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Translations et vecteurs
A) Translation.
1. Définition.
Définition :
Soient trois points A, B et M.
L’image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M’ tel que ABM’M,
dans cet ordre, soit un parallélogramme (aplati si les points A, B et M sont alignés).
2. Propriétés.
Propriétés :
Par la translation qui transforme M en M’ :
• L’image d’une droite est une droite parallèle.
• L’image d’un segment est un segment de même longueur.
• L’image de deux droites parallèles est deux droites parallèles.
• L’image de deux droites perpendiculaires est deux droites perpendiculaires.
• L’image d’un angle est un angle de même mesure.
• L’image d’un quadrilatère est un quadrilatère de même aire.
• L’image d’un cercle de rayon R est un cercle de rayon R.
On pourra vérifier ces propriétés sur les dessins suivants :
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Exercice n°1 :
Construire l’image de la figure par la translation qui transforme A en A’.
A’
A
Exercice n°2 :
Observer la figure ci-dessous :
Compléter les phrases suivantes sans justifier :
1) L'image du point B par la translation qui transforme D en C est
2) L'image du point C par la translation qui transforme D en G est
3) Placer le point F tel qu’il soit l’image de G par la translation qui transforme B en D.
4) Quelle est la nature du quadrilatère BDFG. Justifier.
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Exercice n°3 :
Le quadrillage ci-dessous est constitué de triangles équilatéraux superposables.
Construire, en utilisant le quadrillage, les figures suivantes (on fera apparaître clairement le
contour de chaque figure ainsi que son numéro) :
• En bleu, la figure 2, transformée de la figure 1 par la translation qui transforme A en B.
• En vert, la figure 3, transformée de la figure 1 par la symétrie orthogonale d'axe (∆).
• En rouge, la figure 4, transformée de la figure 1 par la symétrie de centre S.
B) Vecteur : définitions.
1. Vecteurs : définition « intuitive ».
Soit M’ l’image de M par la translation qui transforme A en B, on a alors :
Définition :
Le point A se « dirige » vers B suivant une droite, une longueur et un sens.
Le point M se « dirige » vers N suivant une droite parallèle, la même longueur
AB et le même
→
sens « de A
vers →
B ». C’est pourquoi on parle de la translation de vecteur AB.
→
On a lors AB = MN.
→
Autrement dit, pour trouver l’image du point M par la translation de vecteur AB on trace :
La parallèle à la droite (AB) passant par M.
On se déplace de « A vers B » sur cette droite.
On reporte la longueur AB sur cette parallèle et on place le point N.
Conclusion :
Un vecteur c’est :
a) une direction « la droite »
b) un sens « de A vers B »
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c) une longueur « AB ».
→
d) une translation de vecteur AB.
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2. Vecteurs : définition « mathématiques ».
Définition :
→
A tout couple de points (A ; B) est associé un vecteur AB. → →
On peut noter ce vecteur par→
une seule lettre, par exemple u = AB.
→
→
Quels que soient le vecteur u et le point A, il existe un point G et un seul tel que AG = u .
→
u
G
A
→
→
La norme du vecteur AB est la longueur AB. Elle est notée ||AB|| = AB.
Définition :
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils sont nuls tous les deux, ou bien lorsqu’ils ont même sens,
même direction et même longueur.
Définition :
Vecteurs particuliers :
→
→
→
→
• Lorsque A = B, on pose AA = u = 0 , et on dit que u est le vecteur nul.
• Lorsque deux vecteurs ont même direction,
même→
longueur mais des sens opposés ont dit
→
que ces vecteurs sont opposés et on note BA = –AB.
Théorème :
→
→
Lorsque les points A, B, C et D ne sont pas alignés, AB = CD signifie que ABDC est un
parallélogramme.
Propriété :
→
→
I est le milieu de [AB] si et seulement si : AI = IB .
Exercice n°4 : Lectures graphiques.
