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M : Zribi
L.S.Marsa Elriadh
Isométries du plan
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Le plan est orienté dans le sens direct.
1) Définitions et propriétés :
Activité 1 :
1) Soit ABCD un carré direct de centre O et I, J, K, L les
milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
a) Démontrer que les droites (LK) et (AC) sont
parallèles.
b) Déterminer les images des points D, L, O et K par
S(AC)oS(LK).
c) On note t la translation de vecteur DO ; déterminer les images par t de D, L, O et K.
Que peut-on conjecturer sur la nature de S(AC)oS(LK).
2) Soit les applications du plan dans lui-même suivantes : translations, symétries orthogonales,
rotations, homothéties.
a) Quelles sont les applications qui conservent les angles orientés ?
b) Quelles sont celles qui transforment une droite D en une droite parallèle à D ?
c) Quelle sont celles qui conservent les distances.
Définition :
Une isométrie plane est une application du plan dans lui-même qui conserve les distances. Ce que
signifie : pour tout point M et N d’images respectives M’ et N’ on a MN=M’N’.
Application 1:
1) A et B deux points du plan ; soit A’ l’image de A par une
isométrie f. sur quelle ensemble peut-on choisir l’image B’ de
B par f. construire cet ensemble.
2) le plan est muni d’un repère orthonormé direct
( O, u , v ) on considère l’application f du plan dans lui même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’
i
π
d’affixe z ' = e 4 z .
a) montrer que f est une isométrie.
b) Justifier que f est une rotation que l’on caractérisera.
Activité 2:
1) Soit f une isométrie, A, B et C trois d’images respectives A’, B’ et C’ par f.
a) Compléter
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(
BC 2 = AC − AB
)
2
= ...........................
.
B ' C '2 = .............................
b) En déduire que AB. AC = A ' B '. A ' C ' .
2) Montrer que si f une application qui conserve le produit scalaire alors f est une isométrie.
Théorème :
Une application du plan dans lui-même est une isométrie si et seulement si elle conserve le produit
scalaire.
Application 2:
Soit A, B et C trois points distincts du plan d’image respectives A’, B’ et C’ par une isométrie f .
BAC ) = (
B ' A ' C ') .
montrer que (
Théorème :
Une isométrie conserve les mesures des angles géométriques.
Conséquence :
Les images par une isométrie de trois points non alignés sont trois points non alignés.
Activité 3:
(
)
Soit f une isométrie du plan. O , OI , OJ un repère orthonormé. Soit O’=f(O) ; I’=f(I) et J’=f(J).
(
)
1) Montrer que O ', O ' I ', O ' J ' est un repère orthonormé .
(
)
2) Prouver que si M(x,y) dans O , OI , OJ et M’=f(M) ; alors que M’(x,y) dans
(
)
O ', O ' I ', O ' J ' .
Théorème :
(
)
f une isométrie du plan. O , OI , OJ un repère orthonormé ; notons O’=f(O) ; I’=f(I) et J’=f(J) ; alors
(
)
Montrer que O ', O ' I ', O ' J ' est un repère orthonormé .
(
)
(
)
si M(x,y) dans O , OI , OJ et M’=f(M) ; alors M’(x,y) dans O ', O ' I ', O ' J ' .
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Application 3:
(
)
Soit f une isométrie du plan muni d’un repère orthonormé O , OI , OJ . on désigne par notons
(
)
O’=f(O) ; I’=f(I) et J’=f(J) ; soit N(x,y) dans O ', O ' I ', O ' J ' .
1) Montrer que N admet un unique antécédent M par f .
2) Soit g la réciproque de f ( c'est-à-dire l’application qui à tout N du plan associe son unique
antécédent M par f) vérifier que g est une isométrie.
Théorème :
Une isométrie f est une bijection du plan dans
lui-même.
L’application du plan dans lui-même qui à tout
point N du plan associe son unique antécédent
M par f est une isométrie appelée réciproque de
f et noté f-1.
f(M) =N si et seulement si f-1(N)=M
f
f-1(N)=M
N=f(M)
f-1
Conséquences :
La réciproque d’une symétrie orthogonale est elle-même.
La réciproque d’une translation de vecteur u est la translation de vecteur u .
