Transcript La droite dans R Intersections, angles et distances Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs.

La droite dans
3
R
Intersections,
angles et distances
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons
comment utiliser les vecteurs et le produit
scalaire pour calculer :
• l’angle entre une droite et un plan,
• l’angle entre deux droites, gauches ou
concourantes,
• la distance d’un point à une droite,
• la distance entre deux droites gauches,
• le point d’une droite le plus rapproché
d’un point hors de celle-ci.
• les points les plus rapprochés sur deux
droites gauches.
Angle entre une droite et un plan dans R3
Pour calculer l’angle entre une droite ∆ et un plan ∏ dans R3, on doit
déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la
droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.
Si l’angle q entre les vecteurs est aigu, l’angle
a entre la droite et le plan est l’angle
complémentaire de q, soit :
a = 90° – q
Si l’angle q entre les vecteurs est obtus,
l’angle a entre la droite et le plan est donné
par:
a = q – 90°
Exemple 12.3.1
Trouver l’angle entre le plan ∏: 2x – 3y + 4z – 5 = 0
et la droite ∆ :
x = 2 – 3t
y = –5 + 7t
z = –3 – 2t
Le vecteur normal au plan est : N = (2; –3; 4)
et le vecteur directeur de la droite est : D = (–3; 7; –2).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
N • D
N
D
–35
29
62
=
S
–35
29
62
= 145,63°
Puisque 90° < q < 180°, on a a = q – 90° = 145,63° – 90° = 55,63° et
l’angle entre la droite et le plan est de 55,63°.
Angle entre une droite et un plan dans R3
Procédure
pour trouver l’angle entre une droite et un plan dans R3
1. Déterminer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal
au plan.
2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs.
3. Déterminer l’angle entre la droite et le plan à partir de l’angle
entre les vecteurs.
Remarque
• a = 90° – q, si 0° ≤ q ≤ 90°
On peut ramener ces deux cas à
un seul en prenant la valeur
absolue du produit scalaire avant
• a = q – 90°, si 90° ≤ q ≤ 180°
de calculer l’arccosinus.
Exercice
Trouver l’angle entre le plan ∏: 3x – 5y + 2z – 12 = 0
et la droite ∆ :
x = 4 + 5t
y = –2 – 3t
z = 7 + 4t
Le vecteur normal au plan est : N = (3; –5; 2)
et le vecteur directeur de la droite est : D = (5; –3; 4).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
N • D
N
D
38
38
50
=
S
38
38
50
= 29,33°
Puisque 0° < q < 90°, on a a = 90° – q = 90° – 29,33°= 60,66° et l’angle
entre la droite et le plan est de 60,66°.
Angle entre deux droites dans R3
Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit
déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer
l’angle entre ceux-ci.
Dans R3, deux droites coplanaires,
peuvent être concourantes ou
parallèles.
Des droites non-coplanaires, sont
appelées droites gauches. L’angle
entre deux droites est défini même si
les droites sont gauches, et c’est
l’angle aigu formé par les vecteurs
directeurs de ces droites.
Remarque
L’angle entre deux droites, concourantes ou gauches, est toujours
compris entre 0° et 90°.
Exemple 12.3.2
Trouver l’angle entre les droites suivantes :
x = 8 + 6s
x = 2 – 3t
∆2 : y = 2 – 2s
∆1 : y = –5 + 7t
z = –3 – 3s
z = –3 – 2t
Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–3; 7; –2)
et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (6; –2; –3).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
D1 • D2
D1
D2
–26
62
49
=
S
–26
62
49
= 118,15°
Puisque 90° < q < 180°, on a a = 180° – q = 180° – 118,15° = 61,85° et
l’angle entre les droites est de 61,85°.
Angle entre deux droites dans R3
La procédure pour calculer l’angle entre deux droites de R3 est analogue
à celle pour calculer l’angle entre deux droites de R2.
Procédure
pour trouver l’angle entre deux droites dans R3
1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites.
2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs.
3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les
vecteurs.
Remarque
• a = q, si 0° ≤ q ≤ 90°
On peut ramener ces deux cas
• a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°
à un seul en prenant la valeur
absolue du produit scalaire
avant de calculer l’arccosinus.