À partir de la →
figure ci-contre, citer un vecteur :
1) opposé à CD ;
→
2) de même direction et de→
même sens que AC ;
3) de même
direction que BC mais de sens contraire ;
→
4) égal à BA.
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Exercice n°5 :
Le triangle ABC est un triangle rectangle en B tel que : BCA = 60° et BC = 3cm.
1) Construire la figure en vraie grandeur sur votre feuille.
2) Calculer la longueur AB à 1mm près.
→
3) Placer le point D tel que D soit l’image de A par la translation de vecteur BC.
4) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
Exercice n°6 :
→
ABCD est un parallélogramme. I est l’image de→
B par la translation de vecteur AC.
J est l’image de A→
par la→
translation de vecteur BD.
1) Montrer que AB
=
CI
.
→
→
2) Montrer que AB = JD .
3) En déduire que I, J, C et D sont alignés.
Exercice n°7 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
I est le symétrique de A par rapport à B.
J est le symétrique de B par rapport à C.
K est le symétrique de C par rapport à D.
L est le symétrique
de→
D par rapport à A.
→
1) Comparer →
BI et KD.
→
2) Comparer JC et AL.
3) Quelle est la nature de IJKL ?
Exercice n°8 :
1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 3,5 cm ; AC = 5 cm ; BC = 4 cm. →
2) Construire le point D tel que D soit l’image de C par la translation de vecteur AC.
3) Construire le point E symétrique de B par rapport à C.
4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier la réponse
C) Opérations sur les vecteurs.
1. Somme de vecteurs.
Définition :
→
→
→
→
La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur,
noté→u + v , définie ainsi :
→
A un point quelconque, on place le→
point→
B tel que AB = u (ce→
point→
existe→
d’après la première
définition) puis le point C tel que BC = v (Idem) on a alors : u + v = AC.
→
B
→
u
→
→
u
v
v
→
→
u + v
C
A
→
→
→
L’égalité AB + BC = AC est appelée relation de Chasles.
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Définition :
→
→
→
→
La somme de deux vecteurs u et v , de même origine,
est
le
vecteur
u
+
v , définie ainsi :
→
→
A
un point
quelconque, on place
le point
B tel que AB = u puis le point D tel que :
→
→
→
→
AD = v (ce→
point→
existe→
car u et v ont même origine).
On a alors : u + v = AC, où C est le point tel que ABCD soit un parallélogramme.
B
→
→
u
u
→
→
C
→
v
u + v
A
→
v
D
Ce procédé est souvent appelé « règle du parallélogramme ».
Exercice n°9 :
→
→
Placer les points T, P et M tels que : DT = AC
→
→
→
→
→
→
AM = AB + AC et EP = BA + AC.
Exercice n°10 : Forces
L’action de trois forces sur un objet est modélisée par l’action des trois vecteurs appliquée sur le
point G qui représente le centre de gravité.
Dessiner le vecteur somme des forces qui s’appliquent sur l’objet. Que peut-on en conclure ?
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Exercice n°11 :
A, B et C sont trois points du plan. Compléter la figure ci-dessous.
1)
2)
3)
4)
→
Construire le point M image de A par
la translation de vecteur BC.
→
Donner un vecteur égal→
au vecteur
MA.
→
→
→
→
Construire K tel que
:
CA
+
CB
=
CK
et
démontrer
que
:
CB
=
AK.
→
→
Démontrer que : MA = AK. Que peut-on en déduire pour le point A ?
Exercice n°12 :
1) Construire un triangle isocèle ABC de sommet A tel que AB = 4,5cm et BC = 5,4cm.
Placer le point H, pied de la hauteur issue de A, et le point M, milieu de [AB].
2) Justifier que H est milieu de [BC].
3) Calculer la longueur du segment [HA].
4) Construire le point D, symétrique du point M par rapport au point H.
Quelle est la nature
du quadrilatère
BMCD ? Justifier la réponse.