La réciproque d’une rotation de centre I et d’angle α est la rotation de centre I et d’angle –α.
Activité 4:
(
)
Soit f une isométrie du plan muni d’un repère orthonormé O , OI , OJ . soient M(xM,yM) et
(
)
N(xN,yN) dans O ', O ' I ', O ' J ' . on désigne par O’=f(O) ; I’=f(I) , J’=f(J) , M’=f(M) et N’=f(N).
 x − xM 
1) Montrer que M ' N ' est de composantes  N
dans
O
' I ', O ' J ' .

 y N − yM 
2) P,Q, R et S des points du plan d’images respectives par f P’, Q’,R’ et S’.
Montrer que si MN = a PQ + bRS
.
alors M ' N ' = a P ' Q ' + b R ' S '
(
)
Théorème :
f une isométrie du plan, A, B, C et D des points d’images respectives A’, B’, C’ et D’ par f.
Si AB = α CD
alors A ' B ' = α C ' D ' ou α ∈ IR
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Propriétés :
Une isométrie conserve le barycentre de deux points ; en particulier elle conserve le milieu
d’un segment.
L’image d’une droite par une isométrie est une droite.
L’image d’un segment par une isométrie est un segment qui lui est isométrique.
Les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles.
L’image d’un parallélogramme par une isométrie est un parallélogramme.
Les images de deux droites perpendiculaires par une isométrie sont deux droites
perpendiculaires.
L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique.
L’image d’une tangente à un cercle en un point M est la tangente au cercle image au point
image M’.
Exercice 1 :
On considère quatre points A, B, C et D tel que AB = CD et f une isométrie telle que f(A)=A’, f(Bà)B’,
f(C)=C’ et f(D)=D’.
1) On suppose que A=B. montrer que A ' B ' = C ' D ' .
2) On suppose que A≠B.
3) a) justifier que [AD] et [BC] ont le même milieu.
b) en déduire que A ' B ' = C ' D ' .
Exercice 2:
A, B et C trois points d’images respectives A’, B’ et C’ par une isométrie f.
( A ' B ' − α A ' C ') = ( AB − α AC )
1) montrer que
2) en déduire que si AB = α AC
2
2
ou α ∈ IR .
alors A ' B ' = α A ' C ' .
Exercice 3:
soit ABC un triangle équilatéral direct I, J et K les milieux respectives de [AB], [BC] et [CA].
Soit r la rotation qui transforme B en C.
a) quelle est l’image de I par r.
b) on note C’ l’image de C par r. démontrer que (KC’) est perpendiculaire à (AC) .
c) en déduire l’image de (IC) par r.
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2) Composition d’isométries :
Activité 5:
f et g deux isométries ; montrer que fog est une isométrie.
Théorème :
La composée de deux isométries est une isométrie.
Activité 6:
Soient f et g deux isométries.
1) Supposons que f -1=g. soit N un point du plan et f(M)=N ; déterminer fog(N) ; conclure.
2) Supposons que fog=Id. soit N un point du plan et g(N)=M ; prouver que f(M)=N ; conclure.
Théorème :
f et g deux isométries.
f-1=g si seulement si fog =Id
Activité 7:
f g et h trois isométrie.
1) Determiner (fog)o(g-1of-1); conclure.
2) a) prouver que si f=g alors hof=hog.
b) prouver que si hof=hog alors f=g
c) conclure.
3) Prouver que si h=fog alors f=hog-1
Propriétés :
f , g et h trois isométries :
(fog)-1=g-1of-1.
f=g si et seulement si hof=hog.
si h=fog alors f=hog-1.
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Activité 8:
Soit D et D’ deux droites parallèles. I un point de D et J son
projeté orthogonale sur D’.
M un point du plan, on désigne par M1=SD(M) et M’=SD’(M1).
a) Déterminer SD’oSD(M).
b) Justifier que t2 u ( M ) = M ' ou u = IJ .
c) Conclure.
d) Préciser SDoSD’
Théorème :
Soit D et D’ deux droites parallèles.
La composée de la symétrie orthogonale S D d’axe D, par la symétrie orthogonale SD’ d’axe D’ est la
translation de vecteur 2u , ou u = IJ , I un point de D et J son projeté orthogonales sue D’ :
SD’oSD= t 2u
Activité 9:
Soit t une translation de vecteur non nul u .
