Transcript Aspects mathématiques de la cristallographie

Aspects mathématiques de la
cristallographie
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Opérations de symétries
Notion de réseau
Compatibilité translation rotation
Groupes de symétries
Réseau réciproque
OPERATIONS DE BASE
-Translation
- Rotation
-Réflexion
REPRESENTATION ANALYTIQUE PAR DES MATRICES
Il est assez pratique de représenter les rotations et les
réflexions par des matrices. Il faut choisir un système de
coordonnées telles que l'origine soit un point invariant.
L'effet d'une transformation s'écrit alors :
x'1
 x1
x'2M.x2
 x'3
 x3
Si la base est orthogonale, ou si elle génère un réseau qui a la
transformation étudiée comme élément de symétrie alors:
- Le déterminant de M est +1 pour les rotations, et -1 pour les
réflexions.
- Les valeurs propres de M sont 1, e iq, e-iq , pour les rotations,
et 1, 1, -1, pour les réflexions.
Exemple :
Rotation angle q d'axe Oz dans un
référentiel orthogonal (O x y z)
Soit i j k la base et i' j' k' une base
obtenue par la rotation soit r = xi + yj + zk
et son transformé r' = x'i + y'j + z'k
On a : r' = x'i + y'j + z'k = xi' + yj' + zk'
avec i' = cosq i + sinq j
j' = - sinq i + cosq j
Il vient
x'1 cosq sinq 0  x1
x'1 = x1 cosq - x2 sinq x'  sinq cosq 0 .x 
2 
 2
0 1  x3
x'2 = x1 sinq + x2 cosq  x'3  0
 
Exemple :
Miroir parallèle au plan 0xz
x'1 = x1
x'2 = x2
x'3 = - x3
M
1
 0
0
0
1
0
0
1
0  ou 0
0
1
0
1
0
0
0
1 
Exemple :
Rotation de 120°
i’ = j
j' = - i -j
 x '    0
 y'   1
1  x 
 