→
→
→
5) Démontrer que : AM + BD = MD.
Exercice n°13 :
On considère un rectangle MNPQ. On désigne par A, B, C et D les milieux respectifs de [MN],
[NP], [PQ] et [QM]. Recopier et compléter les égalités suivantes en utilisant les points de la
figure.
→
→
1) AB
+ AD
=
→
→
2) CB
+
CD
=
→
→
3) AC
+
DB
= → →
→
→
4) AD
+ AB
+ CB
+ CD
=
→
→
→
→
5) DA – CD + BA – CB =
Exercice n°14 : Vrai ou faux ?
CDBE est un parallélogramme. [BC] et [DE] sont sécants en A.
Des élèves ont écrit les phrases suivantes.
Indiquer celles qui sont fausses et les corriger pour qu’elles
deviennent vraies.
→
1) D est l’image de C par la translation de vecteur BE.
→
2) A
est
le
milieu
[DE]
donc
D
est
l’image
de
A
par
la
translation
de
vecteur
EA.
→
→
→
3) BA
+ AC
= BC
donc→
A est→
le milieu
de [AC].
→
→
→
→
4) EC + EB = ED et EC – EB = CB.
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Exercice n°15 :
Construire un triangle équilatéral
ABC
de 5cm→
de côté,
puis placer les points M et N tels que :
→
→
→
→
CM = CA + CB et BN = AC.
Exercice n°16 :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Placer
les
points
M, N,→
P et Q→
tels que
:
→
→
→
→
AM = AB + AC
AN = AB – AC
→
→
→
AP = CA + BA
→
→
→
AQ = AC – AB.
Exercice n°17 :
Simplifier
l’écriture
des
vecteurs
suivants en →
utilisant
la relation
de Chasles
:
→
→
→
→
→
→
→
→
w = MA – MB – AB
et
v = AB – AC + BC – BA.
2. Multiplication d’un vecteur par un réel.
Définition :
→
→
→
Lorsque le vecteur u et un réel k sont non nuls, le vecteur k u = k u a :
→
• même direction que u .
→
→
• même sens que u lorsque k > 0 , un sens contraire à u lorsque k < 0 .
→
• pour norme le nombre k × || u ||.
→
→
→
→
Lorsque u = 0 , ou lorsque k = 0 , on pose k u = 0 .
Théorème :
→
→
Pour tous les vecteurs u et v et tous les réels a et b on a :
→
→
→
→
→
→
1) a ( u + v ) = a u + a v = a u + a v .
→
→
→
2) a ( b u) = ab u = abu.
→
→
→
→
→
3) (a + b ) u = a u + b u = a u + b u.
→
→
→
→
4) k u = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0 .
Exercice n°18 :
→
→
En utilisant la relation de Chasles, exprimer les vecteurs suivants en fonction de AB et AC :
→
→
→
→
→
1 →
u = 2AB – 3 BC
et
v = AB – 3 CB.
5
3. Colinéarité et parallélisme.
Définition :
→
→
Dire que deux vecteurs non nuls AB et CD sont colinéaires signifie qu’il existe un nombre k tel
→
→
que AB = k CD. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
Théorème :
→
→
• Dire que deux vecteurs non nuls AB et CD sont colinéaires équivaut à dire que les droites
(AB) et (CD) sont parallèles.
→
→
• Dire que deux vecteurs non nuls AB et AC sont colinéaires équivaut à dire que les points
A, B et C sont alignés.
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Définition :
Un vecteur directeur d’une droite d→
est un→
vecteur dont la direction est celle de d.
Autrement dit, dire que le vecteur u = CD est un vecteur directeur de la droite (AB) signifie
→
→
que : CD ≠ 0 →
et (CD) est parallèle à (AB).
En particulier, AB est un vecteur directeur de la droite (AB), et tous les vecteurs directeurs de
→
cette droite sont les vecteurs k AB, où k est un réel non nul.