Exercice
Trouver l’angle entre les droites suivantes :
x = 3 – 4s
x = 6 – 8t
∆2 : y = 2 + 5s
∆1 : y = –4 + 2t
z = –5 – 2s
z = 7 + 3t
Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–8; 2; 3)
et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (–4; 5; –2).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
D1 • D2
D1
D2
46
77
45
=
S
46
77
45
= 38,60°
Puisque 0° < q < 90°, on a a = q = 38,60° et l’angle entre les droites est
de 38,60°
Distances dans R3
Distance d’un point Q à une droite
dont on connaît un vecteur directeur.
On détermine un point R de la droite
ainsi que le vecteur RQ.
La distance cherchée est alors la
hauteur du parallélogramme construit
sur les vecteurs RQ et D.
Le module du produit vectoriel donne
l’aire de ce parallélogramme et on
divise par la longueur de la base, soit
le module du vecteur directeur.
Distance d’un point Q à une droite
dont on connaît deux points R et P.
On procède de la même façon en
considérant D = RP.
Exemple 12.3.3
Trouver la distance du point Q(7; –2; 5) à la droite ∆ :
x = 3 + 2t
y = 6 – 3t
z = –5 + 4t
Le vecteur directeur de ∆ est : D = (2; –3; 4)
En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(3; 6; –5).
On a alors le vecteur RQ = (7;–2; 5) – (3; 6; –5 ) = (4; –8; 10).
Le produit vectoriel donne :
RQ D =
i
4
2
j
–8
–3
k
10
4
= (–32 + 30) i – (16 – 20) j + (–12 + 16) k
= –2 i + 4 j + 4 k
La distance est alors donnée par :
RQ  D
d(Q, ∆) =
D
=
6
29
S
≈ 1,11
La distance du point au plan est donc d’environ 1,11 unités.
Distance d’un point à une droite de R3
Procédure
pour trouver la distance d’un point Q à une droite dans R3
1. Déterminer le vecteur directeur de la droite.
2. Construire le vecteur allant d’un point R quelconque de la droite
au point Q.
3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs
(module du produit vectoriel).
4. Diviser l’aire du parallélogramme par la longueur de sa base
(module du vecteur directeur) pour en obtenir la hauteur qui est la
distance cherchée.
Remarque :
Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un
vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces
points et dont l’extrémité est l’autre point.
Exercice
Trouver la distance du point Q(5; 4; –7) à la droite ∆ :
x = 8 – 5t
y = 2 – 6t
z = 3 + 7t
Le vecteur directeur de ∆ est : D = (–5; –6; 7)
En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(8; 2; 3).
On a alors le vecteur RQ = (5; 4; –7) – (8; 2; 3).= (–3; 2; –10).
Le produit vectoriel donne :
RQ D =
i
–3
–5
j k
2 –10 = (14 – 60) i – (–21 – 50) j + (18 + 10) k
–6
7
= –46 i + 71 j + 28 k
S
La distance est alors donnée par :
RQ  D
d(Q, ∆) =
D
=
7 941
110
≈ 757,14
La distance du point au plan est donc d’environ 757,14 unités.
Le point le plus près dans R3
Méthode vectorielle
Nous savons trouver la distance d’un point
Q à une droite, mais comment déterminer le
point de la droite qui est le plus proche
de Q?
Le point R d’une droite ∆ le plus proche
d’un point Q hors de celle-ci est le pied de
la perpendiculaire abaissée du point Q sur
la droite ∆.
On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées
de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations
d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point
le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant
l’intersection de lieux géométriques.
Exemple 12.3.4 (Méthode vectorielle)
x = 8 + 3t
le point le plus rapproché
Trouver sur la droite ∆ : y = –1 – 2t
z = –2 + t du point Q(3; 8; 3).
On cherche le pied R de la perpendiculaire
abaissée du point Q sur la droite ∆.
La direction de PR est alors la même que
celle du vecteur directeur de la droite.
D = (3; –2; 1) et PR = aD = a(3; –2; 1).
