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Géométrie analytique
Notes de cours
y
La géométrie analytique permet de « numériser » les problèmes géométriques. Elle
permet de démontrer les propriétés des figures non par une démonstration mais par un
calcul.
Le dessin permet de faire des conjectures, le calcul de les vérifier, mais le dessin permet
aussi de mettre en évidence d’éventuelles erreurs de calcul.
LA démarche dans ce chapitre sera donc :
– Faire le dessin
– Conjecturer la réponse
– La prouver ou l’infirmer par le calcul
I.
REPERES ORTHONORMES
Définition : Trois points (O, I, J) forment un repère orthonormé si
et seulement si :
– (OI) et (OJ) sont perpendiculaires
– OI = OJ
Définition : La droite (OI) est l’axe des abscisses (l’axe des x)
La droite (OJ) est l’axe des ordonnées (l’axe des y)
La longueur OI ( = OJ) est l’unité du repère.
Théorème : Tout point A du plan a un couple de coordonnées
uniques (xA ; yA) dans un repère orthonormé.
xA est l’abscisse de A et yA l’ordonnée de A.
Pour dessiner un repère
– Placer le point O
– Placer le point I. L’axe des abscisses est en général horizontal,
la longueur OI est l’unité.
– Placer le point J. L’axe des ordonnées est en général vertical.
– Graduer les droites (OI) et (OJ)
– Noter x et y sur les axes
Voici un repère bien fait :
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x
Pour lire les coordonnées d’un point, on trace des pointillés à partir de
ce point vers les axes et on lit les graduations sur les axes
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II.
y
A
yA
x
xA
MILIEUX ET DISTANCES
Théorème : Le plan étant ramené à un repère orthonormé (O, I, J).
On considère les points A et B de coordonnées
respectives et (xB ; yB).
Les coordonnées de M milieu de [AB] sont : xM =
xA + xB
y + yB
yM = A
2
2
Remarque : la formule reste valable même si le repère n’est pas
orthonormé.
Théorème :
Le plan étant ramené à un repère orthonormé (O, I, J).
On considère les points A et B de coordonnées
respectives (xA ; yA) et (xB ; yB).
La distance AB est : AB =
Pour placer un point dans un repère on place xA sur l’axe des x et yA
sur l’axe des y. Puis on trace les pointillés parallèlement à l’autre axe.
A est au point d’intersection.
y
A
(xB –
xA)² + (yB – yA)²
Remarque : On ne peut calculer une distance avec cette formule que
dans un repère orthonormé.
III.
TRANSLATION ET VECTEURS
x
u  y  associe à tout point
A(xA ; yA) du plan le point A'(xA' ; yA') tel que:
xA' = xA + x et
yA' = yA + y
Définition : La translation de vecteur
yA
x
xA

Notations
Au lieu d’écrire :
« La translation ajoute 5 à l’abscisse et enlève 3 à l’ordonnée »,
on écrit :

« La translation de vecteur u (5 ; –3) »
Au lieu d’écrire :
« Le vecteur de la translation qui transforme A en B »

on écrit « Le vecteur AB »
Déterminer l’image d’un point par une translation avec les coordonnées : pas d'exo !
Dessiner l'image d'un point par une translation (vecteur sur le dessin ou avec ses
coordonnées.
Lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur: n°21 et 19 p 212
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La représentation d'un vecteur n'est pas liée à un point. On peut avoir
plusieurs représentations sur le même dessin d'un même vecteur.

Théorème : Les coordonnées du vecteur AB sont (xB –
Le repère du plan est souvent noté (O ;
Dans ce cas le vecteur

xA ; yB – yA)

i , j ) au lieu de (O, I, J).

i représente le vecteur de la translation qui
transforme O en I et le vecteur
translation qui transforme O en J.

j représente le vecteur de la
Théorème :
Si AC = AB + BC alors A, B et C sont alignés dans ce
sens.
Triangles
Définition :
Définition :
Un triangle isocèle à deux côtés de même longueur.
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés
de même longueur.
Théorème : Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de
son plus grand coté est égal à la somme des carrés des
deux autres cotés.
p 168 n° 24 et 27
Quadrilatères
Théorème : Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés
égaux alors c'est un parallélogramme

Théorème : Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu
alors c'est un parallélogramme
j
Théorème : Si un parallélogramme a ses diagonales de même
longueur alors c'est un rectangle

i
Définition : Si un quadrilatère a 4 côtés égaux alors c'est un
losange
Théorème : Un carré est à la fois un losange et un rectangle.


Théorème : Dire que AB = CD équivaut à dire que ABDC est un
parallélogramme.
IV.
CONFIGURATIONS DU PLAN
Médiatrice
Théorème : Si un point se trouve à égale distance des deux
extrémités d'un segment alors il est sur la médiatrice
de ce segment.
Alignement
Inégalité triangulaire
Théorème : Si A, B et C sont trois points quelconques du plan alors
AC ≤ AB + BC
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