1  y 
THEOREMES FONDAMENTAUX DE
COMBINAISONS DES OPERATIONS DE
SYMETRIE
Théorème I : la ligne d'intersection de deux miroirs
formant un angle diédral a /2 est un axe de rotation d'angle a
Théorème II : une translation t peut être obtenue par
combinaison de deux miroirs parallèles distants de t/2
Théorème III : (Euler) : La combinaison de deux rotations
autour de deux axes qui se coupent N a et Nb en un point est une
rotation autour d'un 3ème axe passant par le même point
(démontré avec th. I)
La ligne d'intersection de deux miroirs formant un
angle diédral a est un axe de rotation d'angle 2 a
Miroirs avec un angle
Angle faible
Miroirs parallèles
Combinaison de deux axes qui se
coupent : trois miroirs
Écrire que R1=m1 . m2 et R2 . m3; alors R3= R1. R2 = m1 . m3
NOTION DE GROUPE DE SYMETRIES
L'ensemble des opérations de symétrie d'un objet forme un
groupe.
Un groupe est tel que l'on ait :
• Une loi de combinaison d'éléments : Ici l'application
successive de deux opérations de symétrie.
• Un élément neutre : L'identité- Opération qui laisse
l'objet identique.
• Un inverse : Une opération qui replace l’objet à sa
position de départ.
Exemple : Groupe de symétries du triangle
équilatéral à 2D.
NOTION DE RESEAU
DEFINITION D'UN RESEAU
Un cristal est un objet qui présente une symétrie de translation :
si on le translate d'un certain vecteur, on retrouve un objet superposable à
l'objet de départ. Ceci implique donc qu'un cristal soit infini.
Le très grand rapport entre la taille d'un cristal réel et la distance
inter atomique montre que le cristal réel est une bonne approximation
d'un objet infini.
Considérons la combinaison de plusieurs translations qui
laissent donc le cristal globalement invariant, Il s'ensuit :
- Si une translation de vecteur, i est une translation possible
alors n fois i est aussi une translation possible.
- Si deux translations i et j, avec i et j vecteurs indépendants
(cette condition distingue les cristaux des quasi-cristaux) sont des
translations possibles alors i + j est une translation possible.
- Par conséquent si i, j et k sont 3 translations possibles, i, j et
k étant indépendants alors ceci est une translation possible :
R = u i + v j + w k (u, v, w sont entiers)
Définitions :
C'est l'ensemble des vecteurs R qui caractérisent
toutes les translations possibles, que l'on appelle le
réseau.
C'est un groupe abélien ( a + b = b + a c'est à dire
commutatif)
On représente le réseau par l'ensemble des points extrémités des
vecteurs R à partir d'une origine O arbitraire.
• Ces points sont appelés nœuds du réseau.
• On appelle base un ensemble de trois vecteurs de translation
indépendants. (3 vecteurs à 3D, 2 vecteurs à 2D).
• On appelle maille primitive : une maille ne contenant qu'un seul nœud.
• Une maille contenant plusieurs nœuds est une maille multiple.
Il y a toujours une maille primitive dans un réseau (et même une infinité), mais il
est parfois pratique d'introduire une maille multiple afin de mettre en évidence
certaines symétries du réseau.
Exemple : réseau cubique centré.
Maille primitive et maille multiple
Différents choix de vecteurs de base et mailles élémentaires
(hachurées) d'un réseau carré à deux dimensions. Chacune
de ces mailles élémentaires pave l'espace. Les trois mailles
de gauche sont primitives puisqu'elles contiennent un nœud
par maille. Les mailles de droite sont doubles.
COMPATIBILITE TRANSLATION ROTATION
Si le cristal a une symétrie de rotation autour d'un axe, ceci est vrai pour
tous les axes obtenus par translation par un vecteur du réseau.
Ceci entraîne des restrictions sur les rotations possibles.
Démonstration :
•Soit un axe de rotation passant par Ao.
Voir la figure ci-dessous dans le plan perpendiculaire à
l’axe en Ao.
•Soit t la plus petite translation du
réseau dans le plan de la figure ; les
points A-1 et A+1 obtenus par
translation de t et de -t du point Ao.
Nous supposons* cette translation
orthogonale à l’axe.
*sinon, en la combinant avec une de ses images par la rotation, on obtiendrait une translation orthogonale à l’axe.
Le vecteur B’B doit être une translation de réseau, car les deux point B et B’
sont équivalents.
On a BB' = 2t cos a et BB' // t donc BB' = nt
Les seules rotations possibles ont pour angles
: 60°, 90°, 120°, 180°
BB' // t donc BB' = nt
n est un nombre entier car BB' appartient au réseau,
et comme BB' = 2t cos a , |n|c2 :
n = 1 ou - 1 |cos a | = 1/2
a = 60° ou 120°
n = 2 ou -2
|cos a| =1
a = 0 ou 180°
n= 0
cos a = 0
a = 90°
Ordres possibles : 2, 3, 4 et 6
Réseaux et motifs
Dessin d’Escher
Et non !
/
http://www.chez.com/mcescher
M.C. Escher
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) était un
artiste néerlandais, connu pour ses gravures sur
bois, lithographies et mezzotintos, qui essaient de
représenter des constructions impossibles,
l'exploration de l'infini, et des combinaisons de
motifs qui se transforment graduellement en des
formes totalement différentes.
Son œuvre expérimente diverses méthodes de
pavage en 2 ou 3 dimensions ou représentent des
espaces paradoxaux qui défient nos modes
habituels de représentation. L'œuvre de Maurits
Cornelis Escher a séduit de nombreux
mathématiciens.
Hexagonal
Axes de symétrie en supposant tous les poissons
De la même couleur.
Symétrie d’ordre 5 ?
Quelle symétrie ?
Une autre géométrie
GROUPES DE SYMETRIE
DU CRISTAL
On obtient un cristal en appliquant le groupe de translations à un motif formé
d'un ou plusieurs atomes. Alors que le réseau est un concept mathématique
abstrait, le motif est un objet physique.
Le réseau possède des symétries de rotation et miroir. Le cristal peut
avoir les mêmes symétries ou simplement avoir un sous-groupe de ces symétries.