PQ = (3; 8; 3) – (8; –1; –2) = (–5; 9; 5)
La
multiplication scalaire des deux membres de cette équation
Remarque
Sachant que
on peut
déterminer
vectorielle
parb =
le –2,
vecteur
directeur
donnele: vecteur position du point
Notre
démarche
a consisté à déterminer que, pour parvenir au point
R, puisque
:
D P,
• (aD
+ de
RQa,
=déplacer
D
• PQ
déterminant
la
valeur
nous
sera
possible
de direction
connaîtreetle
REn
à partir
du point
il fallait
se) il
dans
la même
OR = OP + PR
vecteur
position
du
point
R.
On
connaît
le point P(8;
–2) sur
a( D du
• D)vecteur
+D
• RQ
= D •déjà
PQ
dans le sens contraire
directeur
et parcourir
une–1;
distance
Par
l’addition
vectorielle,
on–2;
aon
:1)directeur.
la
droite.
Puisque
sont
orthogonaux,
a=D(2;
qui
est
le les
double
de=la(8;
longueur
vecteur
• RQ
OR
–1;
–2) du
– 2(3;
3; –4)= 0, et :
Cela
donne
:vecteurs
S
Dans l’illustration, lesa vecteurs
• PQ sens, mais l’illustration est
D 2 =ontDmême
Le
le plus
donc
R(2;
3;aider
–4).= –15
+
RQ
Cepoint
qui
donne
:rapproché
14a = PR
(3;
–2;
1) =• PQ
(–5;
5)
– 18 – 5 = –28la
faite
avant
d’effectuer
lesest
calculs
pour9;
à conceptualiser
et b = – 2.
procédure.
aD + RQ = PQ
Le point le plus près dans R3
Procédure
Méthode vectorielle
pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un
point Q hors de cette droite par une approche vectorielle
1. Déterminer un point P quelconque de la
droite.
2. Écrire l’équation vectorielle du triangle
PQR :
PR + RQ = PQ
aD + RQ = PQ
3. Déterminer le produit scalaire des deux
membres de l’équation par le vecteur
directeur.
4. Calculer la valeur du scalaire, a, dans
l’équation scalaire obtenue par ce produit.
5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R
cherché.
OP + PR = OR
Exercice
x = 7 – 4t
le point le plus rapproché
y
=
–4
+
2t
Trouver sur la droite ∆ :
z = –2 + 3t du point Q(–2; 8; 7).
On cherche le pied R de la perpendiculaire
abaissée du point Q sur la droite ∆.
La direction de PR est alors la même que
celle du vecteur directeur de la droite.
D = (–4; 2; 3) et PR = aD = a(–4; 2; 3)
PQ = (–2; 8; 7)– (7; –4; –2) = (–9; 12; 9)
La multiplication scalaire des deux membres de cette équation
En déterminant
lavecteur
valeur
de
a, il nous
de connaître
le
Sachant
que
b =le3,
on
peutdirecteur
déterminer
lesera
vecteur
position
du point R,
vectorielle
par
donne
: possible
vecteur position
du point R. On connaît déjà le point P(7; –4; –2) sur
puisque
:
D • (aD + RQ ) = D • PQ
a:
la droite. Par l’addition vectorielle,
OR = OP +onPR
a( D • D) + D • RQ = D • PQ
S
S
Puisque
les
vecteurs
sont
orthogonaux,
on
a
D
•
RQ
=
0,
et
:
Cela donne : OR = (7; –4; –2) + 3(–4; 2; 3) = (–5; 2; 7).
S
a +D
PR
RQ2= =PQD • PQ
Le
plus :rapproché
R (–5;
Cepoint
qui le
donne
29a = (–4;est2;donc
3)• (–9;
12;2;9)7).= 36 + 24 + 27 = 87
aD + RQ = PQ
et b = 3.
Le point le plus près dans R3
Méthode de l’intersection de lieux
Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite
dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique).
Le point cherché est le pied de la
perpendiculaire abaissée du point Q
sur la droite ∆.
Cette droite est dans un plan ∏
perpendiculaire à ∆ et passant par le
point Q.
