Transcript isométries

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Un résumé de: Les isométries
1. Définitions et propriétés
(d’une isométrie)
Définition
Soit f une application du plan dans lui-même.
On dit que f est une isométrie du plan si elle conserve la distance
c’est-à-dire pour tous points M et N d’image respectives M et N
par f on a : MN
MN.
Théo rème
(Isométrie et produit scalaire)
Soit f une application du plan dans lui-même.
f est une isométrie, si et seulement si, elle conserve le produit scalaire
Autrement dit:: f est une isométrie
Pour tous points A, B et C
d’images respectives A , B et C par f; on a : A B . A C
AB. AC.
Conséquences
1. L’isométrie conserve les mesures des angles géométriques.
C’est-à-dire: Si f est une isométrie et A, B et C sont trois points
d’images respectives A , B et C par f; on a : A B C
ABC.
2. L’isométrie conserve l’alignement et aussi elle transforme trois
points non alignés en trois points non alignés.
3. L’isométrie transforme un repère orthonormé en un repère
orthonormé. C’est -à-dire: Si f est une isométrie et A, B et C sont
trois points d’images respectives A , B et C par f; on a :
Si A, AB, AC est un repère orthonormé alors A , A B , A C
est
aussi un repère orthonormé.
4. Si f est une isométrie et A, B, C et M sont trois quatre points d’images
respectives A , B , C et M par f; on a :
Si A, AB, AC est un repère orthonormé et M tel que AM xAB yAC
avec x, y
IR 2 alors A M xA B yA C
Théo rème
(Isométrie réciproque)
Soit f une isométrie. On a:
Pour tout point M du plan, il existe un seul M du plan tel que f M M
C’est-à-dire tout point du plan admet un seul antécédent par f.
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Définition
et
Conséquence
Toute isométrie est une bijection du plan dans lui-même.
Soit f une isométrie. L’application, qui à tout point du plan associe
son unique antécédent, est appelée la réciproque de f et notée f 1 .
Ainsi
fM
N
f
1
N
M
avec M, N
P2.
Remarques
1. est une droite. On a : S 1 S
2. u est un vecteur. On a: t u1 t u .
3. O est un point. On a: S A1 S A .
4. I est un point et un réel. On a: R I,1
R I,
.
2. Isométries et configurations
Théo rème
Soit f est une isométrie et A, B, C et D sont quatre points d’images
respectives A , B , C et D par f; on a :
Si
AB
CD avec
un réel
alors A B
CD
Conséquences
1. Toute isométrie conserve le barycentre en particulier le milieu.
2. L’image, par une isométrie, d’un parallélogramme est un
parallélogramme.
3. L’image, par une isométrie, d’un segment est un segment qui lui est
isométrique.
4. L’image, par une isométrie, d’une droite est une droite.
5. Toute isométrie conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
6. L’image d’un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est
isométrique.
7. L’image, par une isométrie, de la tangente en un point M à un
cercle est la tangente au cercle image au point M image de M.
On dit qu’une isométrie conserve le contact.
3. Composition d’isométries
Définitions
(Composée de deux applications)
Soient f et g deux application du plan dans lui-même.
L’application composée de f par g, noté g f, qui à tout point
gfM .
M associe le point M
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f
M
g
fM
gfM
g f
Conséquence
Soient f, g et h trois applications du plan dans lui même. On a:
g f h g f h
g f h.
Théo rème
La composée de deux isométries est une isométrie.
Théo rème
Soient f et g deux isométries.
g
1
f
f g
g
f g
1
g
f
1
Id
où Id désigne l’identité du plan.
f 1.
g h
f h
avec h est une troisième isométrie.
(Composée de 2 symétries orthogonales)
Théo rème
Soient D 1 et D 2 deux droites. On a :
Si D 1 et D 2 sont sécantes en un points I
alors S D 1
S D2
R I;2
la rotation de centre I et d’angle
u 2; u 1
avec u 1 un vecteur
directeur de D 1 et u 2 un vecteur directeur de D 2 .
Si D 1 et D 2 sont perpendiculaires et sécantes en un point I alors
S D 1 S D 2 S I la symétrie centrale de centre I.
Si D 1 et D 2 sont parallèles alors S D 1 S D 2 t 2IJ la translation
de vecteur 2IJ avec I un point de D 2 et J son projeté orthogonal sur D 1 .
4. Isométries et points fixes
Théo rème
Toute isométrie qui fixe trois points non alignés est l’identité du plan.
Théo rème
Soient A et B deux points distincts du plan P et f une isométrie de P
différente de Id. l identité du plan). On a :
f fixe A et B
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f
S
AB
la symétrie orthogonale d’axe AB
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Théo rème
Soient
On a :
est un point de P et f une isométrie de P différente de Id.
f ne fixe que
f est une rotation de centre
Théo rème
Soient f est une isométrie qui ne fixe aucun point et O un point
de P d’image O’ par f. On a :
Il existe une seule isométrie g fixant O et telle que f t
g.
OO
Théo rème
Une isométrie qui n’a pas de point fixe est soit une translation de
vecteur non nul, soit la composée d’une translation de vecteur non nul
u et d’une symétrie orthogonal d’axe
Définitions
tel que u est directeur de .
(Symétrie glissante)
La composée d’une translation de vecteur non nul u et d’une
symétrie orthogonal d’axe
tel que u est directeur de
est
appelée symétrie glissante.
5. Décomposition d’une isométrie
Théo rème
Toute isométrie se décompose en au plus trois symétries orthogonales
Théo rème
(Décomposition d’une rotation)
Soit R une rotation de centre un point I et d’angle un réel . On a:
R
SD
S D avec D une droite passant par I et dirigée par un
vecteur u et D est la droite passant par I et dirigée par un
vecteur v vérifiant u, v
.
2
Théo rème
Soient u un vecteur et t u la translation de vecteur u. On a :
t u S D2
S D 1 avec D 1 une droite quelconque de direction
orthogonale à celle de u et D 2
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t 1 u D1 .
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Théo rème
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(Classification des isométries)
Décomposition en
Ensemble des points
symétries orthogonales
fixes
Identité du plan
SD S D
Tout le plan
symétries orthogonales
SD
La droite D
Nature de l’isométrie
d’axe D
rotation de centre I
et d’angle
SD
S D (D
D
SD
S D (D
D
I
I
02
Translation de vecteur
non nul
Symétrie glissante de
d’axe D et de vecteur u
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SD SD
D
D
S D avec
et D D
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