
Le vecteur normal à ∆ est un vecteur directeur de cette droite qui passe par le point Q.
On obtient une description paramétrique de la perpendiculaire et on
peut déterminer le point de rencontre des deux droites.
Pour trouver le point de rencontre, il suffit de substituer les équations
paramétriques dans l’équation cartésienne pour déterminer la valeur
du paramètre au point de rencontre. On substitue cette valeur dans les
équations paramétriques pour obtenir les coordonnées du point.
Le point le plus près dans R2
Intersection de lieux
Le point d’une droite le plus près d’un point Q
hors de cette droite dont on connaît un vecteur
directeur (description paramétrique).
Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.
Le vecteur directeur de ∆ est un vecteur
normal à cette droite perpendiculaire qui
passe par le point Q.
On obtient une équation cartésienne de la perpendiculaire et on peut
déterminer le point de rencontre des deux droites.
Le point le plus près dans R3 (plan)
Procédure
Approche vectorielle
pour déterminer le point R d’un plan le plus rapproché d’un point
Q hors de ce plan par une approche vectorielle.
1. Déterminer un point P quelconque du plan.
2. Écrire l’équation vectorielle du triangle
PQR :
PR + RQ = PQ
PR + b N = PQ
3. Effectuer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le vecteur normal.
4. Déterminer la valeur du scalaire, b, dans
l’équation scalaire obtenue par ce produit.
5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R
cherché.
OQ + QR = OR
Le point le plus près dans R3
Intersection de lieux
Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on
connaît un vecteur normal (équation cartésienne).
Le point cherché est le pied de la
perpendiculaire abaissée du point Q
sur le plan ∏.
Cette perpendiculaire est une droite
∆ passant par le point Q et ayant
comme vecteur directeur le vecteur
normal au plan ∏.
On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆
et trouver son intersection avec le plan ∏.
Le point le plus près dans R3 (droite)
Procédure
Méthode vectorielle
pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un
point Q hors de cette droite par une approche vectorielle
1. Déterminer un point P quelconque de la
droite.
2. Écrire l’équation vectorielle du triangle
PQR :
PR + RQ = PQ
aD + RQ = PQ
3. Déterminer le produit scalaire des deux
membres de l’équation par le vecteur
directeur.
4. Calculer la valeur du scalaire, a, dans
l’équation scalaire obtenue par ce produit.
5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R
cherché.
OP + PR = OR
Le point le plus près dans R3 (droite)
Intersection de lieux
Le point R d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite
dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique).
Le point cherché est le pied de la
perpendiculaire abaissée du point Q
sur la droite ∆.
Cette droite est dans un plan ∏
perpendiculaire à ∆ et passant par le
point Q. Le vecteur directeur de la
droite ∆ est donc un vecteur normal
au plan ∏.
On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et
trouver son intersection avec la droite ∆.
Les points les plus rapprochés (droites gauches)
Procédure
Méthode des vecteurs directeurs
pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches
1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et
déterminer le vecteur PR, où P est le point
connu de ∆1 et R celui de ∆2.
2. Exprimer PR comme combinaison linéaire
des vecteurs directeurs et du vecteur normal.
a D1 + b N + c D2 = PR
3. Effectuer la multiplication scalaire des deux membres de l’équation
par les vecteurs directeurs pour obtenir un système de deux
équations à deux inconnues.
4. Résoudre le système d’équations pour trouver les scalaires a et c.
5. Utiliser les scalaires obtenus pour déterminer le vecteur position des
point A et B.
Les points les plus rapprochés droites gauches)
Procédure
Méthode du vecteur normal
pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches
1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et
déterminer le vecteur AB , en utilisant les descriptions paramétriques des droites.
2. Déterminer le vecteur normal aux plans
parallèles contenant ces droites.
3. Construire un système
utilisant le fait que
d’équations
en
AB = k N
4. Résoudre le système d’équations.
5. Utiliser les valeurs obtenus pour déterminer les coordonnées des
point A et B.
Conclusion
Les produits de vecteurs constituent des outils très performants en
géométrie vectorielle.
C’est à l’aide des produits que l’on détermine les équations de lieux
géométriques dans R2 et dans R3.
On les utilise également pour calculer des angles, des distances et
pour déterminer le point d’un lieu géométrique le plus près d’un
point hors de ce lieu.
Lecture et exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature. Chapitres 9, 10, 11 et 12.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines. Chapitres 8, 9 et 10.