Le vecteur directeur de la droite ∆ est
donc un vecteur normal au plan ∏.
On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et
trouver son intersection avec la droite ∆.
Exemple 12.3.4 (Intersection de lieux)
x = 8 + 3t le point le plus rapproché
Trouver sur la droite ∆ :
y = –1 – 2t du point Q(3; 8; 3).
z = –2 + t
On cherche le pied R de la perpendiculaire
abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette
droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.
L’équation cartésienne du plan passant par Q
et perpendiculaire à ∆ est :
(3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où :
3x – 2y + z + 4 = 0
En substituant
valeur dans
les équations de
paramétriques,
on
En
substituant cette
les équations
paramétriques
la droite dans
obtient : du plan ∏, on obtient :
l’équation
x = 8 + 3 (–2) = 2
+ 3t) –=2(–1
y = –1 –3(8
2 (–2)
3 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0
S
z = –2 24
+ 1+(–2)
D’où :
9t + 2=+–44t – 2 + t + 4 = 0
Cela
donne
: rapproché
14t +est28donc
= 0 et
t = 3;
–2 –4).
Le
point
le plus
R(2;
Le point le plus près dans R3
Procédure
Intersection de lieux
pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un
point Q hors de cette droite par une intersection de lieux
1. Déterminer le vecteur directeur de la
droite.
2. Déterminer l’équation cartésienne du plan
passant par le point Q et perpendiculaire au
vecteur directeur de ∆.
3. Substituer les équations paramétriques de la
droite dans l’équation cartésienne du plan et
calculer la valeur du paramètre au point
d’intersection.
4. Substituer la valeur du scalaire dans les équations paramétriques
de la droite pour trouver les coordonnées du point de rencontre.
Exercice (Intersection de lieux)
x = 7 – 4t
le point le plus rapproché
Trouver sur la droite ∆ :
y = –4 + 2t du point Q(–2; 8; 7).
z = –2 + 3t
On cherche le pied R de la perpendiculaire
∏
abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette
droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.
L’équation cartésienne du plan passant par Q
et perpendiculaire à ∆ est :
(–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où :
–4x + 2y + 3z – 45 = 0
En substituant
valeur dans
les équations de
paramétriques,
on
substituant cette
les équations
paramétriques
la droite dans
obtient : du plan ∏, on obtient :
l’équation
x = 7 – 4 3 = –5
–4(7
– 4t)
y = –4 +
2 3
= 2 + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0
S
z = –2 –28
+ 3 3
= 7– 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0
D’où :
+ 16t
Cela
donne
: rapproché
29t –est
87donc
= 0 etR(–5;
t = 3 2; 7).
Le
point
le plus
Distances dans R3
Distance entre deux droites gauches
(Longueur de la projection).
Deux droites gauches sont toujours
contenues dans des plans parallèles.
On considère un point P de l’une
des droites et un point R de l’autre
droite pour construire le vecteur
PR.
On détermine un vecteur normal aux deux plans en effectuant le
produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites gauches.
La distance cherchée est alors la longueur de la projection du
vecteur PR sur le vecteur normal N.
Exemple 12.3.5 (Longueur de la projection)
Trouver la distance entre les droites suivantes :
x = 2 – 3t
x = 8 + 6s
∆1 : y = –5 + 7t
∆2 : y = 2 – 2s
z = –3 – 2t
z = –3 – 3s
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–3; 7; –2) et D2 = (6; –2; –3).
On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : PR = (6; 7; 0).
Le produit vectoriel des vecteurs directeurs donne :
i
j k
D1  D2 = –3
7 –2 = (–21 – 4) i – (9 + 12) j + (6 – 42) k
6 –2 –3 = –25 i – 21 j –36 k = N
La distance est alors donnée par :
S
(6; 7; 0) • (–25; –21; 4)
–297
PR • N
=
≈ 6,11
=
d(∆1, ∆2) =
2 362
N
(–25)2 + (–21)2 + (–36)2
La distance entre les droites est donc d’environ 6,11 unités.
Distance entre deux droites gauches
Procédure
Longueur de la projection
pour déterminer la distance entre deux droites gauches
1. Déterminer les vecteurs directeurs des
droites.