Dans le premier cas, on dit que le cristal est holoédrique; il est hémiédrique s'il
n'a que la moitié des éléments de symétrie du réseau.
Pour des raisons physiques, le cristal présente nécessairement des
symétries du réseau : ce sont les atomes qui s'arrangent entre eux localement
pour former le motif et donc le cristal. Il est donc rare que le réseau ne soit pas
holoédrique ou hémiédrique.
On appelle groupe ponctuel l'ensemble des éléments de symétrie
obtenue en supprimant les translations.
C’est un groupe tel qu’il y a un point invariant par toutes les opérations de
symétrie.
À trois dimensions il y a 32 groupes ponctuels possibles.
Réseaux de Bravais à 2D
- Monoclinique : deux vecteurs (a b) et un angle quelconques (a).Aucune
symétrie miroir dans la maille. Il y a par contre des axes d’ordre deux dans
la maille.
- Orthogonal : deux vecteurs orthogonaux. Miroirs suivant les vecteurs de
bases.
- Rhombique : deux vecteurs de mêmes modules. Miroirs diagonaux dans
la maille.
- Hexagonal: deux vecteurs de mêmes modules à 60° ou 120°. Axes
d’ordre trois ou six dans le réseau décrit par la maille.
- Carré: deux vecteurs de mêmes modules orthogonaux. Axes d’ordre
quatre dans la maille.
Pouvant être de type :
- Monoclinique : P - Orthogonal: P - Rhombique :P - Hexagonal : P Carré : P
Remarque :
Un réseau carré centré est un autre réseau carré de maille plus petite et
tournée de 45°.
Un réseau orthogonal centré est un réseau rhombique.
14 Réseaux de Bravais
trois vecteurs et trois angles quelconques
Trois vecteurs (a, b, c) et un angle
quelconques (g); deux angles droits,
c orthogonal à a et b. Le plan (ab)
est miroir du réseau.
Trois vecteurs de modules
quelconques ; trois angles
droits. Toutes les faces
sont miroirs du réseau.
14 Réseaux de Bravais suite
Deux vecteurs de mêmes modules ; trois
angles droits. Toutes les faces sont miroirs du
réseau. Il y a un axe d'ordre 4.
Deux vecteurs de mêmes modules à 60°
ou 120°; le troisième orthogonal. Toutes
les faces sont miroirs du réseau. Il y a
un axe d'ordre 6.
Trois vecteurs de mêmes modules ; trois
angles égaux. Il y a un axe d'ordre 3
suivant la diagonale de la maille.
Trois vecteurs de mêmes
modules ; trois angles
droits. Le réseau a la
symétrie du cube.
Tables internationales de cristallographie
PLANS RETICULAIRES
INDICES DE MILLER
On groupe les nœuds en famille de
plans parallèles.
• Propriété d'une famille de plans :
les plans sont identiques et se
correspondent par une translation.
•Tous les nœuds sont sur des plans
(pas de point intermédiaire, pas de
plan vide).
•On caractérise une famille par un
plan particulier : le plus proche de
l'origine ne passant pas par l'origine
(en fait un des deux). Indices
[h,k,l].
PLANS RETICULAIRES
RESEAU RECIPROQUE : plans réticulaires
Soit un plan réticulaire. Son équation s'écrit : ri .u= m d,
u normale unitaire au plan, ri nœud du plan, d distance interréticulaire
On peut écrire :
ri . N = m
avec
N = u/d
N est un vecteur perpendiculaire aux plans et de longueur
proportionnelle à la densité de plans.
Il est clair que N et r ne sont pas
vecteurs d'un même espace,
car leur produit est sans dimension.
[r] = L
[N] = L -1
On exprime N dans son espace par :
N = X A1 + Y A2 + Z A3
avec
r = x a1 + y a2 + z a3
Équation d’un plan réticulaire
On exprime N dans son espace, avec des vecteurs de base Ai , par :
N = X A1 + Y A2 + Z A3
avec
r = x a1 + y a2 + z a3
a1
X 
r.Nx yz.a2.A1A2A3.Y 
a3
Z 
Si on impose Ai.aj = d ij
100  X 
r.Nx yz010Y 
001  Z 
L’équation d’un plan de la famille réticulaire est donc :
xX + yY + zZ=m
Soit un plan de la famille passant par trois nœuds sur les trois axes de base de
coordonnées :
(p 0 0), (0 q 0) et ( 0 0 r) donc tel que p, q,r sont entiers.
Son équation est donc :
x/p + y/q + z/r = 1 , que l’on écrit x qr + y pr + z pq = pqr
équation de la forme xX + yY + zZ=m .
Les quatre entiers m=pqr, X=qr, Y=pr et Z= pq caractérisent un plan.
Dans cette famille réticulaire, le plan passant par l’origine a pour
équation xX + yY + zZ=0, et le suivant, « le plus proche de l’origine » xX + yY +
zZ=1 . Ce plan coupe les axes de bases, pour a en (0,0,1/h ), pour b en (0,1/k ,0)
et pour c en (0,0,1/l) suivant la définition des indices de Miller. Donc les
nombres X, Y et Z qui sont les coordonnées de N sont aussi les indices de Miller.
c
p=2 q=3 r=1
b
a
ESPACE ET RESEAU RECIPROQUE
C'est l'espace des vecteurs N que l'on nomme espace
réciproque
Le réseau R* = h A1 + k A2 + l A3
est le réseau réciproque. (avec h,k,l entiers).
(A1 , A2 , A3) noté aussi souvent (a1* a2* a3*) sont les vecteurs de la
base réciproque.
Caractérisation des vecteurs du réseau
réciproque à 2D
réseau direct
(a , b )
réseau réciproque (a* b*)
Caractérisation des vecteurs du réseau réciproque A 2D -Suite
d01 = b sin g
d10 = a sin g
| b*| = 1/d01 |a*| = 1/d10
On introduit a b sin g = S surface de la maille
b* = a/(ab sin g ) a* = b/(ab sin g )
Surface de la maille réciproque
a* b* sin g* avec g* = p - g
a* b* sin g* = ab sin (p -g) = 1/S
(ab sin g)2
donc S* = 1/S
EXEMPLE DE RESEAUX RECIPROQUES
Réseau carré a
réseau carré
Réseau orthogonal (maille rectangulaire)
a Réseau orthogonal , mais côté large
devient étroit et réciproquement.
Réseau hexagonal (maille avec
angle de 120° à l’origine)a
Réseau hexagonal (maille avec
angle de 60° à l’origine).
Caractérisation des vecteurs du réseau
réciproque à 3D
En écrivant simplement que le module du vecteur de base réciproque
c*, est inverse de la distance réticulaire (001), et que cette distance est
la hauteur du parallélépipède formant la maille, il vient :
d001 = V/(ab sin g)
c* = a b sin g/V a* = b c sin b/V , b* = a c sin b /V
On peut alors écrire vectoriellement (a* et b*
c
*
ab

