Transcript Cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée Francis Ziegeltrum 16 octobre 2010 Réunion CCS.

Cadran solaire de temps moyen
sur une surface réglée
Francis Ziegeltrum
16 octobre 2010
Réunion CCS
Coordonnées horizontales
S
Il y a un an je vous avais présenté
ma méthode de calcul des
coordonnées du Soleil dans le repère
horizontal utilisant les matrices de
rotation.
C’est une méthode qui fait
abstraction de la trigonométrie et
utilise un outil de l’algèbre.
Je vous rappelle en quelques mots la
méthode: partant de la longitude
moyenne du Soleil, on effectue 3
changements de repère pour arriver
au repère local que l’on nomme le
repère horizontal. A chaque
changement de repère correspond
une matrice de rotation.
xh

 yh
z
 h





Zh
Yh
Gnomon
Xh
xh

 yh
z
 h




  R y      R z  LMST
2



 cos l  


  R x     sin l  
 0 


Projection sur une surface plane
Connaissant les coordonnées
cartésiennes du Soleil à tout
instant, on peut facilement à
calculer la projection d’un point
sur une surface plane. On peut
ainsi calculer les courbes en
huit qui caractérisent les
cadrans solaires de temps
moyen.
xh

 yh
z
 h





Zh
Yh
P
xp

 yp

 zp





Xh
La projection du point P
sur la surface plane
revient à déterminer le
point d’intersection de la
droite passant par S et P
avec la surface
Gnomon
S
M
xm

 ym
z
 m





Généralisation
xh

 yh
z
 h





Zh
Yh
P
xp

 yp

 zp





Xh
Existe-t-il des familles de
surfaces permettant de
trouver facilement le point
d’intersection avec une
droite?
Gnomon
S
M
xm

 ym
z
 m





…(
Rappel de géométrie analytique

D A,u
Espace euclidien
L’espace euclidien est un espace imaginaire
dans lequel peuvent s’effectuer les calculs de
la géométrie analytique.
Pour cela il faut un repère pour les
coordonnées cartésiennes et un espace
vectoriel pour décomposer les vecteurs.
Le plus petit élément de l’espace est le point.
Celui-ci est localisé dans l’espace à l’aide de
ces coordonnées.
L’élément suivant est le vecteur représenté
par une flèche. Tout vecteur de l’espace se
décompose en somme des vecteurs i,j et k.
u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du
vecteur u.
Par un point passe un infinité de droite ayant
chacune son vecteur directeur. Tout point de
la droite s’écrit en utilisant les coordonnées
de A et de u. a est le paramètre.

 x  x A   .u 1

 y  y A   .u 2
 z  z   .u
A
3

u
xA

A yA
z
 A





 u1

u u 2
u
 3


  u1i  u 2 j  u 3 k


Géométrie analytique
Opération sur les vecteurs
Produit scalaire
( u .v )  u 1 .v 1  u 2 .v 2  u 3 .v 3
Norme d’un vecteur
u 
Produit vectoriel
 u 2v3  u 3v 2 


u  v u 3 v1  u 1v 3 
u v u v 
2 1 
 1 2
Produit mixte
( u .u )
u , v , w   u  v  w   u  v  w 
Géométrie analytique
Fonctions visual basic
Comme toujours je me sers d’un tableur et surtout de la programmation visual basic qui
permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul.
Function produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3)
produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3
End Function
Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3)
Dim pproduit_vectoriel(3) As Double
pproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2
pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3
pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1),
pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3))
End Function
Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3)
produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0),
produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2))
End Function
Géométrie analytique
Positionnement d’une droite dans l’espace
u
Droites coplanaires
v
A
Da
B
Deux droites sont coplanaires
si et seulement si les vecteurs AB , u et v
sont coplanaires,
C’est-à-dire si le produit mixte AB , u , v  0