2. Déterminer un point sur chacune des
droites et le vecteur joignant ces deux
points.
3. Effectuer le produit vectoriel des
vecteurs directeurs pour déterminer le
vecteur normal aux plans parallèles
contenant ces droites.
4. Utiliser le produit scalaire pour calculer la longueur de la
projection sur le vecteur normal du vecteur joignant les deux
points des droites gauches. Cette longueur est la distance cherchée.
Exercice (Longueur de la projection)
Trouver la distance entre les droites suivantes :
x = 5 + 4t
x = 11 – 5s
∆1 : y = 4 – 2t
∆2 : y = 9 + 6s
z = –2 + 5t
z = 5 – 2s
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (4; –2; 5) et D2 = (–5; 6; –2).
On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : PR = (6; 5; 7).
Le produit vectoriel des vecteurs directeurs donne :
i
j k
– (–8 + 25) j + (24 – 10) k
D1  D2 =
4 –2
5 = (4 – 30) i
–5
6 –2 = –26 i – 17 j + 14k = N
S
La distance est alors donnée par :
(6; 5; 7) • (–26; –17; 14)
PR • N
–143
d(∆1, ∆2) =
=
=
≈ 4,20
1 161
N
(–26)2 + (–17)2 + 142
La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.
Distances dans R3
Distance entre deux droites gauches
(Méthode du produit mixte).
On considère un point P de l’une
des droites et un point R de
l’autre droite pour construire le
vecteur PR.
Par le produit mixte, on
détermine le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs D1, D2 et PR.
La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on
obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des
vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du
parallélépipède.
Exemple 12.3.5 (Produit mixte)
Trouver la distance entre les droites suivantes :
x = 2 – 3t
x = 8 + 6s
∆1 : y = –5 + 7t
∆2 : y = 2 – 2s
z = –3 – 2t
z = –3 – 3s
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–3; 7; –2) et D2 = (6; –2; –3).
On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : PR = (6; 7; 0).
Le produit mixte des vecteurs donne :
S
6
7
0
7 –2 = 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42)
PR • ( D1  D2 ) = –3
6 –2 –3 = 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297
De plus, D1  D2 = –25 i – 21 j – 36 k et D1  D2 = 2 362
La distance est alors donnée par :
PR • ( D1  D2 )
–297
=
d(∆1, ∆2) =
≈ 6,11
D1  D2
2 362
La distance du point au plan est donc d’environ 6,11 unités.
Distance entre deux droites gauches
Procédure
Produit mixte
pour déterminer la distance entre deux droites gauches
1. Déterminer les vecteurs directeurs des
droites.
2. Déterminer un point sur chacune des
droites et le vecteur joignant ces deux
points.
3. Effectuer le produit mixte des trois
vecteurs directeurs et prendre la valeur
absolue du produit pour obtenir le
volume du parallélépipède.
4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le
module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base.
5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en
obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.
Exercice (Produit mixte)
Trouver la distance entre les droites suivantes :
x = 5 + 4t
x = 11 – 5s
∆1 : y = 4 – 2t
∆2 : y = 9 + 6s
z = –2 + 5t
z = 5 – 2s
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (4; –2; 5) et D2 = (–5; 6; –2).
On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : PR = (6; 5; 7).
Le produit mixte des vecteurs donne :
S
6
5
7
= 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10)
4
–2
5
D

D
)
=
2
PR • ( 1
–5
6 –2 = 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143
De plus,
D1  D2 = –26 i – 17 j + 14 k et
D1  D2
=
1 161
La distance est alors donnée par :
–143
PR • ( D1  D2 )
=
d(∆1, ∆2) =
≈ 4,20
D1  D2
1 161
La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.
Les points les plus rapprochés
de deux droites gauches
Méthode vectorielle
Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a
toujours des plans parallèles contenant
les droites.
De plus, on peut déterminer un point P
sur l’une des droites et un point R sur
l’autre droite et former le vecteur PR.
En notant A et B, les points les plus
rapprochés, on a alors :
PR = PA + AB + BR
On peut alors exprimer PR comme une combinaison linéaire des
vecteurs directeurs des droites et du vecteur normal aux plans.
