Transcript translation et l`addition vectorielle

Translations et
vecteurs.
Type d ’activité : leçon illustrée
Bruno DELACOTE
Collège de MASEVAUX
AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits
d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.
1
Conseils et méthode de travail
Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices :
A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et
finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.
Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris
pourquoi tu t’es trompé.
Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous
ou le clic droit de la souris.
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permettent également de naviguer.
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Utiliser la dernière diapositive pour imprimer l'énoncé en noir et blanc.
3
Définition de la translation
Propriété des translations
Sommaire
Le vecteur associé à la translation
Caractérisation vectorielle d ’un parallélogramme
Caractérisation vectorielle du milieu
Composée de deux translations : somme de 2 vecteurs
Méthode pratique pour construire la
somme de deux vecteurs
Les vecteurs : un outil pour démontrer
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La figure F1 glisse sans tourner vers la position F2
On dit que F2 est l ’image de F1
par la translation qui transforme
A en B.
M F1
Ou M en M’….
A
F2
B
M’
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Translation : Dire que le point M’ est l ’image d ’un point M par la
translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère
ABM’M est un parallélogramme.
B
M’
A
M
N
N’
Figure géoplan :
Piloter A, B ou I pour voir les
différents parallélogrammes
Remarque : si N est sur la droite (AB) alors ABN’N est un
parallélogramme aplati
(Les diagonales [AN’] et [BN] du quadrilatère aplati
ABNN’ ont même milieu)
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On retiendra les propriétés suivantes :
Deux figures qui se
correspondent par une
translation ont les mêmes
dimensions, les mêmes mesures
d ’angles et la même aire.
C
B
A
C’
L ’image de trois points
alignés par une translation est
formée de trois points alignés
dans le même ordre.
B’
A’
L ’image d’une droite d par une
translation est une droite
parallèle à d.
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Vecteurs et translations
Lorsque la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D on
dit que ces points pris deux à deux dans cet ordre représente le même

u
vecteur et on note :  AB  CD
C
A
u
u
u
u
u
B
D
On peut dessiner
beaucoup d’autres
représentants du même
vecteur u.
Tous les représentants
d’un même vecteur
sont parallèles, ont
même sens et même
longueur.
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Retenons
Si ABCD est un parallélogramme alors AB  DC
C est l ’image du point D par la translation qui transforme A en B
C
B
A
D
De plus C est l ’image de B par la translation qui transforme A en D
donc
BC  AD
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Retenons:
Si AB  DC alors ABCD est un parallélogramme.
Si AB = DC
C
B
D
A
alors ABCD est un parallélogramme
De plus BC = AD
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Composée de deux translations.
On applique une translation de vecteur u suivie
d’une translation de vecteur v à la figure.
uv
uv
u
u
uv
v
u
v
v
La composée de deux
translations est une
translation.
Le vecteur de la translation composée est appelé
somme des vecteurs des deux translations.
Le vecteur somme u + v ne dépend pas des représentants
de u et v choisis.
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Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on
les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec
l’extrémité du premier.
Si les deux vecteurs sont bien disposés
u
uv
v
Attention au sens des
flèches
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Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on
les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec
l’extrémité du premier.
Si les deux vecteurs ont même origine
u
On dessine un autre
représentant du vecteur v
v
v
uv
Attention au sens des
flèches
13
Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on
les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec
l’extrémité du premier.
Si les deux vecteurs sont placés de façon quelconque
v
u
uv
On dessine un autre
représentant du vecteur v
v
Attention au sens des
flèches
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Méthode pratique : pour construire la somme de deux vecteurs, on
les représente de façon que l’origine du deuxième coïncide avec
l’extrémité du premier.
Si les deux vecteurs sont dans la même direction et de
sens contraire...
Ou de même sens
v
uv
u
w
uw
v
On dessine un autre
représentant du vecteur v
exercices
Attention au sens des
flèches
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Théorèmes à admettre
Etant donnés trois points A,B et I
alors I est le milieu du segment [AB].
si AI = IB
B
I
A
Réciproque
Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB.
A
I
B
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On donne la figure codée suivante.
Hypothèses :
EA=AD=AB=BC=CD
D
C
Démontrer que les droites (ED) et
(AC) sont parallèles.
1) En utilisant des propriétés de
géométrie.
2) En utilisant les vecteurs.
E
A
B
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1ère méthode
Pourquoi le triangle EDB est-il rectangle en D ?
A est le milieu du segment [EB]
et AD = 1/2 EB
D
C
Or
si D est situé sur le cercle de
diamètre [EB] alors le triangle
EDB est rectangle en D.
E
A
B
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Pourquoi les droites (AC) et (BD) sont-elles perpendiculaires?
ABCD est un losange or
D
C
Les diagonales d ’un losange sont
perpendiculaires donc (AC) et (BD)
sont perpendiculaires.
E
A
B
19
D ’après la question 1°
Les droites (ED) et (DB) sont perpendiculaires;
et d ’après la question 2°
les droites (AC) et (DB) sont perpendiculaires.
D
E
A
C
B
Or si deux droites sont
perpendiculaires à une troisième
alors elles sont parallèles.
Donc (ED) et (AC) sont
parallèles.
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2ème méthode
Utilisons les vecteurs
A est le milieu de [EB]
La caractérisation vectorielle du
D
C
milieu permet d'écrire
EA  AB
E
A
B
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Hypothèses :
EA=AD=AB=BC=CD
ABCD est un losange (donc
un parallélogramme)
La caractérisation vectorielle du
parallélogramme permet d'écrire
D
C
DC  AB
E
A
B
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EA  AB
donc
AB  DC
D
C
EA  DC
Alors EACD est un
parallélogramme et ses côtés
opposés [ED] et [AC] sont
parallèles.
E
A
B
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