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❶ - Vecteurs
I-1- Définition d’un vecteur
Définition 1: Lorsqu’on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit :
- une direction : celle des droites parallèles à (MN) ;
- un sens : de M vers N ;
- une longueur (appelée aussi la norme) : la distance MN du point M au point N.
Ce choix définit un vecteur MN , représenté par :
On dit que M est l’origine du vecteur et N son extrémité.
Remarques:- Les vecteurs MN et NM sont appelés deux vecteurs opposés, en effet, ils ont
même direction, même longueur et des sens opposés.
- Lorsque M et N sont confondus MN devient MM ; on dit que MM est le vecteur nul, noté
par 0 .
I-2- vecteurs égaux
Définition 2: Deux vecteurs sont égaux, si et seulement, s’ils ont même direction, même
longueur et même sens.
De la définition précédente, on en déduit immédiatement les deux propriétés suivantes :
Théorème 1 (admis): Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors ses sommets
définissent quatre paires de vecteurs égaux :
AB = DC , BC = AD , BA = CD , CB = DA
Réciproquement
Théorème 2 (admis): Si quatre points non alignés forment des vecteurs égaux, ils sont les
sommets d’un parallélogramme.
Exemple : Dans la figure ci-dessous, les vecteurs MN et OP sont égaux, donc le
quadrilatère MNPO est un parallélogramme
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1
I-3- Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment
Théorème 3 (admis): Si I est le milieu d’un segment [MN ] alors MI = IN .
Réciproquement, si MI = IN alors I est le milieu du segment [MN ] .
On en déduit facilement, les égalités suivantes : IM + IN = 0 et MI =
1
MN .
2
II- Translation
Définition d’une translation
Définition 3: On dit que qu’un point M a pour image un point M ′ dans la translation de
vecteur u notée t u , lorsque MM ′ = u .
Théorème 4 : Soient A, B et C, trois points du plan, il existe un unique point M tel que :
AM = BC .
Démonstration :
III- Somme de deux vecteurs
Ayant deux vecteurs u et v , on peut leur associer un vecteur u + v appelé somme de u
et de v , ce vecteur est défini suivant les deux règles suivantes :
III- 1- Relation de Chasles
Quels que soient les points A, B et C, on a : AB + BC = AC avec u = AB et v = BC .
Les deux vecteurs u et v sont tels que l’extrémité de l’un est l’origine de l’autre.
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2
Exercice 1: Démontrer que pour tous points A, B, C et D du plan, on a AD + BC = AC + BD
Solution :
III- 2- Règle du parallélogramme
La somme AB + AC est un vecteur AD tel que, ABDC soit un parallélogramme.
Les deux vecteurs u et v sont tels que le point A est leur origine commune
III- 3- Propriétés algébriques de l’addition
Théorèmes 5 (admis): Quels que soient les vecteurs u , v et w , on a :
- u +0 = 0+u ;
- u +v = v+u ;
(
)
(
)
- u +v + w = u + v+ w = u +v+ w .
IV- L’opposé d’un vecteur
Définition 4: L’opposé d’un vecteur u est le vecteur de même direction et de même norme
, mais de sens contraire. Ce vecteur est noté − u . On note par exemple − BC = CB .
V- Différence de deux vecteurs
Définition 5: Quels que soient les vecteurs u et v , la différence : u − v est le vecteur :
( )
u + −v .
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3
IV-Produit d’un vecteur par un réel
Définition 6: Soit u un vecteur non nuls et k un réel non nul. Le produit de u par k, noté
k u est un vecteur tel que :
- sa direction est celle de u ;
- son sens est celui de u si k est positif et de sens contraire, si k est négatif ;
- sa norme est k × u , si k est positif et − k × u , si k est négatif.
Exercice 2: On considère les vecteurs u , v , w représentés sur la figure ci-dessous et les points
A, B ,C
1) Construire le point M tel que AM = u + v + w .
2) Construire le point D tel que AD = − AB + AC .
3) Construire le point E tel que AE = BA + v + w .
Solution :
Exercice 3: Les points A, B et C sont donnés. Construire le point M vérifiant l’égalité
suivante : − MA + 2MB = AC
Solution:
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4
IV- Colinéarité de deux vecteurs
Soient M, N, O et P quatre points du plan.
Définition 7: Dire que deux vecteurs non nuls MN et OP sont colinéaires signifie
que MN et OP ont la même direction (c’est-à-dire que les droites (MN ) et (OP ) sont
parallèles).
Définition, théorème 8: Dire que deux vecteurs non nuls MN et OP sont colinéaires
équivaut à dire qu’il existe un réel non nul α tel que MN = α OP .
Démonstration :
VII- Condition d’alignement de trois points.
Théorème 6 (admis):Trois points M, N et P du plan sont alignés si et seulement si les
vecteurs MN et MP sont colinéaires.
En résumé, si M, N, O et Psont quatre points du plan, alors on a les équivalences suivantes :
MN et OP sont colinéaires
⇕
(MN ) et (OP ) sont parallèles
⇕
Il existe un réel non nul α tel que MN = α OP
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Exercice 4: ABCD est un parallélogramme.
4
4
MD et NA = − DA
3
3
2) Montrer que les droites (AM) et (BN) sont parallèles.
Solution :
1) Construire les points M et N tels que : BA =
Exercice 5: Soit ABC un triangle. Construire un point E tel que BE =
1
BC .
3
2
1
AB + AC .
3
3
2) Construire un point F tel que AF = 2 AB + AC .
3) Démontrer que A, E et F sont alignés.