Le produit scalaire avec les vecteurs directeurs donne deux équations
dont les inconnues sont les scalaires de la combinaison linéaire.
Exemple 12.3.6 (méthode vectorielle)
Trouver les points les plus proches
sur les droites gauches suivantes :
x = 7 – 2t
x=1+s
∆1 : y = –6 + 4t
∆2 : y = –10 – 3s
z =6–t
z = 8 + 2s
Les vecteurs directeurs sont :
D1 = (–2; 4; –1) et D2 = (1; –3; 2).
PR = (1; –10; 8) – (7; –6; 6) = (–6; –4; 2).
On a alors
: point cherché sur la droite ∆ , et B, le point cherché sur
Notons
A,
le
La
scalaire
pard’équations
donne ::1
Onmultiplication
doit=résoudre le
système
D
1
21a
=
+exprimer
a D1 = (7;PR
–6;de
6)la
+ façon
2(–2; 4;
–1)–=16c
(3;
2;–6
4)
+ PA
= OP
OA ∆OP
suivante
:
la droite
.
On
peut
alors
2
Par la méthodeadeD1Cramer,
onD1a•: D2 = D1 • PR
–16a + 14c = 10
•
D
+
c
1
OBPA
OR
RB
OR
BR
OR
D
= +
+
=
–
=
–
c
+
2
AB BR = PR
21
a(–2; 4; P
–1)•(–2;
4; sur
–1) +
c(–2;
4;∆–1)•(1;
–3;
2)==a(–2;
PA
D1.4; –1)•(–6; –4; 2)
Puisque
et A–16
sont
la14
droite
=
21
–
(–16)(–16)
=
38
1, on a
=–16
(1; –10;
14 8) – 3(1; –3; 2) = (–2; –1; 2)
La
multiplication
scalaire
D2∆2donne
Puisque
B et R sont
sur la par
droite
, on a :BR = c D2.
SS
–6 –16
–6
• PR
a Dperpendiculaire
D21
De plus, AB
est
aux
puisque A et B
2 • D1 + c D2 • D
2 = deux
2 droites,
Les points
les
plus
rapprochés
sont
donc
A(3;
2;
4) sur ∆1 et
10
14
–16
10
76
= b 2)N.
AB –4;
les points
les
plus
sur
les droites.
donc
114
asont
2)•(–2;
4;∆
–1)
+proches
c (1; =–3;
2)•(1;
–3; 2) =On
(1;a–3;
2)•(–6;
a(–2;
=–3;–1;
=
2
et
c
=
B(1;
2) sur
.
=
=
3
2
38+ c D = PR
38
38
Cela donne 38
: a D1 + b N
2
Les points les plus rapprochés
Procédure
Méthode vectorielle
pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches
1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et
déterminer le vecteur PR, où P est le point
connu de ∆1 et R celui de ∆2.
2. Exprimer PR comme combinaison linéaire
des vecteurs directeurs et du vecteur normal.
a D1 + b N + c D2 = PR
3. Effectuer la multiplication scalaire des deux membres de l’équation
par les vecteurs directeurs pour obtenir un système de deux
équations à deux inconnues.
4. Résoudre le système d’équations pour trouver les scalaires a et c.
5. Utiliser les scalaires obtenus pour déterminer le vecteur position des
point A et B.
Exercice (méthode vectorielle)
Trouver les points les plus proches sur les
droites gauches suivantes :
x = –4 + 3t
x=1+s
∆1 : y = –10 + 7t ∆2 : y = 1 – s
z = –11 + 4t
z = 11 – s
Les vecteurs directeurs sont :
D1 = (3; 7; 4) et D2 = (1; –1; –1).
PR = (1; 1; 11) – (–4; –10; –11) = (5; 11; 22).