Choisissant arbitrairement une droite D de vecteur normal
u .
a) Tracer la droite D’= t 1 (D).
2
u
b) Préciser SD’oSD . Conclure.
Théorème :
Une translation est la composée de deux symétries orthogonales d’axes
parallèles.
u
Si t est la translation de vecteur non nul u alors tu = S D 'oS D ou D une
droite choisie arbitrairement de vecteur normale u et D’= t 1 (D)
2
1
u
2
u
Application 4:
ABC un triangle équilatéral, I le milieu de (AC) ; ∆ la droite perpendiculaire à (BC) en B. montrer que
S ( AI ) ot = S∆ .
BC
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Activité 10:
D et D’ deux droite sécantes en O et de vecteurs directeurs u et u ' .
( )
M un point du plan, M1 =SD(M) et M’=SD’(M1) ; on pose u, u ' ≡ θ [ 2π ]
a) Déterminer SD’oSD(M)
()
b) Montrer que OM=OM’ et OM , OM ' ≡ 2θ [ 2π ] ;
θ
en déduire r( O ,θ ) ( M ) .
c) Conclure.
d) Préciser SDoSD’.
Théorème :
Soit D et D’ deux droites sécantes en O et de vecteurs directeurs u et u ' .
La composée de la symétrie orthogonale S D d’axe D, par la symétrie orthogonale SD’ d’axe D’ est la
rotation de centre O et d’angle 2θ ou
( )
u, u ' ≡ θ [ 2π ] : SD’oSD= r(O,2θ)
Activité 11:
Soit r une rotation de centre O et d’angle θ ; choisissons arbitrairement une droite D passant par O.
a) Tracer la droite D’= r
θ
 O, 
 2
( D) .
b) Préciser SD’oSD ; conclure.
Théorème :
Une rotation est la composée de deux symétries orthogonales d’axes sécants.
Si r est la rotation de centre O et d’angle θ alors r= SD’oSD ; ou D une droite choisie arbitrairement et
D’= r θ  ( D)
 O, 
 2
Application 5:
Soit ABC un triangle équilatéral direct ; on considère la rotation r de centre B et d’angle
π
. on note I
3
le milieu de [AC] et J son symétrique par la symétrie d’axe (BC). Déterminer les droite ∆1, ∆2 et ∆3
telles que r = S( BC ) oS ∆1 ; r = S ∆ 2 oS( BI ) ; r = S ∆3 oS( Bc ) .
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Exercice 1:
Soit ABCD un carré direct. On considère les rotations r de centre A et d’angle
π
2
et r’ de centre B et
d’angle π . on pose f =ror’.
1) Déterminer f(B) puis f(C).
2) a) déterminer la droite ∆ tel que r=S∆oS(AB).
b) déterminer la droite ∆’ tel que r’=S(AB)oS∆’.
3) Déterminer la nature et les élément caractéristique de f.
Exercice 2:
Soit un parallélogramme ABCD, ∆ la médiatrice de [AB] et ∆’ la médiatrice de [CD]. On pose P=S∆’(B)
et Q=S∆(D). quelle est la nature du quadrilatère APCQ.
Exercice 3:
(C) et (C’) deux cercles sécants en A et B. D et D’ deux droites parallèles passants par A et B ;
rencontrent (C) en P et Q et (C’) en P’ et Q’. ∆ et ∆’ les diamètres de (C) et (C’) perpendiculaires à D.
1) préciser S∆’oS∆.
2) Quelle est la nature du quadrilatère PP’Q’Q ?
Exercice 4 :
Soit un rectangle ABCD, on désigne par E le symétrique de B par rapport à A et par F le symétrique de
B par rapport à C. une droite ∆ passant par B coupe (AD) en E’ et (CD) en F’.
1) Préciser S(DC)oS(DA).
2) Montrer que les droites (EE’) et (FF’) sont parallèles.
Exercice 5:
Soit ABCD un carré de sens direct. M un point
de (BD) et P, Q, R et S ses projetés orthogonales
sur les cotés.∆ ma médiatrice de [MQ].