a,b,c )
sont obtenus par permutation)
On montre alors que V* =1/V
avec le volume V =(a,b,c)
DISTANCES RETICULAIRES
La distance [hkl] entre deux plans réticulaires voisins est la
distance inter-réticulaire. On peut la calculer comme l'inverse de la
distance entre un nœud [hkl] et l'origine dans l'espace réciproque.
On a donc :
1/dhkl = (rhkl.rhkl)1/2
rhkl.rhkl = (ha*1 + ka*2 +la*3)2
a*1

*  * * * h
rhkl.rhklhkl.a2. a1a2a3 .k 
l
*

a3


 a*12 a*1.a*2a*1.a*3
 * * *2 * * h
rhkl.rhklhkl.a2.a1 a2 a2.a3.k 
* * * * *2  l 
a3.a1a3.a2 a3 


La matrice 3x3 est en fait un tenseur : le tenseur métrique du
réseau réciproque.
Exemple de calcul de distances réticulaires
Réseau cubique Dans ce cas |a*1| = |a*2| = |a*3| = 1/a et a*1 ^ a*2 ^a*3
1 a2 0 0 
h
2


rhkl.rhklhkl. 0 1 a 0 .k 
2 l 
0
0
1
a 

dhkl = a/( h2 + k2+ l2)1/2
Réseau orthorhombique : a*1 ^ a*2 ^ a*3 avec trois modules différents
1 a2 0 0 
h
2/a2 + k2/b2+ l2/c2 )-1/2
2


d
=
(
h
hkl


.

hkl
.
0
1
0
.
k
b  
rhkl rhkl

2 l 
0
0
1
c 

Réseau hexagonal : | a*1| = | a*2| =2/a√3
4 3a22 3a2 0 
h 
2
2


rhkl.r hklhkl.2 3a 4 3a 0 .k 
2 l 
0
0
1
c 

| a*3| =1/c
dhkl ={ 4/3a2 (h2 + k2+hk)+ l2/c2 }-1/2