Notons
A, le: point scalaire
cherchépar
sur D
la droite
∆ , et B, le point cherché sur
Onmultiplication
a alors
La
1 donne 1:
Ondroite
doit résoudre
système
:–11)
74a4)–=8c(2;
= 4;
180
de
la
façon
suivante
:
la
∆2.+On
alors
PR
=
(–4;
–10;
+
2(3;
7;
–3)
PApeut
=leOP
+ aexprimer
Dd’équations
OA = OP
1
•
D1 Cramer,
• D1 + c on
D1 •a :D2 = D1 PR
–8a + 3c = –28
a de
Par la méthode
+
+
=
PAOR +AB
BR
PR
OB
=
RB
=
OR
– BR
= OR
–=c (3;
D2 7; 4)•(5; 11; 22)
a(3; 7; 4)•
(3;A7;
c (3;
7;
4)•(1;
= a D1.
Puisque
P 74
et
sont
la droite
∆1,–1;
on –1)
a PA
–84) +sur
74 3
(–8)(–8)
= 158
= (1;
1; 11)
+=4(1;
–1;– –1)
= (5; –3;
7)
–8
3
Puisque
B et R sont
sur la par
droite
, on a :BR = c D .
La multiplication
scalaire
SS
D ∆2donne
2
2
perpendiculaire
aux
deux
puisque
et B
• droites,
ABlesest
De
plus,
aplus
D
D1 + c D2 • sont
D
D74
PR
180
–8
180 4; –3)
Les
points
sur ∆A1 et
2 • rapprochés
2 =donc
2 A(2;
sont
les–3;
points
les
plus
proches
sur les–1;
droites.
On
a donc
b N.
B (5;
7) sur
AB
–28
–28–1;
a(1;
–1;
–1)•(3;
7;3∆4)
–1)–8= (1;
–1)•(5;
11;=22)
316–1; –1)•(1;
–632
2. + c(1;
a=
=
= 2 et c =
=
= –4
158
158
N + c D2 = PR
Cela donne158
: a D1 + b 158
Les points les plus rapprochés
de deux droites gauches
Méthode du vecteur normal
Lorsqu’on a deux droites gauches, il y a
toujours des plans parallèles contenant
les droites.
En notant A et B, les points les plus
rapprochés, on a alors :
AB = k N
Les coordonnées des points A et B
doivent satisfaire aux équations paramétriques de leur droite respective.
On peut donc établir un système de contraintes dont les variables
sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En
résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux
points les plus rapprochés.
Exemple 12.3.6 (vecteur normal)
Trouver les points les plus proches
sur les droites gauches suivantes :
x = 7 – 2t
x=1+s
∆1 : y = –6 + 4t
∆2 : y = –10 – 3s
z =6–t
z = 8 + 2s
Les vecteurs directeurs sont :
D1 = (–2; 4; –1) et D2 = (1; –3; 2)
N = (5; 3; 2)
En
résolvant,
on a : normal :
Trouvons
le
vecteur
k N,le on
a : cherché
Notons A(a;
point
sur
0 B(d;
L1 – 13L
Puisque
: AB b;= c),
0 ∆1, et
–3 e; f), le
3 la 1droite
1 cherché
2 –5 sur
6 la L
points
rapprochés
sont donc
1t + les
2=plus
–5
6
point
droite
∆≈
iLes
1 – 4; j2s
2.+k
0
2 – 4) k
(s= +D2t – D
6; –3s
–
4t
2)
k(5;
3;
2)
=
(5k;
3k;
2k)
0i – (–4
1 +2)1)sur
Lsur
9L
2 +=
3 et
+
(6
=
j
(8
–
3)
A(3;
2;
4)
∆
B
(–2;
–1;
∆
N
1 –3 2 4
1
2.