1) Préciser la nature et les éléments
caractéristique de f= S(BD)oS∆.
2) Montrer que les droites (MC) et (PS)
sont perpendiculaires.
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3) Isométries et points fixes :
Activité 12:
f une isométrie du plan différente de l’identité, A un point du plan et A’=f(A).
Montrer que si M est un point fixe par f alors M est un point de la médiatrice de [AA’].
Théorème :
Soit f une isométrie différente de l’identité, A un point du plan et A’ son image par f. les points fixes
de f, s’ils existent, sont sur la médiatrice de [AA’].
Activité 13:
Soit f une isométrie qui fixe deux points distincts A et B ; M appartenant à (AB) et M’=f(M).
En remarquant que AM = α AB montrer que M=M’. Conclure.
Théorème :
Si une isométrie fixe deux points distincts A et B alors elle fixe tout point de la droite (AB).
Activité 14:
Soit f une isométrie qui fixe trois points non alignés A, B et C. M un point du plan et M’=f(M).
En remarquant que AM = α AB + β AC montrer que M=M’ . Conclure.
Théorème :
Une isométrie fixe au moins trois points non alignés, si et seulement si, c’est l’identité du plan.
Activité 15:
A, B et C trois points non alignés. f et g deux isométries telles que f(A)=g(A)=A’ ; f(B)=g(B)=B’ et
f(C)=g(C)=g’ . on pose h= f-1og ; déterminer h(A) ; h(B) et h(C). Conclure.
Théorème :
Deux isométries qui coïncident en trois points non alignés coïncident partout.
On dit qu’une isométrie est parfaitement déterminée par la donnée de trois points non alignés et
leurs images.
Activité 16:
Soit f une isométrie différente de l’identité et qui fixe deux points distincts A et B. montrer que
f=S(AB).
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Théorème :
Si une isométrie f fixe exactement deux points distincts A et B alors f est la symétrie orthogonale
d’axe (AB)
Activité 17:
Soit f une isométrie qui fixe un unique point I ; A’ un point distinct de I et A’=f(A). on note ∆ la
médiatrice de [AA’]. On pose g=S∆of.
a) Déterminer g(I) et g(A) ; en déduire la nature et les éléments caractéristiques de g.
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
Théorème :
Si une isométrie f fixe un unique point I alors f est une rotation de centre I et d’angle non nul.
Activité 18:
O un point du plan, f une isométrie et f(O)=O’. soit g = tO
of .
'O
Vérifier que g est une isométrie qui fixe O .
Justifier que f se décompose de manière unique en la composée d’une translation et d’une isométrie
qui fixe O.
Théorème :
Soit f une isométrie et O un point du plan.
L’isométrie f se décompose de manière unique sous la forme tog ou g une isométrie qui fixe O et
.
t = tOO
'
Activité 19:
Soit f une isométrie sans points fixes ; il s’agit de montrer que f est soit une translation de vecteur
non nul, soit la composée d’une translation de vecteur non nul u et d’une symétrie orthogonale
d’axe ∆ de vecteur directeur u .
O un point du plan et O’=f(O) ; on sait qu’il existe une unique isométrie g qui fixe O tel que
og .
f = tOO
'
g est donc : soit l’identité du plan, soit une rotation d’angle non nul, soit une symétrie orthogonale..
1) si g =id ; identifier f.
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2) si g = r( I ,α ) . soit D la droite passant par O et orthogonale à OO ' .
= S oS
Déterminer les droite ∆ et ∆’ telles que tOO
∆
D et r( I ,α ) = S D oS ∆ ' .
'
Identifier f. conclure.
3) si g = S∆ . ( O∈∆)
a) on suppose que OO ' est orthogonale à ∆. Identifier f et conclure.
b) on suppose que OO ' est colinéaire à ∆. Montrer que f n’a pas de points fixes.
c) on suppose que OO ' est ni colinéaire, ni orthogonale à ∆. Identifier f.
Théorème :
Toute isométrie sans points fixes est soit une translation de vecteur non nul, soit la composée d’une
translation de vecteur non nul u et d’une symétrie orthogonale d’axe ∆ de vecteur directeur u
Théorème :
Une isométrie se décompose en au plus trois symétries orthogonales.
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