Transcript Réseau cubique centré

Structures et réseaux
RESEAUX CUBIQUES
Réseau cubique simple
C'est le réseau construit sur une base orthonormée.
Le réseau réciproque est aussi cubique simple.
Réseau cubique centré
a) Maille
-Maille cubique multiple ayant un nœud en son centre.
-Maille primitive rhomboédrique en prenant l'origine au centre du
cube et trois vecteurs de base pointant vers trois sommets du cube.
Ces trois sommets forment un triangle équilatéral ayant des
diagonales de faces du cube pour arête. L'angle a entre deux
vecteurs de cette base est tel que cos a =-1/3 donc a ≈109°28'.
-La multiplicité de la maille cubique est 2.
Cubique centré
Réseau réciproque
Le réseau réciproque est cubique, mais une analyse en termes
de plans réticulaires et d'indices de Miller montre que les
nœuds (h,k,l) n'existent que si h+k+l= 2n (un nombre
pair).
Considérons le plan d' indices de Miller (1,0,0) le plus proche de l'origine comme pour le réseau
cubique simple.
Mais alors les nœuds comme celui au centre de la maille cubique ne sont pas sur un plan réticulaire.
Donc (2,0,0) doit être pris à la place.
Réseau réciproque analytiquement
On exprime les vecteurs de base primitive dans le repère orthonormé,
de la base cubique de côté a :
-1/2 1/2 1/2
1/2 -1/2 1/2
1/2 1/2 -1/2
Dans cette base, leur module est √3/2 et ils font entre eux un angle a
tel que cos a =-1/3 (a=109°28').
Vecteurs réciproques avec V=1/2

 10
a2a3 2
1
 2
 0
a111


a1a2a3
V
0


donc 1
1

1 1
0 1
1 0
Ces vecteurs de module √2 font des angles de 60°.
Ils forment une base primitive de réseau cubique à faces centrées
Cubique à faces centrées
Réseau réciproque du c.f.c
Le réseau réciproque est cubique, mais une analyse en termes de plans
réticulaires et d'indices de Miller montre que les nœuds (h,k,l) n'existent que si
les trois nombres h k et l ont la même parité. On peut alors voir le réseau
réciproque comme un réseau cubique centré de paramètre double de celui du
cubique simple. Voir par exemple qu'il n'y a pas de nœuds (1,0,0) mais des
nœuds (2,0,0) correspondants à des plans réticulaires deux fois plus proches. Par
contre le nœud (1,1,1) existe.
Réseau réciproque analytiquement
On exprime les vecteurs de base primitive dans un repère orthonormé :
0 1/2 1/2
1/2 0 1/2
1/2 1/2 0
Dans cette base, leur module est √2/2 et ils font un angle a=60°.
Avec
La base réciproque est
a  a a V

3
1
2
1 1 1


1 1 1
 1 1 1

Réseau Hexagonal
Maille définie par une base ayant deux vecteurs de même module
faisant un angle de 120° entre eux ; un troisième vecteur de module
quelconque est orthogonal aux deux premiers. Elle n'a rien d'hexagonal
dans sa forme, mais elle décrit un réseau de symétrie hexagonal.
Réseau réciproque
Il est également hexagonal avec une maille construite sur une base
ayant deux vecteurs de même module faisant un angle de 60°.
Notation à quatre indices : (h,k,-(h+k),l) et en ne considérant que les deux
premier et le dernier.
STRUCTURES COMPACTES
On désigne ainsi les structures où les atomes pratiquement sphériques
se disposent de façon à constituer une structure de volume minimum.
Les atomes se comportent comme des sphères dures. Ceci se rencontre
surtout pour les métaux.
Empilement de sphères
Structure Hexagonale Compacte
Structure compacte cubique à faces centrées
c.f.c.
c.f.c :
Centres des sphères
Forment un réseau
Hexagonale : ce n’est pas un
réseau
Sites tétraédriques et octaédriques
Polyèdre de coordination
Diamant
cfc (0 0 0)
(¼ ¼ ¼)
Chlorure de sodium
Chlorure de césium
Cubique simple : Cl (0,0,0) Cs (1/2,1/2,1/2)