Solution :
1) Démontrer que AE =
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VIII- Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle
Rappel : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de
2
gravité du triangle, ce point est situé au de chacune d’elles à partir des sommets.
3
Théorème 7 : Soit ABC un triangle quelconque donné. Soient A’, B’ et C’ les milieux
respectifs des côtés : [BC], [AC] et [AB]
Soit G un point du plan. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) G est le point d’intersection des médianes (AA’) , (BB’) et (CC’) ;
2) GA + GB + GC = 0 ;
2
2
2
3) AG = AA′ , BG = BB ′ et CG = CC ′ .
3
3
3
Démonstration : 1) ⇒ 2
2) ⇔ 3)
3) ⇒ 1)
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Exercice 6: ABC est un triangle.
La figure sera complétée au fur à mesure de l’avancement de l’exercice.
1) Placer le point M tel que AM = 2 AB + AC
1
2
1
2) a) Soit N le point défini par BN = BC . Montrer que AN = AB + AC
3
3
3
b) En déduire que les point A, M et N sont alignés.
1
3) Soient I le milieu du segment [AC] et J le point tel que CJ = CB .
3
Montrer que les droites (IJ) et (AN) sont parallèles.
Solution :
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❷ - Vecteurs. Coordonnées d’un vecteur
I- Définition d’un repère
Définition 9: On appelle :
- base tout couple de vecteurs non colinéaires du type i , j .
(
( )
)
- repère, le triplet O; i , j , où O est un point du plan appelé origine du repère.
Remarque : Un repère peut être défini à l’aide d’un triplet (O; I , J ) de points non alignés,
qui ne remet pas en cause la définition précédente avec i = OI et j = OJ .
II- Vocabulaire et notations
Soit (x,y) les coordonnées d’un point M dans le repère O; i , j . Soit u = OM .
(
(
)
)
Définition 10:-Dans un repère O; i , j , les coordonnées d’un vecteur u sont celle du point
M tel que u = OM , avec u ( x, y ). .
- Si A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) sont deux points du repère, alors le vecteur AB a pour
coordonnées : AB( x B − x A ; y B − y A ) .
x
On écrit indifféremment : u ( x, y ). ou u  . .
 y
Ecriture d’un vecteur dans un repère
(
)
Définition 11: Dans un repère O; i , j , tout vecteur u de coordonnées u ( x, y ). se
décompose de façon unique sous la forme : u = x i + y j
(
)
Exemple : On considère dans un repère orthonormé O; i , j les points A(1 ; 4), B(3 ; 5).
Les coordonnées du vecteur AB sont données par AB( x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB(3 − 1; 2 − 5)
AB(2 ; − 3) , ainsi u = 2 i − 3 j .
III- Propriétés algébriques
Soient u et v deux vecteurs de coordonnées u ( x, y ) et v ( x' , y ') , dans un repère O; i , j .
(
)
u = 0 équivaut à x=0 et y=0 ;
u = v équivaut à x = x' et y = y '
u + v a pour coordonnées ( x + x' , y + y ') et ainsi ce vecteur sera noté
( u + v )(x + x' , y + y')
.Pour un réel α , α u a pour coordonnées (αx, αy )
(
)
Exercice 7: On considère dans un repère orthonormé O; i , j les points A(1 ; 2), B(3 ; 2)
et C(0 ; 4).
1) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2) Soit E et F les points définis par BE = 2 BC et BF = −2 AB .
Calculer les coordonnées de E et F.
3) Montrer que les points E, D et F sont alignés.
4) Prouver que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
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Solution :
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Exercice 8:
ABCD est un parallélogramme de centre O et I est le milieu du segment ( AB ) .
1) Montrer que DB + CA = 4OI
2) La droite (CI) coupe (OD) en L et la droite
(DI) coupe (OA) en K.
a) Montrer que L est le centre de gravité du
triangle CAB. Que peut-on dire du point K ?
1
b) En déduire que KL = DC . Que peut-on dire
3
des droites (KL) et (DC) ?
Exercice 9:
ABC est un triangle. On désigne par :
• I le milieu du segment [AB]
• G le centre de gravité du triangle ABC.
• O le point tel que : OA + OB + 2OC = 0
1) Placer O sur une figure. Montrer que O est le milieu du segment [CI ].
2) a) Montrer que, quel que soit le point M du plan, on a : MA + MB + 2MC = 4MO .
b)En déduire l’ensemble (ℰ) des points M tel que : 3 MA + MB + 2 MC = 4 MA + MB + MC .
Exercice 10:
Soient deux points A et B distincts , I le milieu du segment [AB] et n∈ℕ*.
On suppose que AB=9, et on désigne par F le point tel que : n FA + (n + 1)FB = 0 .
1) On suppose que n=1.
2
a) Montrer que : AF = AB . Placer le point F sur la droite (AB).
3
b) Montrer que : 2 FI + FB = 0 .
c) Justifier que pour tout point M du plan, on a : MA + 2MB = 3MF .
d) En déduire l’ensemble (ℰ) des points M du plan tel que : MA + 2 MB = 12 .
Dans la suite de l’exercice, on désigne par F1 le point tel que : AF1 =
2
AB .
3
2) Plus généralement, on suppose que n est un entier naturel non nul.
a) Exprimer le vecteur AF en fonction du vecteur AB .
Le point F peut-il être confondu avec I ?
b) En déduire que : ∀n∈ℕ* , F∈]AB[−{I}.
c) Plus précisément, montrer que : , ∀n∈ℕ* , F∈]IF1[.
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