Db
Géométrie analytique
Positionnement d’une droite dans l’espace
Droites sécantes
Db
Da
I
u
A
v
Deux droites sont sécantes
si et seulement si elles sont coplanaires
et non parallèles
B
Géométrie analytique
Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes
Le point d’intersection I appartient aux
deux droites donc:
 x I  x A   .u 1  x B   .u 1

 y I  y A   .u 2  y B   .u 2
 z  z   .u  z   .u
A
3
B
3
 I
Db
Da
I
u
A
v
En éliminant  on trouve l’expression de :
B
 
v 2 .x B  v 1 . y B  v 2 .x A  v 1 . y A
v 2 .u 1  v 1 .u 2
Géométrie analytique
Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes
Les coordonnées de I sont:
Db
 x I  x A   .u 1

 y I  y A   .u 2
 z  z   .u
A
3
 I
Da
I
u
A
v
Avec:
B
 
v 2 .x B  v 1 . y B  v 2 .x A  v 1 . y A
v 2 .u 1  v 1 .u 2
Rappel de géométrie analytique
)
Surface réglée
Définition
Génératrice
Une surface est dite réglée si elle est engendrée par des droites D A (  ), u (  ) 
où A (  ) est une courbe paramétrée et u (  ) est un vecteur également
paramétré.
u  
A  
Génératrices
Surface réglée de révolution
Nous allons nous intéresser plus particulièrement
aux surfaces réglées de révolution.
Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée
A et une droite appelée génératrice ayant comme
vecteur directeur le vecteur u parallèle à l’axe z.
Par chaque point du cercle passe une droite dirigée
par u. L’ensemble de ces droites forment la surface
d’un cylindre.
Z
0
 
u 0 
1
 
Y
X
Surface réglée de révolution
Génératrices
Première surface:
Un cylindre
0
 
u 0 
1
 
J’ai donc généré une surface réglée à
partir d’une droite parallèle à l’axe z
et s’appuyant sur un cercle. Je peux
placer un autre cercle à une certaine
distance du premier. Toutes les
génératrices coupent ce cercle.
Z
Y
 R . cos  


A   R . sin  


0


X
Surface réglée de révolution
Rotation du cercle supérieur
d’un angle j
Deuxième surface:
un hyperboloïde à une nappe
Z
Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces
2 cercles et que je tourne celui du haut d’un angle phi,
les génératrices ne sont plus parallèles à l’axe z mais
s’inclinent. La surface engendrée par les droites n’est
plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une
nappe. Si l’on continu de tourner le cercle supérieur on
finit par obtenir un cône.
Y
u ()
 R . cos  


A   R . sin  


0


X
Surface réglée de révolution
j0 : : :
0<j<180
j180
Cylindre
Hyperboloïde
Cône
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
B
S
Zh
SP
PB
Yh
AB
P
Xh
I
A
Un point I projection de P
appartient à la surface réglée
si et seulement si il appartient à
une des droites génératrices.
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
B
S
Zh
SP
PB
Yh
AB
P
Xh
I
A
Un point I projection de P appartient à
la surface réglée
si et seulement si les vecteurs
sont coplanaires
SP AB PB
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
L 

 cos(   j ) 

R 

PB  sin(   j )

 Hb



 R

 xh

SP   y h
z
h

B
S
Zh
SP
PB





Yh
AB
P


 cos(   j )  cos(  ) 


AB  sin(   j )  sin(  ) 
 Hb  Ha



R


Xh
I
A
Un point I projection de P
appartient à la surface réglée
si et seulement si le produit mixte
SP , AB , PB   0
xh

S  yh
z
 h





Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution


La résolution de SP , AB , PB  0 permet de déterminer la valeur 
Variation de
SP , AB , PB (  )
pour  180 <  <  180
max

min

La fonction SP , AB , PB (  ) a une
forme sinusoïdale et passe donc par
une valeur mini et une valeur maxi.
Entre ces deux extrema, la fonction
s’annule.
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
max
min
On détermine la valeur  pour laquelle
le produit mixte s’annule en utilisant la
méthode numérique de résolution dite de
dichotomie sur l’intervalle [min, max .
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
Résumé de la méthode
1. Calculer les coordonnées du Soleil dans le repère horizontal à l’aide de la
méthode décrite dans le Traité abrégé de gnomonique.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs
SP AB
PB


3. Déterminer  en résolvant par la méthode de dichotomie SP , AB , PB  0
4. Calculer les coordonnées de I point d’intersection de la droite passant par
S et P avec la génératrice de la surface.
5. Calculer la norme du vecteur A I
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
Tracé sur la surface
B
S
Zh
Yh
P
Xh
I
A
Pour chaque point I on connait
l’angle  positionnant le point A
sur le cercle de base, sur le
segment AB on marque la
distance AI  A I
Cadran solaire sur une surface réglée de
révolution
Cadran solaire sur un hyperboloïde
Centrale nucléaire de Civaux-Simulation