Exercice n°19 :
→
→
→
ABC est un triangle. Les points M et N sont tels que : AM = 2AB et AN =
→
→
2 → 2 →
AC – BC.
3
3
1) Montrer que AM et AN sont colinéaires.
2) Que peut-on en déduire pour A, M et N ?
Exercice n°20 :
Soit ABCD un parallélogramme et P est le milieu de [AD].
→
1 →
Q est un point tel que : AQ = AB.
3
→
→
R est un point tel que : DR = BD.
1) Construire, sur le graphique ci-dessous, les points P, Q et R.
2) Points alignés ?
→
1 → 1 →
a) Montrer que : PQ = AB – AD.
3→ →
2
→
b) Montrer que : BD = –AB + AD.
→
→
3 →
c) En déduire que PR = –AB + AD.
2→
→
d) En déduire le réel k tel que : PR = k PQ.
e) Que peut-on en conclure pour les points P, R et Q ?
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Exercice n°21 :
ABCD est un parallélogramme.
→
→
→
1) Construire, sur la figure ci-dessous, le point E tel que : AE
= AC
+ BD
→
→
2) Construire, sur la →
figure→
ci-dessous,
le point F tel que : BF = 2 BC.
→
3) Démontrer que : AC + BD = 2 BC.
Exercice n°22 :
Soit ABC un triangle.
1) Construire, sur la figure ci-dessous, les points D et E tels que :
→
→
→
a) CD = 2CA + 2BA .
→
b) AE =
→
5 →
BC + 2CA.
3
2) Droites parallèles ?
a) Construire,
sur la→
figure ci-dessous,
les points M et N tels que :
→
→
→
AM→
= –2AB et CN→
= 3CA
b) Exprimer AN en→
fonction
de AC.
→
c) En déduire que MN = 2 CB.
d) Que peut-on en conclure pour les droites (BC) et (MN) ?
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Exercice n°23 :
ABC est un triangle.
→
→
→
1) Construire le point D tel que AD = AB + AC.
2) Démontrer que [AD] et [BC] →
ont même
milieu.
→
3) Construire le point E tel que AE = BC.
4) Démontrer que C est le milieu de [ED].
5) Les droites (AD) et (BE) se coupent en I.
6) Que représente I pour le triangle ABC ?
→
1 →
7) Prouver que AI = AD.
3
Exercice n°24 :
ABC est un triangle
→
→
→
1) Placer, sur l’annexe, le point D tel que : BD
= 3BA
+ 2→
AC.
→
→
2) Placer, sur l’annexe, →
le point
E tel→
que : CE = –CA +→
BA.
→
3) Exprimer la somme
EC
+
CB
+
BD
en
fonction
de
BA.
→
→
4) En déduire que ED = BA.
5) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABED ?
Exercice n°25 :
ABC est un triangle.
I est le symétrique de A par rapport à B.
→
K est l’image du point B par la translation de vecteur CA.
M est le point d’intersection
de→
(CK) et (AB).
→
1) Quelle relation lie : BI et AB ?
2) Démontrer que ACBK est un parallélogramme.
3) Démontrer que M est le milieu de
[KC].
→
→
4) Quelle relation lie les vecteurs BI et BM ?
5) En déduire ce que représente B pour le triangle CKI.
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Exercice n°26 :
Construire les points B, D, F, H, J, M, Q, S et U vérifiant les égalités suivantes :
→
→
→
→
→
→
• LM = AZ + 2 NZ.
• AB = u + v .
→
→
→
→
1 →
• CD = w – v .
→
→
→
→
• PQ = – PN.
• EF = 2 u + v + w .
3
→
→
→
→
→
5 →
•
RS
=
NP
+
u
+
v .
v .
• GH =
→
→
→
• TU = 2 u + RN.
3
→
→
→
→
• IJ = – w – v + u .
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