–3
–4
–2
4
–1
≈
0
2
–18
22
L
+
3L
Il existe donc des valeurs
de
2
1 t et
1 –1
L3s telles que0:
0
S
1
–3
2
2 1a =–2
–2
d
=
1
+
s
2 k
= 5 i + 38 j +–14
7 – 2t L3 – 2L1 0 –3
e = –10 – 3s
b =s –6
+ 4t
On a donc
= –3
et t = 2, d’où :
s + 2t –15k = 06 13 –16 S
–16
L1 –l’on
D’où
tire
système
6––12le
t 2
xLc=
=0 3 13d’équations
xL=:1f1 =– 83 += 2s
–2
2 =7
–3s
4t0 – 3k=1=1 4 –9 11
22
2
–10
– 3– (–3)
A≈ : L2 y = –6 +04 2 2= –18
B : ≈yL=2 /2
b: f – 38
c) = (s z+L=2t
6;2+–3s
4; 2s 1+ t +–12)
= 6=2 –(d02–=a;4 e0 ––38
8–+
(–3)
==–20–2
2L:3 zAB
+ 3L
D’où
2s
t –0–2k4t
3 /(–38)
Les points les plus rapprochés
Procédure
Méthode du vecteur normal
pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches
1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et
déterminer le vecteur AB, en utilisant les descriptions paramétriques des droites.
2. Déterminer le vecteur normal aux plans
parallèles contenant ces droites.
3. Construire un système
utilisant le fait que
d’équations
en
AB = k N
4. Résoudre le système d’équations.
5. Utiliser les valeurs obtenus pour déterminer les coordonnées des
point A et B.
Exercice (vecteur normal)
Trouver les points les plus proches
sur les droites gauches suivantes :
x = –4 + 3t
x=1+s
∆1 : y = –10 + 7t ∆2 : y = 1 – s
z = –11 + 4t
z = 11 – s
Les vecteurs directeurs sont :
D1 = (3; 7; 4) et
D2 = (1; –1; –1)
N = (–3; 7; –10)
Trouvons le vecteur normal :
En résolvant,
N,
=c),
ktrouve
on:a :cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le
Notons
A(a;
le point
Puisque
: ABb;on
plus03 rapprochés
sont donc
iLLes
j ∆points
k110 les
40
–
42L
0
1
–3
3
–5
–3
–5
L
point
cherché
sur
la
droite
.
1
3
1 –s – 4t
2 + 22)
(sN– 3t
=(–7
k (–3;
7;
(–3k;
7k;
+ (–3
––10k)
7) k
––10)
(–3–1;
–=4)
D2–=7t + 11;
= +D5;
j
=
+
4)
i
1 –s
A(2;7 4; –3)
sur
∆
et
B
(–2;
2)
sur
∆
.
3
4
1
2
0: –20
–10 que–4
≈≈LL2 2++L4L
–7 donc
–7 –11
0 0s telles
–10
–16
Il–1
existe
des valeurs
de
1 3t et
1 –1 –1 = –3
S
––1
10 k
i
+
7
j
d
=
1
+
s
1
a =10
–4–22
+ 3t
–1 –4
0 0 –7:0 13 –27
LL33+ L
D’où
l’on
tire
le
système
d’équations
1
e=1–s
b
=
–10
+
7t
On a donc s = 4 et t = 2, d’où :
10L1 –cx == –11
10
03k == 2–5
42
–2
0 42
–2S
s–4
– 3t
+ 2
Lf1 = 11 – s10
+ 34t
+
x
=
1
+
4
=
5
≈ 2
≈ 3L
0 –10 –4 –16
L2 2 y = –10
–s 0–+7t–10
7k==–4
7–2
4–11 –16
A:
B: L
y =+ 15;––s
4 =– –3
=
(d
–
a;
e
–
b:
f
–
c)
=
(s
–
3t
22)
D’où
:
AB
10L3 – z7L=2 –11
0 + 4 02 =158
–158
0 –s –1 4t +–1
L3 /(–158) 07t + 11;
–3
–s – 4t + 10k = –22
z = 11 – 4 = 7
Conclusion
Les procédures pour étudier la droite dans l’espace sont analogues à
celles utilisées pour l’étude de la droite dans le plan et du plan dans
l’espace.
On peut, en utilisant les produits de vecteurs et leur interprétation
géométrique :
• calculer des angles et des distances,
• déterminer les positions relatives de deux lieux géométriques
(droites ou plans),
• déterminer le point d’un lieu géométrique, droite ou plan, le plus
près d’un point hors de ce lieu,
• déterminer les points de deux lieux les plus rapprochés l’un de
l’autre.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature. Section 12.3, p.345-353.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature. Section 12.4, p. 357-358, no. 1 à 8.